Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

Mathematik für Ingenieure (Teil 1) 

Ulrich Abel 1 

Fachhochschule Giessen–Friedberg 

Fachbereich MND 

Wilhelm-Leuschner-Strasse 13 

61169 Friedberg 

3. Oktober 2006 

1 e-mail: Ulrich.Abel@mnd.fh–friedberg.de

Inhaltsverzeichnis 

0 Vorwort 2 

1 Grundlagen und Wiederholung 3 

1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2.1 Der Körper R der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . 4 

1.2.2 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.2.4 Die Ordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2.5 Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.3 Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.4 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.5 Geradengleichung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.6 Determinanten und lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . 14 

2 Einführung in die Vektorrechnung 16 

2.1 Grundbegri¤e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.2 Rechtwinkliges Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.4 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.5 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.6 Das vektorielle Tripelprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3 Folgen und Reihen 23 

3.1 Allgemeine Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.3 Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen . . . . . . 27 

1

4 Funktionen 28 

4.1 De…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

4.2 Potenzfunktion, Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . 30 

4.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

4.4 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

4.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

4.6 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.7 Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

5 Di¤erentialrechnung 37 

5.1 Der Begri¤ der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

5.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

5.3 Ableitung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . 39 

5.4 Sätze über di¤erenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 43 

5.5 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.6 Die Regeln von l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.7 Das Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

6 Integralrechnung 49 

6.1 De…nition des bestimmten Riemannschen Integrals . . . . . . 49 

6.2 Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . 50 

6.3 Zusammenhang zwischen Di¤erential- und Integralrechnung . 52 

6.4 Methoden zur Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . 53 

6.5 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

6.6 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

6.7 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

7 Analytische Geometrie 57 

7.1 Kurvengleichungen in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

7.2 Kreis, Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

7.3 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 1 

7.4 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

7.5 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

8 Lineare Algebra 61 

8.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

8.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

8.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

8.4 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

8.5 Der Gaußsche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

8.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

8.7 Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


0 Vorwort 

Das vorliegende Skript Ingenieurmathematik kann begleitend zu den Mathematikveranstaltungen 

verwendet werden. Es enthält alle Sätze und De…nitionen, 

die in der Vorlesung behandelt werden. Das Skript ersetzt weder ein 

Lehrbuch noch den Besuch der Vorlesung und der Übungen. Der Verfasser 

wünscht viel Vergnügen und Erfolg bei der Beschäftigung mit der Ingenieurmathematik 

und ho¤t, dass die vermittelten Inhalte in vielen Anwendungen 

nützlich sein werden. 

Hinweise auf Fehler und Verbesserungsvorschläge sind stets willkommen.


1 Grundlagen und Wiederholung 

1.1 Mengen 

De…nition 1.1. (Menge) 

Eine Menge ist eine Zusammanfassung von Objekten. Diese Objekte heißen 

Elemente der Menge. 

x 2 M bedeutet: x ist Element der Menge M. 

x =2 M bedeutet: x ist nicht Element der Menge M. 

Darstellung von Mengen: 

aufzählend: M = fx; y; z; : : :g 

beschreibend: M = fx j x hat die Eigenschaft E g 

De…nition 1.2. 

Es seien A und B zwei Mengen. 

1. A = B bedeutet: A und B enthalten dieselben Elemente. 

2. A 2 B bedeutet: Jedes Element von A ist auch Element von B. 


Die leere Menge ; ist die Menge, die kein Element enthält. 


1. Vereinigung: A [ B = fx j x 2 A oder x 2 Bg 

2. Durchschnitt: A \ B = fx j x 2 A und x 2 Bg 

3. Di¤erenz: A n B = fx j x 2 A und x =2 Bg


1.2 Zahlen 

1.2.1 Der Körper R der reellen Zahlen 

Ausgangspunkt: Menge der natürlichen Zahlen 

N = f1; 2; 3; 4; : : :g 

mit den zwei Operationen „+\ (Addition) und „\ (Multiplikation). 

Sind m; n 2 N, so sind auch m + n 2 N und m n 2 N. 

Jedoch ist N „unvollständig“. 

Menge der ganzen Zahlen ist 

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g 

mit den zwei Operationen „+\ (Addition) und „\ (Multiplikation). 

Jedoch ist Z „unvollständig“. 

Menge der rationalen Zahlen ist 

n 

Q = x j x = n 

o 

mit m; n 2 Z und m 6= 0 : 

m 

Zwei Brüche n1 

m1 

und n2 

m2 heißen gleich, wenn gilt n1 m2 = n2 m1: 

In Q ist „+\ und „\ wie folgt erklärt: 

n1 

+ 

m1 

n2 

m2 

n1 n2 

m1 

m2 

= n1 m2 + n2 m1 

m1 m2 

= n1 n2 

m1 m2 

Rechenarten Umkehrung (x gesucht) 

1. Addition a + x = c Subtraktion x = c a 

2. Multiplikation a x = c Division x = c 

a 

3. Potenzieren 

x n = c 

a x = c 

Wurzel 

Logarithmus 

x = np c = c 1 

n 

x = log a c


Beim Potenzieren entstehen zwei Umkehrungen, da im Unterschied zu „+\ 

und „\ die Reihenfolge der Operanden nicht vertauscht werden darf. 

Die Rechenarten 1. und 2. sind in Q uneingeschränkt ausführbar. Jedoch 3. 

nicht. 

Satz 1.5. 

Die Gleichung x 2 = 2 hat keine rationale Zahl x als Lösung. 

Bemerkung: 

Das heißt, p 2 =2 Q bzw. p 2 =2 Q: 

De…nition 1.6. (Zahlenkörper R) 

Die reellen Zahlen R sind eine Menge, in der für a, b 2 R die Summe a + b 

und das Produkt a b wieder reelle Zahlen sind und folgende Rechengesetze 

gelten: 

Addition Multiplikation 

a + b = b + a a b = b a 

a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c 

zu a, b 2 R zu a, b 2 R; a 6= 0; 

existiert ein x 2 R existiert ein x 2 R 

mit a + x = b mit a x = b 

1.2.2 Potenzen 

De…nition 1.7. (Potenzen) 

a (b + c) = a b + a c distributiv 

Eigenschaft 

kommutativ 

assoziativ 

Lösbarkeit der 

Gleichungen 

a + x = b und a x = b 

Für a 2 R, n 2 N setzen wir a0 = 1; an = a a a (n Faktoren) und 

a n = 1 

; falls a 6= 0: 

an Satz 1.8. (Potenzgesetze) 

Für a; b 2 R n f0g und m; n 2 Z gilt: 

1. a m a n = a m+n ;


2. a m b m = (a b) m ; 

3. (a m ) n = a m n : 

Bemerkung: 

Satz 1.8 gilt auch für m; n 2 R (siehe später). 

1.2.3 Logarithmen 

Eigenschaften des Logarithmus: 

Logarithmus x = log a c (a; c > 0) ; falls a x = c: 

Wegen a 0 = 1 ist log a 1 = 0: 

Wegen a 1 = a ist log a a = 1: 

a log a x = x für alle x > 0, 

log a a x = x für alle x 2 R. 

Für beliebige x; y > 0; q 2 R gilt 

log (x y)=log x + log y und log x q = q log x. 

Basis a = 10 Dekadischer Logarithmus log 10 x = lg x 

Basis a = e Natürlicher Logarithmus log e x = ln x 

(Eulersche Zahl e = 2; 718281 : : :) 

Basis a = 2 Zweierlogarithmus log 2 x = lbx 

speziell: x = ln ex ; x = eln x und x = lg 10x ; x = 10ln x


Umrechnung innerhalb der Logarithmensysteme: 

log a x = log b x 

log b a 

(a 6= 1). 

ln x lb x 

Bsp.: loga x = = 

ln a lb a 

Die logarithmischen Funktionen mit verschiedenen Basen sind zueinander 

proportional. 

1.2.4 Die Ordnungsrelation 

Ordnungsrelation < („kleiner als“) 

Sind a; b 2 R, so gilt genau eine der drei folgenden Beziehungen: 

entweder a 

Schreibweisen: 

a > b bedeutet: b < a 

a b bedeutet: a 

a b bedeutet: b < a oder a = b 

Vier Ordnungsaxiome: 

1. Für a; b 2 R gilt entweder a 

2. Aus a 

3. Aus a für alle c 2 R: 

4. Aus a für alle c > 0:


1.2.5 Der Betrag 

De…nition 1.9. (Betrag) 

Der Betrag einer reellen Zahl x ist jxj = 

Satz 1.10. 

