Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 9 Allgemeine binomische Formel: (a + b) n = a n + n 1 + + De…nition 1.12. (Fakultät) a n 1 b + n 2 n n 1 a 1 b n 1 + n n a n 2 b 2 + n 3 b n a n 3 b 3 Für n 2 N setzen wir n! = 1 2 3 n (gelesen „n–Fakultät“) und 0! = 1: Bemerkung: Es gibt n! Möglichkeiten, dass sich n Person auf n Stühle setzen. Es gibt n! mögliche Anordnungen (Permutationen) der Zahlen 1; 2; 3; : : : ; n. De…nition 1.13. (Binomialkoe¢ zienten) Für a 2 R; k 2 N setzen wir a k = a (a 1) (a k + 1) k! (gelesen „a über k\) und a 0 Bemerkung: = 1: Es gibt n k Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen auszuwählen (Kombination ohne Wiederholung). Satz 1.14. Für n, k 2 N [ f0g gilt 1. 2. 3. 4. n k = n k = n k n k + n! , falls 0 k n; k! (n k)! n n k = 0, falls k > n; n k + 1 , falls 0 k n; = n + 1 k + 1 , falls 0 k < n:
U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 10 1.4 Winkelfunktionen In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90 ) gilt: sin = a c Gegenkathete b Ankathete = ; cos = = Hypotenuse c Hypotenuse ; tan = a 1 ; cot = b tan Bemerkung: sin cos = a c b c = a b = tan b = ; wobei 0 < < 90 : a Wegen a 2 + b 2 = c 2 (Satz von Pythagoras) folgt sin 2 + cos 2 = 1. Satz 1.15. (Sinussatz) In einem beliebigen Dreieck ABC gilt sin a = sin b = sin c Satz 1.16. (Kosinussatz) In einem beliebigen Dreieck ABC gilt Bemerkung: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos . . cos = a2 + b 2 c 2 2ab Im Spezialfall liefert = 90 die Formel c 2 = a 2 + b 2 (Pythagoras).
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U. Abel, <strong>MND</strong>: Ingenieurmathematik WS 2006/07 10<br />
1.4 Winkelfunktionen<br />
In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90 ) gilt:<br />
sin = a<br />
c<br />
Gegenkathete<br />
b Ankathete<br />
= ; cos = =<br />
Hypotenuse c Hypotenuse ;<br />
tan = a<br />
1<br />
; cot =<br />
b tan<br />
Bemerkung:<br />
sin<br />
cos<br />
= a<br />
c b<br />
c<br />
= a<br />
b<br />
= tan<br />
b<br />
= ; wobei 0 < < 90 :<br />
a<br />
Wegen a 2 + b 2 = c 2 (Satz von Pythagoras) folgt<br />
sin 2 + cos 2 = 1.<br />
Satz 1.15. (Sinussatz)<br />
In einem beliebigen Dreieck ABC gilt<br />
sin<br />
a<br />
= sin<br />
b<br />
= sin<br />
c<br />
Satz 1.16. (Kosinussatz)<br />
In einem beliebigen Dreieck ABC gilt<br />
Bemerkung:<br />
c 2 = a 2 + b 2 2ab cos .<br />
.<br />
cos = a2 + b 2 c 2<br />
2ab<br />
Im Spezialfall liefert = 90 die Formel c 2 = a 2 + b 2 (Pythagoras).
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