Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
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U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 11 Durch zyklische Vertauschung erhält man die drei Formeln a 2 = b 2 + c 2 b 2 = a 2 + c 2 c 2 = a 2 + b 2 2bc cos ; 2ac cos ; 2ab cos : Bogenmaß(Radiant; Kurzzeichen rad) : 360 = _ : 2 Umrechnung _ 180 _ = 180 ; = 0 30 45 60 90 180 270 360 2 _ 0 6 4 3 2 Satz 1.17. Für alle x 2 R gilt 1. sin (x + 2 n) = sin x (n 2 Z) ; 2. cos (x + 2 n) = cos x (n 2 Z) ; 3. sin ( x) = sin x (ungerade Funktion); 4. cos ( x) = cos x (gerade Funktion); 5. sin x + 2 = cos x; 6. cos x 2 = sin x: Satz 1.18. (Trigonometrische Version des Satzes von Pythagoras) Für alle x 2 R gilt sin 2 x + cos 2 x = 1: Satz 1.19. (Additionstheoreme) Für alle x; y 2 R gilt 3 2
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 12 1. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y; 2. cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y; 3. tan (x + y) = Folgerungen: tan x + tan y 1 tan x tan y : 1. x = y =) sin (2x) = 2 sin x cos x 2. y ! y =) sin (x y) = sin x cos y cos x sin y; cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y 3. x = y =) sin 2 x + cos 2 x = cos 0 = 1 4. Addition ergibt: sin (x + y) + sin (x y) = 2 sin x cos y; cos (x + y) + cos (x y) = 2 cos x cos y: 5. Mit a = x + y; b = x y; das heißt x = a+b 2 Satz 1.20. Für alle a; b 2 R gilt sin a + sin b = a + b 2 sin 2 cos a + cos b = a + b 2 cos 2 a b cos 2 a b cos 2 1.5 Geradengleichung in der Ebene a b ; y = 2 ; folgt Normalform der Geradegleichung im kartesischen Koordinatensystem y = m x + y0 mit Steigung m = y2 y1 x2 x1 = tan :
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 12<br />
1. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y;<br />
2. cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y;<br />
3. tan (x + y) =<br />
Folgerungen:<br />
tan x + tan y<br />
1 tan x tan y :<br />
1. x = y =) sin (2x) = 2 sin x cos x<br />
2. y ! y =)<br />
sin (x y) = sin x cos y cos x sin y;<br />
cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y<br />
3. x = y =) sin 2 x + cos 2 x = cos 0 = 1<br />
4. Addition ergibt:<br />
sin (x + y) + sin (x y) = 2 sin x cos y;<br />
cos (x + y) + cos (x y) = 2 cos x cos y:<br />
5. Mit a = x + y; b = x y; das heißt x = a+b<br />
2<br />
Satz 1.20.<br />
Für alle a; b 2 R gilt<br />
sin a + sin b =<br />
a + b<br />
2 sin<br />
2<br />
cos a + cos b =<br />
a + b<br />
2 cos<br />
2<br />
a b<br />
cos<br />
2<br />
a b<br />
cos<br />
2<br />
1.5 Geradengleichung in der Ebene<br />
a b ; y = 2 ; folgt<br />
Normalform der Geradegleichung im kartesischen Koordinatensystem<br />
y = m x + y0<br />
mit Steigung m = y2 y1<br />
x2 x1<br />
= tan :
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