Für alle reellen Zahlen x gilt 

1. jxj = j xj 0; jxj = 0 () x = 0; 

2. x jxj ; 

3. x jxj ; 

4. jx yj = jxj jyj ; speziell x 2 = jxj 2 = x 2 : 

Satz 1.11. (Dreiecksungleichung) 

Für alle reellen Zahlen x; y gilt 

jx + yj jxj + jyj 

1.3 Binomische Formel 

Bekannt sind die Formeln 

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 

(a b) 2 = a 2 

(a + b) (a b) = a 2 

(a + b) 1 = a + b 

(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 

2ab + b 2 

b 2 : 

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 

x; falls x 0; 

x; falls x < 0:


Allgemeine binomische Formel: 

(a + b) n = a n + n 

1 

+ + 

De…nition 1.12. (Fakultät) 

a n 1 b + n 

2 

n 

n 1 

a 1 b n 1 + n 

n 

a n 2 b 2 + n 

3 

b n 

a n 3 b 3 

Für n 2 N setzen wir n! = 1 2 3 n (gelesen „n–Fakultät“) und 0! = 1: 

Bemerkung: 

Es gibt n! Möglichkeiten, dass sich n Person auf n Stühle setzen. Es gibt n! 

mögliche Anordnungen (Permutationen) der Zahlen 1; 2; 3; : : : ; n. 

De…nition 1.13. (Binomialkoe¢ zienten) 

Für a 2 R; k 2 N setzen wir 

a 

k 

= a (a 1) (a k + 1) 

k! 

(gelesen „a über k\) und a 

0 

Bemerkung: 

= 1: 

Es gibt n 

k Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen 

auszuwählen (Kombination ohne Wiederholung). 

Satz 1.14. 

Für n, k 2 N [ f0g gilt 

1. 

2. 

3. 

4. 

n 

k = 

n 

k = 

n 

k 

n 

k + 

n! 

, falls 0 k n; 

k! (n k)! 

n 

n k 

= 0, falls k > n; 

n 

k + 1 

, falls 0 k n; 

= n + 1 

k + 1 

, falls 0 k < n:


1.4 Winkelfunktionen 

In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90 ) gilt: 

sin = a 

c 

Gegenkathete 

b Ankathete 

= ; cos = = 

Hypotenuse c Hypotenuse ; 

tan = a 

1 

; cot = 

b tan 

Bemerkung: 

sin 

cos 

= a 

c b 

c 

= a 

b 

= tan 

b 

= ; wobei 0 < < 90 : 

a 

Wegen a 2 + b 2 = c 2 (Satz von Pythagoras) folgt 

sin 2 + cos 2 = 1. 

Satz 1.15. (Sinussatz) 

In einem beliebigen Dreieck ABC gilt 

sin 

a 

= sin 

b 

= sin 

c 

Satz 1.16. (Kosinussatz) 

In einem beliebigen Dreieck ABC gilt 

Bemerkung: 

c 2 = a 2 + b 2 2ab cos . 

. 

cos = a2 + b 2 c 2 

2ab 

Im Spezialfall liefert = 90 die Formel c 2 = a 2 + b 2 (Pythagoras).


Durch zyklische Vertauschung erhält man die drei Formeln 

a 2 = b 2 + c 2 

b 2 = a 2 + c 2 

c 2 = a 2 + b 2 

2bc cos ; 

2ac cos ; 

2ab cos : 

Bogenmaß(Radiant; Kurzzeichen rad) 

: 360 = _ : 2 

Umrechnung _ 180 _ 

= 180 ; = 

0 30 45 60 90 180 270 360 

2 

_ 0 6 4 3 2 

Satz 1.17. 

Für alle x 2 R gilt 

1. sin (x + 2 n) = sin x (n 2 Z) ; 

2. cos (x + 2 n) = cos x (n 2 Z) ; 

3. sin ( x) = sin x (ungerade Funktion); 

4. cos ( x) = cos x (gerade Funktion); 

5. sin x + 2 = cos x; 

6. cos x 2 

= sin x: 

Satz 1.18. (Trigonometrische Version des Satzes von Pythagoras) 


sin 2 x + cos 2 x = 1: 

Satz 1.19. (Additionstheoreme) 

Für alle x; y 2 R gilt 

3 

2


1. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y; 

2. cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y; 

3. tan (x + y) = 

Folgerungen: 

tan x + tan y 

1 tan x tan y : 

1. x = y =) sin (2x) = 2 sin x cos x 

2. y ! y =) 

sin (x y) = sin x cos y cos x sin y; 

cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y 

3. x = y =) sin 2 x + cos 2 x = cos 0 = 1 

4. Addition ergibt: 

sin (x + y) + sin (x y) = 2 sin x cos y; 

cos (x + y) + cos (x y) = 2 cos x cos y: 

5. Mit a = x + y; b = x y; das heißt x = a+b 

2 

Satz 1.20. 

Für alle a; b 2 R gilt 

sin a + sin b = 

a + b 

2 sin 

2 

cos a + cos b = 

a + b 

2 cos 

2 

a b 

cos 

2 

a b 

cos 

2 

1.5 Geradengleichung in der Ebene 

a b ; y = 2 ; folgt 

Normalform der Geradegleichung im kartesischen Koordinatensystem 

y = m x + y0 

mit Steigung m = y2 y1 

x2 x1 

= tan :

U. Abel, MND: Ingenieurmathematik WS 2006/07 13 

Die Gerade schneidet die y–Achse im Punkt (0; y0) : 

Festlegung der Geraden: 

1. Durch einen Punkt (x1; y1) und Steigung m 

y y1 = m (x x1) (Punkt–Steigungsform) 

2. Durch zwei Punkte (x1; y1) ; (x2; y2) mit x1 6= x2 

y y1 

x x1 

= y2 y1 

x2 x1 

(Zweipunkteform) 

Ist speziell y1 y2; so y y1 (Parallele zur x–Achse). 

Problem: Parallele zur y–Achse, m = +1? 

ax + by + c = 0 (Allgemeine Form der Geradengleichung) 

Fall a = 0 =) y = c 

b 

Fall b = 0 =) x = c 

a 

(Parallele zur x–Achse) 

(Parallele zur y–Achse) 

Fall c = 0 () (0; 0) liegt auf der Geraden (Ursprungsgerade). 

Ist b 6= 0 =) y = a 

b x c 

d (Normalform). 

Schneidet eine Gerade die Koordinatenachsen in zwei Punkten (x0; 0) und 

(0; y0) mit x0 6= 0; y0 6= 0 (das heißt keine Ursprungsgerade oder Parallele 

zu Koordinatenachsen), so ergibt die Zweipunkteform 

y 0 

x x0 

= y0 0 

: 

0 x0 

Daraus folgt die Achsenabschnittsform 

x 

x0 

+ y 

y0 

= 1


Hessesche Normalform 

Bestimmung der Geraden durch ihren Abstand p vom Ursprung und den 

Winkel ' zwischen Lot vom Ursprung auf die Gerade und x–Achse: 

x cos ' + y sin ' p = 0: 

Abstand eines Punktes von einer Geraden, Winkel zwischen Geraden usw. 

siehe Vorlesung. 

1.6 Determinanten und lineare Gleichungssysteme 

Lineares Gleichungssystem mit n = 2 Gleichungen 

a11 x1 + a12 x2 = b1 Gegeben: a11; a12; a21; a22 

a21 x1 + a22 x2 = b2 Gesucht: x1; x2 

Falls a11 a22 a12 a21 6= 0, …ndet man durch einfache Rechnung die eindeutige 

Lösung 

x1 = a22 b1 a12 b2 

a11 a22 a12 a21 

De…nition 1.21. (2–er Determinante) 

Für a, b, c, d 2 R sei 

a b 

c d 

und x2 = a11 b2 a21 b1 

a11 a22 a12 a21 

= a d b c: 

Bemerkung: Produkt Hauptdiagonale Produkt Nebendiagonale 

Mit Hilfe von Determinanten kann die Lösung des linearen Gleichungssystems 

mit n = 2 Gleichungen also in der folgenden Form geschrieben werden 

x1 = 

b1 a12 

b2 a22 

a11 a12 

a21 a22 

; x2 = 

a11 b1 

a21 b2 

a11 a12 

a21 a22 

falls der Nenner 6= 0 ist (Cramersche Regel für n = 2). 

