Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 18
Nach dem Satz von Pythagoras im (dreidimensionalen) Raum gilt für den
Betrag eines Vektors ! a
j ! a j =
q
a 2 x + a 2 y + a 2 z:
Ein Vektor der Länge 1 heißt Einsvektor.
! a 0 bezeichnet den Vektor mit Betrag 1 und der Richtung von ! a :
Es gilt ! a 0 =
! a
j ! a j für alle Vektoren ! a 6= ! o :
2.3 Das Skalarprodukt
De…nition 2.1. (Skalarprodukt)
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ! a und ! b sei die Zahl
! a ! b = ax bx + ay by + az bz:
Satz 2.2. (Eigenschaften des Skalarprodukts)
Es seien ! a ; ! b ; ! c Vektoren und 2 R. Dann gilt
1. ! a ! b = ! b ! a ;
2. ! a + ! b ! c = ! a ! c + ! b ! c ;
3. ! a ! b = ( ! a ) ! b = ! a
! b ;
4. ! a ! a 0; ! a ! a = 0 () ! a = ! o :
Satz 2.3. (Eigenschaften des Skalarprodukts)
Es seien ! a 6= ! o und ! b 6= ! o Vektoren. Dann gilt
1. ! a ! b = j ! a j ! b cos \ ! a ; ! b ;