Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 15 De…nition 1.22. (3–er Determinante) Für aik 2 R (i; k = 1; 2; 3) sei a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Bemerkung: = a11 a22 a23 a32 a33 a12 1. Sogenanntes Entwickeln nach der 1. Zeile. a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 2. Die 2–er Determinanten entstehen durch Streichen der Zeile und der Spalte, in der a11 bzw. a12 bzw. a13 steht. Das lineare Gleichungssystem mit n = 3 Gleichungen a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 hat die Lösung falls D = x1 = 1 D x2 = 1 D x3 = 1 D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 ; ; ; 6= 0 (Cramersche Regel für n = 3).
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 16 2 Einführung in die Vektorrechnung 2.1 Grundbegri¤e Bekannt sind Skalare. Sie sind durch Betrag und eventuelle Maßeinheit vollständig bestimmt. Bsp.: Masse m, Zeit t, Volumen V , Arbeit W ,: : : Vektoren besitzen Betrag und Richtung. Bsp.: Kraft ! F , Geschwindigkeit ! v , Beschleunigung ! a , Drehmoment ! M, Impuls ! p , : : : Geometrische Veranschaulichung durch Pfeile. Die Länge entspricht dem Betrag j ! a j = a: Für alle Vektoren ! a gilt j ! a j 0. Gleichheit von Vektoren: Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen. Arten von Vektoren: 1. Freie Vektoren (parallel verschiebbar) 2. Linien‡üchtige Vektoren (nur längs Wirkungslinie verschiebbar) 3. Gebundene Vektoren (nicht verschiebbar) Die Addition von Vektoren ist kommutativ und assoziativ. Der Nullvektor ! o besitzt den Betrag j ! o j = 0: Für alle Vektoren ! a gilt ! a + ! o = ! a . Der Vektor ! a hat den gleichen Betrag wie ! a , aber entgegengesetzte Richtung (d.h. anschaulich um 180 gedreht). Es gilt die Dreiecksungleichung ! a + ! b j ! a j + ! b und die Ungleichung ! a ! b j ! a j ! b :
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 15<br />
De…nition 1.22. (3–er Determinante)<br />
Für aik 2 R (i; k = 1; 2; 3) sei<br />
a11 a12 a<strong>13</strong><br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
Bemerkung:<br />
= a11<br />
a22 a23<br />
a32 a33<br />
a12<br />
1. Sogenanntes Entwickeln nach der 1. Zeile.<br />
a21 a23<br />
a31 a33<br />
+ a<strong>13</strong><br />
a21 a22<br />
a31 a32<br />
2. Die 2–er Determinanten entstehen durch Streichen der Zeile und der<br />
Spalte, in der a11 bzw. a12 bzw. a<strong>13</strong> steht.<br />
Das lineare Gleichungssystem mit n = 3 Gleichungen<br />
a11 x1 + a12 x2 + a<strong>13</strong> x3 = b1<br />
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2<br />
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3<br />
hat die Lösung<br />
falls D =<br />
x1 = 1<br />
D<br />
x2 = 1<br />
D<br />
x3 = 1<br />
D<br />
a11 a12 a<strong>13</strong><br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
b1 a12 a<strong>13</strong><br />
b2 a22 a23<br />
b3 a32 a33<br />
a11 b1 a<strong>13</strong><br />
a21 b2 a23<br />
a31 b3 a33<br />
a11 a12 b1<br />
a21 a22 b2<br />
a31 a32 b3<br />
;<br />
;<br />
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6= 0 (Cramersche Regel <strong>für</strong> n = 3).
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