;


De…nition 1.22. (3–er Determinante) 

Für aik 2 R (i; k = 1; 2; 3) sei 

a11 a12 a13 

a21 a22 a23 

a31 a32 a33 

Bemerkung: 

= a11 

a22 a23 

a32 a33 

a12 

1. Sogenanntes Entwickeln nach der 1. Zeile. 

a21 a23 

a31 a33 

+ a13 

a21 a22 

a31 a32 

2. Die 2–er Determinanten entstehen durch Streichen der Zeile und der 

Spalte, in der a11 bzw. a12 bzw. a13 steht. 

Das lineare Gleichungssystem mit n = 3 Gleichungen 

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 

hat die Lösung 

falls D = 

x1 = 1 

D 

x2 = 1 

D 

x3 = 1 

D 


a21 a22 a23 

a31 a32 a33 

b1 a12 a13 

b2 a22 a23 

b3 a32 a33 

a11 b1 a13 

a21 b2 a23 

a31 b3 a33 

a11 a12 b1 

a21 a22 b2 

a31 a32 b3 

; 

; 

; 

6= 0 (Cramersche Regel für n = 3).


2 Einführung in die Vektorrechnung 

2.1 Grundbegri¤e 

Bekannt sind Skalare. Sie sind durch Betrag und eventuelle Maßeinheit 

vollständig bestimmt. 

Bsp.: Masse m, Zeit t, Volumen V , Arbeit W ,: : : 

Vektoren besitzen Betrag und Richtung. 

Bsp.: Kraft ! F , Geschwindigkeit ! v , Beschleunigung ! a , Drehmoment ! M, 

Impuls ! p , : : : 

Geometrische Veranschaulichung durch Pfeile. Die Länge entspricht dem 

Betrag j ! a j = a: Für alle Vektoren ! a gilt j ! a j 0. 

Gleichheit von Vektoren: Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie in Betrag 

und Richtung übereinstimmen. 

Arten von Vektoren: 

1. Freie Vektoren (parallel verschiebbar) 

2. Linien‡üchtige Vektoren (nur längs Wirkungslinie verschiebbar) 

3. Gebundene Vektoren (nicht verschiebbar) 

Die Addition von Vektoren ist kommutativ und assoziativ. 

Der Nullvektor ! o besitzt den Betrag j ! o j = 0: Für alle Vektoren ! a gilt 

! a + ! o = ! a . 

Der Vektor ! a hat den gleichen Betrag wie ! a , aber entgegengesetzte Richtung 

(d.h. anschaulich um 180 gedreht). 

Es gilt die Dreiecksungleichung 

! a + ! b j ! a j + ! b 

und die Ungleichung 

! a ! b j ! a j ! b :


Multiplikation bei Vektoren: 

1. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (einer Zahl) c 2 R ergibt 

einen Vektor c ! a . 

2. Skalarprodukt zweier Vektoren ! a ! b ergibt eine Zahl. 

3. Vektorprodukt zweier Vektoren ! a ! b ergibt einen Vektor. 

2.2 Rechtwinkliges Koordinatensystem 

Die Achsen eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems bilden ein 

Rechtssystem (Drei…ngerregel der rechten Hand). 

Jeder freie Vektor kann so verschoben werden, dass sein Anfang in den Ursprung 

des Koordinatensystems fällt. 

Komponentenzerlegung in Richtung der Koordinatenachsen: 

! a = ! ax+ ! ay+ ! az 

Die Skalare ax = j ! axj ; ay = j ! ayj ; az = j ! azj heißen Komponenten 

des Vektors ! a bezüglich des Koordinatensystems. Wir schreiben 

den Vektor ! a als Spaltenvektor 

0 1 

! 

a = @ 

Bemerkung: 

ax 

ay 

az 

A : 

Jedem Punkt des Raumes wird eindeutig ein Ortsvektor zugeordnet und 

jedem Ortsvektor ein Punkt. 

Einheitsvektoren ! 0 

i = @ 

1 

0 

1 

A, 

0 

! 0 

j = @ 

0 

1 

1 

A, 

0 

! 0 

k = @ 

0 

0 

1 

A. 

1 

Üblich ist auch die Bezeichnung ! ex; ! ey; ! ez anstelle ! i ; ! j ; ! k . Mit den Einheitsvektoren 

haben wir für jeden Vektor ! a die Darstellung 

! ! ! ! 

a = ax i + ay j + az k :


Nach dem Satz von Pythagoras im (dreidimensionalen) Raum gilt für den 

Betrag eines Vektors ! a 

j ! a j = 

q 

a 2 x + a 2 y + a 2 z: 

Ein Vektor der Länge 1 heißt Einsvektor. 

! a 0 bezeichnet den Vektor mit Betrag 1 und der Richtung von ! a : 

Es gilt ! a 0 = 

! a 

j ! a j für alle Vektoren ! a 6= ! o : 

2.3 Das Skalarprodukt 

De…nition 2.1. (Skalarprodukt) 

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ! a und ! b sei die Zahl 

! a ! b = ax bx + ay by + az bz: 

Satz 2.2. (Eigenschaften des Skalarprodukts) 

Es seien ! a ; ! b ; ! c Vektoren und 2 R. Dann gilt 

1. ! a ! b = ! b ! a ; 

2. ! a + ! b ! c = ! a ! c + ! b ! c ; 

3. ! a ! b = ( ! a ) ! b = ! a 

! b ; 

4. ! a ! a 0; ! a ! a = 0 () ! a = ! o : 

Satz 2.3. (Eigenschaften des Skalarprodukts) 

Es seien ! a 6= ! o und ! b 6= ! o Vektoren. Dann gilt 

1. ! a ! b = j ! a j ! b cos \ ! a ; ! b ;


2. cos \ ! a ; ! ! ! 

a b 

b = 

j ! a j ! b 

bzw. \ ! a ; ! ! ! 

a b 

b = arccos 

j ! a j ! b 

3. Genau dann sind ! a und ! b orthogonal (senkrecht), wenn ! a ! b = 0 

gilt. 

2.4 Das Vektorprodukt 

Motivation aus der Physik: Drehmoment eines um einen Punkt O frei drehbaren 

Körpers (siehe Skizze in Vorlesung). Im Punkt P greift die Kraft ! F 

an und bewirkt ein Drehmoment 

M = j ! r j ! F1 = j ! r j ! F sin \ ! a ; ! b : 

Dies ergibt noch keine Aussage über die Lage der Drehachse und die Drehrichtung. 

Daher de…niert man das Drehmoment ! M als Vektor in Richtung 

der Drehachse, der so orientiert ist, dass von der Spitze aus betrachtet die 

Drehung mathematisch positiv erfolgt: 

! 

M = ! r 

Bemerkung: 

! F 

Die Drehachse steht senkrecht auf der Ebene, die die Vektoren ! r und ! F 

aufspannen. 

De…nition 2.4. (Vektorprodukt) 

Das Vektorprodukt der beiden dreikomponentigen Vektoren ! a und ! b sei 

der dreikomponentige Vektor ! a ! b mit den Eigenschaften: 

1. ! a ! b ist senkrecht auf ! a und ! b ; 

2. ! a , ! b , ! a ! b bilden ein Rechtssystem, 

3. ! a ! b = j ! a j ! b sin \ ! a ; ! b ; wobei 0 \ ! a ; ! b : 

Bemerkung: 

Das Vektorprodukt wird nur im Dreidimensionalen de…niert. 

:


Satz 2.5. 

Für alle Vektoren ! ! ! ! ! ! ! ! 

a = ax i + ay j + az k und b = bx i + by j + bz k gilt 

0 

1 

! ! 

a b = @ 

ay bz az by 

az bx ax bz 

ax by ay bx 

A : 

Satz 2.6. (Eigenschaften des Vektorprodukts) 

Es seien ! a ; ! b ; ! c dreikomponentige Vektoren und 2 R. Dann gilt 

1. ! a ! b = ! b ! a ; 

2. ! a ! b = ( ! a ) ! b = ! a 

3. ! a 

4. ! a + ! b 

! b + ! c = ! a ! b + ! a ! c ; 

De…nition 2.7. (Kollinearität) 

! c = ! a ! c + ! b ! c : 

! b = ! a ! b ; 

Zwei Vektoren ! a und ! b heißen kollinear, wenn ! a = ! b oder ! b = ! a 

gilt für gewisse Zahlen ; 2 R. 

Bez. auch: linear abhängig 

Bemerkungen: 

1. Anschaulich interpretiert bedeutet das, dass ! a und ! b die gleiche oder 

entgegengesetzte Richtung haben. 

2. Wegen ! o = 0 ! a ist ! o mit jedem Vektor ! a kollinear. 

Satz 2.8. 

Genau dann gilt ! a ! b = ! o , wenn ! a und ! b kollinear sind. 

Satz 2.9. 

Es seien ! a 6= ! o und ! b 6= ! o Vektoren. Genau dann sind ! a und ! b orthogonal, 

wenn ! a ! b = j ! a j ! b gilt.


Satz 2.10. 

Das von zwei Vektoren ! a und ! b aufgespannte Parallelogramm besitzt die 

Fläche A = ! a ! b . 

Bemerkung: 

Folglich hat das von zwei Vektoren ! a und ! b aufgespannte Dreieck die 

! ! 

a b . 

Fläche A = 1 

2 

2.5 Das Spatprodukt 

De…nition 2.11. (Spatprodukt) 

h 

Das Spatprodukt 

!a ! 

i 

b 

! 

c der Vektoren ! a ; ! b und ! c ist die Zahl 

h 

!a ! 

i 

b 

! 

c = ! a ! b ! c : 

h 

Bemerkung: Der Betrag des Spatprodukts 

!a ! 

i 

b 

! 

c ist das Volumen des 

von den drei Vektoren ! a ; ! b; ! c aufgespannten Prismas (Spats). 

Satz 2.12. 

h 

!a ! 

i 

b 

! 

c = 

Satz 2.13. 

1. 

2. 

ax ay az 

bx by bz 

cx cy cz 

h 

!a ! 

i h 

b 

! !b 

i h 

c = 

! 

c 

! 

a = 

!c ! ! 

i 

a b (zyklische Vertauschung). 

h 

!a ! 

i 

b 

! 

c = 0 gilt genau dann, wenn ! a ; ! b und ! c in einer Ebene 

liegen. 

3. Sind insbesondere zwei der Vektoren ! a ; ! b und ! h c kollinear, so gilt 

!a ! 

i 

b 

! 

c = 0:


2.6 Das vektorielle Tripelprodukt 

De…nition 2.14. (Vektorielles Tripelprodukt) 

Der Vektor ! a ! b ! c heißt vektorielles Tripelprodukt der Vektoren 

! a ; ! b und ! c : 

Satz 2.15. (Entwicklungssatz) 

! a ! b 

! c = ( ! a ! c ) ! b 

! b ! c ! a 

Zerlegung eines Vektors ! b in Parallel– und Normalkomponente bezüglich 

eines Vektors ! a siehe Vorlesung.


3 Folgen und Reihen 

3.1 Allgemeine Folgen 

De…nition 3.1. (Folge) 

Ist jeder natürlichen Zahl n durch irgendeine Vorschrift eine Zahl an zugeordnet, 

so bilden diese Zahlen 

eine Folge. 

a1; a2; a3; a4; : : : 

Bez.: (an) 1 

n=1 oder kurz (an) 

Bemerkung: 

Wir betrachten auch Folgen (an) 1 

n=p ; bei denen die Nummerierung nicht bei 

1, sondern bei einer Zahl p 2 Z beginnt, also 

ap; ap+1; ap+2; ap+3; : : : : 

Ein wesentlicher Unterschied zu Mengen besteht darin, dass bei Folgen dasselbe 

Glied mehrmals (auch unendlich oft) auftreten kann, während die Elemente 

einer Menge voneinander verschieden sind. 

De…nition 3.2. (Beschränktheit von Folgen) 

Eine Folge (an) heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es 

eine Konstante K gibt, so dass an K bzw. an K für alle n 2 N gilt. 

Eine Folge (an) heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten 

beschränkt ist. 

De…nition 3.3. (Monotonie von Folgen) 

Eine Folge (an) heißt 

monoton wachsend, falls an an+1 für alle n 2 N, 

streng monoton wachsend, falls an < an+1 für alle n 2 N,


monoton fallend, falls an an+1 für alle n 2 N, 

streng monoton fallend, falls an > an+1 für alle n 2 N. 

De…nition 3.4. (Konvergenz von Folgen) 

Die Folge (an) heißt konvergent zum Grenzwert a 2 R, wenn gilt: 

Für alle " > 0 existiert ein n0 (") 2 N so, dass jan aj < " für alle 

n n0 (") : 

Bez.: lim 

n!1 an = a oder an ! a (n ! 1) 

Satz 3.5. 

Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. 

Jede konvergente Folge ist beschränkt. 

Satz 3.6. 

Jede beschränkte und monotone Folge (an) konvergiert. 

Bemerkung: 

Satz 3.6 folgt aus dem Axiom über die Vollständigkeit von R. 

Satz 3.7. (Rechenregeln für Grenzwerte) 

Es gelte lim 

n!1 an = a und lim 

n!1 bn = b: Dann konvergieren die Folgen (an + bn) ; 

(an bn) ; (an bn) ; (an bn) (letztere falls b 6= 0) mit 

1. lim 

n!1 (an + bn) = a + b; 

2. lim 

n!1 (an bn) = a b; 

3. lim 

n!1 (an bn) = a b; 

4. lim 

n!1 (an bn) = a b:


Speziell für c 2 R erhalten wir die Regeln 

lim 

n!1 (an + c) = a + c; 

lim 

n!1 (c an) = c a; 

lim 

n!1 (c an) = c a: 

Bemerkung: 

Ist (an) eine unbeschränkte Folge, so schreiben wir 

lim 

n!1 an = +1 oder an ! +1 (n ! 1) ; 

wenn zu jeder Konstanten M eine Zahl N existiert, so dass an > M für alle 

n > N, bzw. 

lim 

n!1 an = 1 oder an ! 1 (n ! 1) ; 

wenn lim 

n!1 ( an) = +1: 

Solche Folgen sind divergent. Satz 3.7 ist nicht anwendbar. 

Satz 3.8. 

Die Folge (an) mit an = 1 + 1 

n 

De…nition 3.9. (Eulersche Zahl) 

Der Grenzwert e = lim 

n!1 

Bemerkung: 

1 + 1 

n 

n ist konvergent. 

n heißt Eulersche Zahl. 

Die berühmte Eulersche Zahl e = 2; 718281828459: : : ist irrational. 

Satz 3.10. 

Für alle x 2 R gilt lim 

n!1 

1 + x 

n 

n = e x :


3.2 Reihen 

Neben den Folgen spielen unendliche Reihen in der Mathematik eine sehr 

wichtige Rolle. 

Addiert man die Glieder einer Folge (an) ; so entsteht eine unendliche Reihe 

Bez.: 

a1 + a2 + a3 + a4 + : 

1P 

an oder P an 

n=1 

Die Summe der ersten n Glieder einer unendlichen Reihe P an heißt n–te 

Partialsumme sn : 

s1 = a1 

s2 = a1 + a2 

s3 = a1 + a2 + a3 

sn = a1 + a2 + a3 + + an = nP 

ak: 

k=1 

Daher ist es naheliegend, die De…nition der Konvergenz von unendlichen 

Reihen unmittelbar auf die Konvergenz von Folgen zurückzuführen: 

De…nition 3.11. (Konvergenz von Reihen) 

P 

an heißt konvergent bzw. divergent bzw. bestimmt divergent, wenn 

die zugehörige Folge der Partialsummen konvergent bzw. divergent bzw. 

bestimmt divergent ist. 

Ist lim 

n!1 sn = s; so Bezeichnung 1P 

an = s: 

n=1 

Bemerkung: 

Eine allgemeinere Untersuchung der unendlichen Reihen erfolgt in einem 

späteren Kapitel (Potenzreihen, Taylor–Entwicklung, Fourier–Reihen, : : :).


3.3 Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen 

De…nition 3.12. (Arithmetische Folge) 

Eine Folge (an) heißt arithmetische Folge, wenn die Di¤erenz zweier aufeinander 

folgender Glieder konstant ist; das heißt, es gibt eine Zahl d, so 

dass an+1 = an + d für alle n ist. 


Es gilt 1 + 2 + 3 + 4 + + n = 

Satz 3.14. 

n (n + 1) 

: 

2 

Für eine arithmetische Reihe mit den Summanden an = a1 + (n 1) d gilt 

sn = n 

2 (a1 + an) = n 

2 [2 a1 + (n 1) d]. 

De…nition 3.15. (Geometrische Folge) 

Eine Folge (an) heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinander 

folgender Glieder konstant ist; das heißt, es gibt eine Zahl q, so 

= q für alle n ist. 

dass an+1 

an 

Satz 3.16. 

Für eine geometrische Reihe mit den Summanden an = a1 q n 1 mit q 6= 1 

gilt 

sn = a1 

1 q n 

1 q . 

Satz 3.17. (Unendliche geometrische Reihe) 

Für jede Zahl q mit jqj < 1 gilt 

a1 + q a1 + q 2 a1 + q 3 a1 + q 4 a1 + = 

Bsp.: Periodischer Dezimalbruch (siehe Vorlesung). 

1X 

n=1 

q n 1 a1 = a1 

1 q :


4 Funktionen 

4.1 De…nition 

De…nition 4.1. (Reellwertige Funktion) 

1. Eine reellwertige Funktion f ist eine Vorschrift, durch welche jedem 

x einer Menge D (f) in eindeutiger Weise eine reelle Zahl f (x) 

zugeordnet wird. 

2. Die Menge D (f) heißt De…nitionsbereich von f. 

3. Die Menge W (f) = f y j y = f (x) mit x 2 D (f) g heißt Wertebereich 

von f. 

Bemerkungen: 

Beachten Sie den Unterschied: 

f bezeichnet die Funktionsvorschrift und f (x) den Funktionswert von 

f an der Stelle x: Skizze siehe Vorlesung. 

Von jedem x 2 D (f) geht genau ein Pfeil nach einem y 2 R. 

Nicht auf jedem Element y 2 R mußein Pfeil enden, d.h. W (f) 6= R 

ist möglich. 

Es seien f und g Funktionen mit De…nitionsbereich D (f) bzw. D (g). Dann 

sei f + g die Funktion mit (f + g) (x) = f (x) + g (x) und dem De…nitionsbereich 

D (f + g) = D (f) \ D (g). 

Analog de…niert man f g, f g und f g. 

Beachte: D (f g) = D (f) \ f x j x 2 D (g) ; g (x) 6= 0 g 

Ab jetzt sei im allgemeinen stets D (f) R ein Intervall.


De…nition 4.2. (Intervalle) 

Für reelle Zahlen a und b heißen die Mengen 

[a; b] = f x j a x b g — — — — a 

[— — — — b 

]— — — — 

(a; b) = f x j a < x 

(— — — — b 

)— — — — 

[a; b) = f x j a x 

[— — — — b 

)— — — — 

(a; b] = f x j a < x b g — — — — a 

(— — — — b 

]— — — — 

endliche Intervalle. 

[a; b] heißt abgeschlossenes Intervall, (a; b) heißt o¤enes Intervall. 

Die Mengen 

( 1; b] = f x j x b g — — — — — — — — — b 

]— — — — 

( 1; b) = f x j x 

)— — — — 

[a; +1) = f x j x a g — — — — a 

[— — — — — — — — — 

(a; +1) = f x j x > a g — — — — a 

(— — — — — — — — — 

( 1; +1) = R — — — — — — — — — — — — — — 

heißen unendliche Intervalle. 

De…nition 4.3. (Monotonie von Funktionen) 

Die Funktion f : M ! R heißt auf M für alle x1; x2 2 M mit x1 x2 

monoton wachsend, falls f (x1) f (x2), 

streng monoton wachsend, falls f (x1) < f (x2), 

monoton fallend, falls f (x1) f (x2), 

streng monoton fallend, falls f (x1) > f (x2).


De…nition 4.4. (Beschränktheit von Funktionen) 

Eine Funktion f heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es 

eine Konstante K gibt, so dass f (x) K bzw. f (x) K für alle x 2 D (f) 

gilt. 

Eine Funktion f heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt 

ist. 


Eine Funktion f heißt 

1. gerade Funktion, falls f ( x) = f (x) für alle x gilt, 

2. ungerade Funktion, falls f ( x) = f (x) für alle x gilt. 

Bemerkung: 

Anschaulich bedeuten diese Eigenschaften für den Graphen der Funktion f 

1. Achsensymmetrie zur y–Achse bzw. 

2. Punktsymmetrie zum Ursprung 

De…nition 4.6. (Periodizität) 

Eine Funktion f heißt periodisch mit der Periode p, wenn f (x + p) = 

f (x) für alle x gilt. 

4.2 Potenzfunktion, Exponentialfunktion und Logarithmus 

Potenzfunktion f (x) = x 

Exponentialfunktion f (x) = a x 

Logarithmus f (x) = log a x 

(Näheres siehe Vorlesung)


4.3 Umkehrfunktion 

Eine Funktion ordnet jedem x 2 D (f) eindeutig ein y 2 W (f) zu. Wir 

wollen durch eine sogennante Umkehrfunktion f 1 jedem Wert y 2 W (f) 

eindeutig ein x 2 D (f) zuordnen mit f (x) = y. 

Dies ist nicht immer möglich. 

Erforderlich ist, dass aus x1; x2 2 D (f) mit x1 6= x2 stets f (x1) 6= f (x2) 

folgt. Solche f heißen eineindeutig. Sie besitzen eine Umkehrfunktion f 1 : 

Bemerkungen: 

Satz 4.7. 

f 1 (y) = x () y = f (x) 

D f 1 = W (f) ; W f 1 = D (f) 

f 1 (f (x)) = x für alle x 2 D (f) 

f f 1 (y) = y für alle y 2 W (f) 

Die Funktion y = f (x) sei streng monoton wachsend bzw. fallend auf D (f) : 

Dann existiert die Umkehrfunktion x = f 1 (y) auf D f 1 = W (f) und 

ist dort streng monoton wachsend bzw. fallend. 

Geometrische Interpretation: Spiegelung an Winkelhalbierender y = x. 

4.4 Grenzwerte von Funktionen 

Bsp.: f (x) = x 2 ; Annäherung an Stelle x0 = 2 

Wir wählen Folgen (xn) mit xn ! x0 (n ! 1) 

xn 1; 9 1; 99 1; 999 1; 9999 : : : 

f (xn) 3; 61 3; 9601 3; 996001 3; 99960001 : : : 

xn 2; 1 2; 01 2; 001 2; 0001 : : : 

f (xn) 4; 41 4; 0401 4; 004001 4; 00040001 : : :


Allgemeine Fragestellung: 

Gegeben sei eine Funktion f mit De…nitionsbereich D (f) : Es sei (xn) eine 

Folge mit xn 2 D (f) ; xn 6= x0 und lim 

n!1 xn = x0: Wie verhält sich die Folge 

(f (xn))? 

De…nition 4.8. (Grenzwert einer Funktion) 

Die Funktion f hat an der Stelle x0 den Grenzwert g, wenn für jede Folge 

(xn) mit xn 2 D (f) ; xn 6= x0 und lim 

n!1 xn = x0 

gilt. 

lim 

n!1 f (xn) = g 

Bez.: lim f (x) = g 

x!x0 

Bemerkungen: 

Satz 4.9. 

Linksseitiger Grenzwert lim f (x) ; 

x!x0 0 

rechtsseitiger Grenzwert lim 

x!x0+0 

f (x) : 

Es werden in De…nition 4.8 nur Folgen (xn) mit xn < x0 bzw. xn > x0 

herangezogen. 

lim f (x) = g ist äquivalent zu lim f (x) = g und lim f (x) = g: 

x!x0 

x!x0 0 x!x0+0 

Es ist egal, ob f an x0 de…niert ist oder nicht. Es kann der Fall eintreten, 

dass eine Funktion an der Stelle x0 einen Grenzwert besitzt, 

obwohl sie dort überhaupt nicht de…niert ist. 

Ist f in x0 de…niert, so spielt der Funktionswert f (x0) für den Grenzwert 

keine Rolle wegen xn 6= x0: 

lim f (x) = g bedeutet lim 

x!+1 n!1 f (xn) = g für alle Folgen mit xn 2 

D (f) und lim 

n!1 xn = +1: 

sin x 

Es gilt lim = 1: 

x!0 x


Satz 4.10. 

Es gilt 

ln (1 + x) 

1. lim = 1; 

x!0 x 

e 

2. lim 

x!0 

x 1 

= 1: 

x 

4.5 Stetigkeit 

De…nition 4.11. (Stetigkeit) 

1. Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x0 2 D (f) , wenn f an x0 

den Grenzwert f (x0) hat, das heißt 

lim f (x) = f (x0) : 

x!x0 

2. Die Funktion f heißt stetig auf einer Teilmenge M von D (f), wenn 

f stetig an jedem x0 2 M ist. 

3. Die Menge aller auf M stetigen Funktionen bezeichnet man mit C (M). 

Bemerkungen: 

1. f mußan x0 de…niert sein (im Gegensatz zur Grenzwertuntersuchung). 

2. f unstetig an x0 bedeutet: lim f (x) = f (x0) existiert nicht oder ist 

x!x0 

ungleich f (x0) : 

3. Linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit analog Grenzwertde…nition. 

Satz 4.12. 

Sind f und g stetig an x0, dann sind f + g, f g, f g und f g stetig an 

x0, wobei bei f g für die Funktion im Nenner g (x0) 6= 0 gelten muß.


Folgerungen: 

1. Alle Polynome sind stetige Funktionen auf R. 

2. Alle rationalen Funktionen sind stetig in ihrem De…nitionsbereich. 


Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] : Dann 

ist f beschränkt auf [a; b] ; das heißt, es gibt eine Konstante M, so dass 

jf (x)j M für alle x 2 [a; b] gilt. 

Satz 4.14. (Absolutes Maximum, absolutes Minimum) 

Die Funktion f hat an der Stelle x0 2 D (f) 

1. ein absolutes Maximum, wenn f (x0) f (x) für alle x 2 D (f) ; 

2. ein absolutes Minimum, wenn f (x0) f (x) für alle x 2 D (f) : 

Bez.: f (x0) = max 

x2D(f) f (x) bzw. f (x0) = min f (x) 

x2D(f) 

Satz 4.15. 


nimmt f an (mindestens) einer Stelle x1 ein absolutes Maximum und an 

(mindestens) einer Stelle x2 ein absolutes Minimum an. 

Satz 4.16. (Zwischenwertsatz) 


existiert zu jeder Zahl y0 mit 

min 

x2[a;b] f (x) y0 max f (x) 

x2[a;b] 

mindestens ein x0 2 [a; b] mit f (x0) = y0:


Bemerkung: 

Jeder Wert zwischen min f (x) und max f (x) wird mindestens einmal als 

Funktionswert angenommen. Dies gilt nicht für unstetige Funktionen (Bsp. 

Signumfunktion f (x) = sgn(x)). 

Als direkte Folgerung ergibt sich: 

Die Funktion f sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] ; und es 

gelte f (a) < 0 und f (b) > 0 (bzw. f (a) > 0 und f (b) < 0). Dann existiert 

eine Zahl x0 2 [a; b] mit f (x0) = 0; das heißt, f besitzt eine Nullstelle in 

[a; b] : 

4.6 Polynome 

De…nition 4.17. (Polynom) 

Eine Funktion Pn der Form 

Pn (x) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 = 

mit an 6= 0 heißt Polynom vom Grad n. 

Bemerkung: 

Alle Polynome sind stetig auf R. 

nX 

k=0 

ak x k 

Einzeiliges und vollständiges Horner–Schema siehe Vorlesung. 

Satz 4.18. (Fundamentalsatz der Algebra) 

Jedes Polynom Pn (x) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 vom Grad 

n 1 hat mindestens eine Nullstelle. 

Bemerkung: 

Eventuell gibt es keine reelle Nullstelle.


Satz 4.19. 

Ein Polynom Pn vom Grad n 1 hat genau n Nullstellen x1; x2; : : :,xn; und 

es gilt die Produktdarstellung 

Pn (x) = an (x x1) (x x2) (x xn) : 

Bemerkungen: 

1. Die Nullstellen x1; x2; : : : ; xn sind komplexe Zahlen. 

2. Die Nullstellen können teilweise gleich sein. 

3. Sind alle Koe¢ zienten ak reell, und ist n ungerade, so hat Pn mindestens 

eine reelle Nullstelle. 

4. Sind alle Koe¢ zienten ak reell, und ist die komplexe Zahl a + j b eine 

Nullstelle von Pn; so auch die dazu konjugiert komplexe Zahl a j b: 

5. Sind alle Koe¢ zienten ak ganzzahlig, und ist x1 eine ganzzahlige Nullstelle 

von Pn; so ist x1 ein Teiler des absoluten Gliedes a0: 

6. Für Polynome der Grade n = 2, 3, 4 gibt es exakte Formeln zur Bestimmung 

der Nullstellen, für n 5 nicht (Satz von Abel). Die Formeln für 

n = 3, 4 sind sehr unhandlich, so dass man besser Näherungsverfahren 

verwendet. 

4.7 Regula falsi 

Die Regula falsi ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung 

der Nullstellen von stetigen Funktionen. Näheres dazu siehe Vorlesung.


5 Di¤erentialrechnung 

5.1 Der Begri¤ der Ableitung 

De…nition 5.1. (Di¤erenzierbarkeit) 

f heißt di¤erenzierbar in x0, wenn der Grenzwert 

f (x) f (x0) 

lim 

x!x0 x x0 

existiert. 

df 

Bez.: 

dx (x0) ; df 

dx jx0 ; f 0 (x0) 

Bemerkungen: 

1. Die Funktion f 0 mit dem De…nitionsbereich 

D (f) = f x0 2 D (f) j f 0 (x0) existiert g heißt Ableitung von f. 

2. Höhere Ableitungen sind: 

f 00 := f 0 0 ; f 000 := f 00 0 ; : : : ; f (n+1) := f (n) 

Formal ist f := f (0) : 

3. Existiert nur einseitig 

f (x) f (x0) 

lim 

x!x0 0 x x0 

bzw. lim 

x!x0+0 

0 

: 

f (x) f (x0) 

; 

x x0 

dann heißt f linksseitig bzw. rechtsseitig di¤erenzierbar in x0: 

4. f heißt stetig di¤erenzierbar, wenn f 0 existiert und stetig ist. 

5. Setzt man x = x0 + h; so ist 

f 0 (x0) = lim 

h!0 

f (x0 + h) f (x0) 

: 

h


Satz 5.2. 

Ist f di¤erenzierbar in x0; so ist f stetig in x0: 

Bemerkung: 

Die Umkehrung von Satz 5.2 ist falsch. Es gibt sogar auf R stetige Funktionen, 

die nirgendwo di¤erenzierbar sind. 

Satz 5.3. 

f (x) = x n (n 2 N) ist di¤erenzierbar auf R mit f 0 (x) = n x n 1 : 

Bemerkung: 

Alle Polynome P (x) = nP 

nP 

k ak x 

k=k 

k 1 : 

5.2 Ableitungsregeln 

Satz 5.4. 

ak x 

k=0 

k sind di¤erenzierbar auf R mit P 0 (x) = 

Die Funktionen f und g seien in x0 di¤erenzierbar. Dan sind auch die Funktionen 

f + g, f g, f g, f g (falls g (x0) 6= 0) in x0 di¤erenzierbar mit 

1. (f + g) 0 (x0) = f 0 (x0) + g 0 (x0) ; 

2. (f g) 0 (x0) = f 0 (x0) g 0 (x0) ; 

3. (f g) 0 (x0) = f 0 (x0) g (x0) + f (x0) g 0 (x0) ; 

4. 

f 

g 

0 

(x0) = f 0 (x0) g (x0) f (x0) g0 (x0) 

g2 : 

(x0)


Satz 5.5. (Kettenregel) 

u = u (x) sei di¤erenzierbar in x0; y = g (x) sei di¤erenzierbar in u0 = 

u (x0) : Dann ist die zusammengesetzte Funktion f (x) = g (u (x)) in x0 

di¤erenzierbar mit 

Bemerkung: 

f 0 (x0) = g 0 (u (x0)) u 0 (x0) : 

Formal kann man die Kettenregel mit sogennanten Di¤erentialen in folgender 

Form schreiben: 

y 0 = dy dy 

= 

dx du 

du 

dx : 

Satz 5.6. (Ableitung der Umkehrfunktion) 

y = f (x) sei stetig und streng monoton auf [a; b] : Ist f di¤erenzierbar an 

x0 2 [a; b] mit f 0 (x0) 6= 0; dann ist die Umkehrfunktion x = f 1 (y) di¤erenzierbar 

an y0 = f (x0) mit 

f 1 0 (y0) = 

1 

f 0 (x0) . 

5.3 Ableitung der elementaren Funktionen 

Satz 5.7. (Exponentialfunktion) 

(e x ) 0 = e x für alle x 2 R. 

Satz 5.8. (Logarithmusfunktion) 

(ln x) 0 = 1 

x 

für alle x 2 (0; +1).


Satz 5.9. (Potenzfunktion) 

Es sei 2 R konstant. Dann gilt 

Satz 5.10. 

(x ) 0 = x 1 für alle (0; +1) : 

Es gelte h (x) = [f (x)] g(x) mit f (x) > 0. Dann gilt 

h 0 (x) = h (x) [g (x) ln f (x)] 0 : 

Satz 5.11. (Trigonometrische Funktionen) 

Die Funktionen sin x; cos x; tan x; cot x sind an jeder Stelle ihres De…nitionsbereiches 

di¤erenzierbar mit 

1. (sin x) 0 = cos x; 

2. (cos x) 0 = sin x; 

3. (tan x) 0 = 1 

cos 2 x = 1 + tan2 x; 

4. (cot x) 0 = 

Satz 5.12. 

1 

sin 2 x = 1 cot2 x: 

Es sei ! eine Konstante mit ! 6= 0. 

1. Die Funktion 

y (x) = a cos !x + b sin !x (a; b 2 R) 

genügt der Di¤erentialgleichung (DGL) 

y 00 (x) + ! 2 y (x) = 0:


2. Jede Lösung der obigen Di¤erentialgleichung ist von der Form y (x) = 

a cos !x + b sin !x mit beliebigen Konstanten a und b. 

Satz 5.13. (Zyklometrische bzw. Arcus–Funktionen) 

1. (arcsin x) 0 = 

2. (arccos x) 0 = 

3. (arctan x) 0 = 

4. (arccot x) 0 = 

1 

p 1 x 2 

1 

p 1 x 2 

1 

1 + x 2 

1 

1 + x 2 

auf ( 1; + 1) 

auf R 

auf ( 1; + 1) 

auf R 

De…nition 5.14. (Hyperbolische Funktionen) 

Die hyperbolischen Funktionen sind de…niert durch 

1. sinh x := ex e x 

2 

2. cosh x := ex + e x 

3. tanh x := 

4. coth x := 

2 

(x 2 R) 

(x 2 R) 

sinh x 

cosh x = ex e x 

ex + e x 

(x 2 R) 

cosh x 

sinh x = ex + e x 

ex e x (x 6= 0) 

Satz 5.15. (Additionstheoreme für sinh und cosh) 

Für alle x; y 2 R gilt 

sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y; 

cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y:


Satz 5.16. 


cosh 2 x sinh 2 x = 1: 

Satz 5.17. (Ableitung der hyperbolischen Funktionen) 

1. (sinh x) 0 = cosh x (x 2 R) ; 

2. (cosh x) 0 = sinh x (x 2 R) ; 

3. (tanh x) 0 = 

4. (coth x) 0 = 

1 

cosh 2 x = 1 tanh2 x (x 2 R) ; 

1 

sinh 2 x = 1 coth2 x (x 6= 0) : 

Satz 5.18. (Ableitung der Area–Funktionen) 

Es gilt 

1. (arsinh x) 0 = 

2. (arcosh x) 0 = 

3. (artanh x) 0 = 

4. (arcoth x) 0 = 

1 

p 1 + x 2 

1 

p x 2 1 

für x 2 R, 

für x > 1; 

1 

1 x 2 für jxj < 1; 

1 

1 x 2 für jxj > 1:


5.4 Sätze über di¤erenzierbare Funktionen 

De…nition 5.19. (Lokales Extremum) 

Die Funktion f hat in x0 ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum), 

wenn es ein > 0 gibt, so dass f (x) f (x0) (bzw. f (x) f (x0)) für alle 

x 2 (x0 ; x0 + ) gilt. 

Satz 5.20. (Notwendige Bedingung für lokales Extremum) 

Die Funktion f sei in (a; b) de…niert und in x0 2 (a; b) di¤erenzierbar. Besitzt 

f in x0 ein lokales Extremum, so gilt f 0 (x0) = 0: 

Bemerkung: 

Das heißt, y = f (x) besitzt in einer lokalen Extremstelle eine waagrechte 

Tangente. 

Satz 5.21. (Satz von Rolle) 

Die Funktion f sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig und (mindestens) 

auf dem o¤enen Intervall (a; b) di¤erenzierbar. Weiterhin gelte f (a) = 

f (b) : Dann existiert (mindestens) eine Zahl x0 2 (a; b) mit f 0 (x0) = 0: 

Satz 5.22. (Mittelwertsatz der Di¤erentialrechnung) 


auf dem o¤enen Intervall (a; b) di¤erenzierbar. Dann existiert (mindestens) 

eine Zahl x0 2 (a; b) ; so dass gilt 

Satz 5.23. 

f (b) f (a) 

b a 

= f 0 (x0) : 

Gilt f 0 (x) = 0 für alle x 2 [a; b] ; dann ist f konstant auf [a; b] : 

Bemerkung:


Gilt f 0 (x) = g 0 (x) für alle x 2 [a; b] ; dann folgt f (x) = g (x) + c auf [a; b] 

mit einer Konstanten c 2 R: 

Satz 5.24. 


auf dem o¤enen Intervall (a; b) di¤erenzierbar. 

1. f 0 (x0) > 0 auf (a; b) =) f streng monoton wachsend. 

2. f 0 (x0) < 0 auf (a; b) =) f streng monoton fallend. 

Bemerkung: 

Ist die Funktion f auf [a; b] di¤erenzierbar mit f 0 (x0) > 0 auf (a; b) oder 

f 0 (x0) < 0 auf (a; b) ; so existiert die Umkehrfunktion f 1 : 

5.5 Extremwerte 

Satz 5.25. 

Die Funktion f sei zweimal di¤erenzierbar, und es gelte f 0 (x0) = 0: 

1. Ist f 00 (x0) < 0; so hat f in x0 ein lokales Maximum. 

2. Ist f 00 (x0) > 0; so hat f in x0 ein lokales Minimum. 

Bemerkung: 

Diese Bedingungen für lokale Extrema sind hinreichend, aber nicht notwendig. 

Satz 5.26. 

Die Funktion f sei n–mal di¤erenzierbar (n 2) und es gelte f 0 (x0) = 

f 00 (x0) = = f (n 1) (x0) = 0; sowie f (n) (x0) 6= 0:


1. Ist n gerade, so hat f in x0 ein lokales Extremum, und zwar 

ein lokales Maximum, falls f (n) (x0) < 0, 

ein lokales Minimum, falls f (n) (x0) > 0: 

2. Ist n ungerade, so hat f in x0 kein lokales Extremum. 

Bemerkung: 

Nach Satz 4.10 nimmt eine stetige Funktion auf abgeschlossenen Intervallen 

ihr absolutes Maximum und ihr absolutes Minimum an. Liegt es auf dem 

Rand des Intervalls, so braucht dort nicht notwendig f 0 (x0) = 0 zu gelten. 

Folgerung: 

Bei der Suche nach Extrema in abgeschlossenen Intervallen [a; b] müssen 

auch f (a) und f (b) untersucht werden. 

Bemerkung: Kurvendiskussion 

1. Maximaler De…nitionsbereich (falls nicht vorgegeben) 

2. Nullstellen von f 

3. Extrema von f 

4. Extrema von f 0 ( Wendepunkte von f) 

5. Verhalten von f für x ! +1; x ! 1 (dabei ist D (f) zu beachten) 

6. Schaubild 

5.6 Die Regeln von l’Hospital 

Satz 5.27. (Regel von l’Hospital) 

Die Funktionen f und g seien di¤erenzierbar und g0 (x) 6= 0 in einem Intervall 

um a. Weiterhin gelte f (a) = g (a) = 0: Existiert dann der Grenzwert 

f 

lim 

x!a 

0 (x) 

g0 f (x) 

; so existiert auch lim ; und beide Werte sind gleich. 

(x) x!a g (x)


Bez.: In der Praxis bezeichnet man dies als den „Fall 0 0“. 

Bemerkung: 

Die Substitution x = 1 

(x ! +1 () t ! +0) ergibt einen entsprechen- 

t 

den Satz für den Grenzübergang x ! +1; wenn limx!+1 f (x) = limx!+1 g (x) = 

0: 

Satz 5.28. („Fall 1 1“) 

Die Funktionen f und g seien di¤erenzierbar und g 0 (x) 6= 0 in einem Intervall 

um a. Weiterhin gelte lim 

Grenzwert lim 

x!a 

gleich. 

Bemerkungen: 

x!a g (x) = +1 (oder 1) : Existiert dann der 

f 0 (x) 

g0 ; so existiert auch lim 

(x) x!a 

1. Der Satz enthält keine Voraussetzung über lim 

x!a f (x) : 

2. Ein entsprechender Satz gilt für a = +1: 

f (x) 

; und beide Werte sind 

g (x)


Grenzwerte –Unbestimmte Ausdrücke 

Form f (x) ! g (x) ! Umformung 

0 0 0 0 l’Hospital 

1 1 1 1 l’Hospital 

0 1 0 1 f g = f 

1 

g 

f g = g 

1 

f 

1 1 +1 +1 f g = 

11 1 1 ! e 

00 0 0 ! e 

10 1 0 ! e 

5.7 Das Newton–Verfahren 

f g = eg ln f 

1 0 

0 ( 1) 

0 1 

! 0 

0 oder 

! 1 

1 

1 

g 

1 

f 

1 

f 

1 

g 

! 0 

0 

Das Newton–Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen 

Berechnung der Nullstellen von di¤erenzierbaren Funktionen. Näheres dazu 

siehe Vorlesung. 

Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet 

xn+1 = xn 

Bemerkungen: 

f (xn) 

f 0 (xn) 

1. Konvergenzbedingung 

M = max 

x2[a;b] 

( n = 1; 2; 3; : : : ). 

f (x) f 00 (x) 

[f 0 (x)] 2 

< 1:


2. Fehlerabschätzungen 

jx xnj 

jx xnj 

M 

1 M jxn xn 1j (a posteriori–Abschätzung) 

M n 

1 M jx1 x0j (a priori–Abschätzung).


6 Integralrechnung 

6.1 De…nition des bestimmten Riemannschen Integrals 

Problem: Flächeninhalt A zwischen Kurve y = f (x) und x–Achse. 

Zerlegung Z von [a; b] in n + 1 Teilpunkte 

a = x0 < x1 < x2 < < xn = b: 

Bilden über jedem Teilintervall [xi 1; xi] jeweils ein Rechteck mit der Fläche 

f(xi) (xi xi 1). Die Summe dieser Rechtecks‡ächen 

SZ = nP 

f(xi) (xi xi 1) 

i=1 

heißt Riemannsche Summe bezüglich der Zerlegung Z. 

Ein Maßfür die „Feinheit“ einer Zerlegung Z ist die Länge des größten 

Teilintervalls 

kZk = max (xi xi 1) : 

Erwartung: SZ ! A für kZk ! 0: 

De…nition 6.1. (Bestimmtes Riemannsches Integral) 

Die Funktion f sei beschränkt auf dem Intervall [a; b]. Streben die Riemannschen 

Summen SZ für alle Z mit kZk ! 0 einem gemeinsamen Grenzwert 

S zu, so heißt f integrierbar auf [a; b]. Die Zahl 

S = lim 

kZk!0 SZ = 

Rb 

a 

f (x) dx 

heißt bestimmtes Riemannsches Integral über f im Intervall [a; b] : 

Bemerkungen: 

1. Das bestimmte Riemannsche Integral ist eine Zahl.


2. Die Bezeichnung der Integrationsvariablen spielt keine Rolle. 

Satz 6.2. 

1. Alle stetigen Funktionen sind Riemann-integrierbar. 

2. Alle monotonen und beschränkten Funktionen sind Riemann-integrierbar. 

6.2 Eigenschaften des bestimmten Integrals 


Die Funktion f sei Riemann-integrierbar. Dann gilt für alle reellen Zahlen 

a; b 

1. 

2. 

aR 

f (x) dx = 0; 

a 

aR 

f (x) dx = 

b 

Satz 6.4. 

Rb 

a 

f (x) dx: 

Die Funktionen f, g seien Riemann-integrierbar. Dann gilt 

1. 

2. 

Zb 

a 

Zb 

a 

c f (x) dx = c 

Zb 

[f (x) g (x)] dx = 

a 

f (x) dx (c 2 R); 

Zb 

a 

f (x) dx 

Zb 

a 

g (x) dx:


Bemerkung: 

Mit f und g ist auch das Produkt f g integrierbar, aber i.a. gilt 

Zb 

a 

Satz 6.5. 

[f (x) g (x)] dx 6= 

Zb 

a 

f (x) dx 

Zb 

a 

g (x) dx: 

Die Funktion f sei integrierbar in [a; b] : Dann gilt für alle c 2 [a; b] 

Zb 

a 

Satz 6.6. 

f (x) dx = 

Zc 

a 

Z 

f (x) dx + 

c 

b 

f (x) dx . 

Die Funktionen f und g seien integrierbar in [a; b] : Ist f (x) g (x) auf 

[a; b], so gilt 

Zb 

a 

Satz 6.7. 

f (x) dx 

Zb 

a 

g (x) dx: 

Die Funktion f sei Riemann-integrierbar auf [a; b] mit 

m f (x) M für alle x 2 [a; b] : 

Dann gilt die Abschätzung 

m (b a) 

Zb 

a 

f (x) dx M (b a) :


Satz 6.8. (Mittelwertsatz der Integralrechnung) 

Ist f stetig auf [a; b], dann existiert eine Zahl 2 [a; b], so dass 

Rb 

a 

f (x) dx = f ( ) (b a) : 

6.3 Zusammenhang zwischen Di¤erential- und Integralrechnung 

Es sei f integrierbar in [a; b]. Wir setzen 

Satz 6.9. 

(x) = 

Zx 

a 

f (t) dt : 

Sei f auf [a; b] stetig, so ist die Funktion di¤erenzierbar in [a; b] mit 

0 (x) = f (x) für alle x 2 [a; b] : 

De…nition 6.10. (Stammfunktion) 

F heißt Stammfunktion von f in [a; b], falls gilt 

F 0 (x) = f (x) für alle x 2 [a; b] 

(in den Endpunkten x = a und x = b wird F nur einseitig di¤erenzierbar 

vorausgesetzt). 

Bemerkung: 

1. F heißt unbestimmtes Integral zu f. Bez.: R f (x) dx: 

2. Ist F Stammfunktion von f, so auch F + c für alle Konstanten c 2 R.


Satz 6.11. 

Sind F1 und F2 Stammfunktionen von f in [a; b], dann gilt 

F1 (x) = F2 (x) + c für alle x 2 [a; b] 

mit einer Konstanten c 2 R. 

Satz 6.12. (Hauptsatz der Di¤erential- und Integralrechnung) 

Es sei f stetig auf [a; b], dann besitzt f eine Stammfunktion, und für jede 

Stammfunktion F zu f gilt 

Rb 

a 

Bemerkung: 

f (x) dx = F (b) F (a) : 

1. Schreibweise 

Rb 

a 

f (x) dx =: F (x) j b 

a = F (b) F (a) : 

2. Zur Berechnung bestimmter Integrale gilt es, eine Stammfunktion zu 

…nden. 

6.4 Methoden zur Berechnung von Integralen 

Satz 6.13. (Substitutionsregel) 

Es sei f stetig in [a; b]. Die Funktion x (t) sei stetig di¤erenzierbar auf [ ; ] 

mit x ( ) = a, x ( ) = b und x(t) 2 [a; b] für alle t 2 [ ; ]. Dann gilt: 

Rb 

a 

f (x) dx = R f (x (t)) x 0 (t) dt: 

Satz 6.14. (Partielle Integration) 

Die Funktionen f und g seien stetig di¤erenzierbar auf [a; b], Weierhin seien 

f 0 und g 0 beschränkt und Riemann–integrierbar auf [a; b]. Dann gilt 

Rb 

a 

f 0 (x) g (x) dx = f (x) g (x) j b 

a 

Rb 

f (x) g0 (x) dx: 

a


6.5 Partialbruchzerlegung 

Problem: Integral über rationale Funktionen 

Zb 

a 

P (x) 

Q (x) 

dx = 

Zb 

a 

anxn + + a0x0 bmxm dx 

+ + b0x0 P (x) 

Q(x) 

Es gelte Q (x) 6= 0 im Integrationsbereich [a; b]. Wir gehen davon aus, dass P 

und Q keine gemeinsamen Nullstellen haben (andernfalls kürzen). Ist Grad 

P = n m = Grad Q, so führe man eine Polynomdivision mit Rest durch. 

Methode: 

Zerlege Q (x) in ein Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren. Dann 

kann man darstellen als Linearkombinationen von Ausdrücken des Typs 

Fall 1: 

P (x) 

Q(x) 

1 

und k 

(x ) 

Ax + B 

(x2 : ` 

+ x + ) 

Q hat nur einfache lineare Faktoren, d.h. 

Ansatz: 

Fall 2: 

Q (x) = (x 1) (x 2) (x n) : 

P (x) a1 

= + 

Q (x) x 1 

a2 

+ + 

x 2 

an 

x n 

Q hat mehrfache lineare Faktoren, d.h. 

Q (x) = (x 1) k1 (x 2) k2 (x r) kr = 

rY 

(x j) kj mit 

j=1 

rX 

kj = n: 

j=1


Ansatz: 

Fall 3: 

P (x) 

Q (x) = 

a1;1 

+ 

x 1 

+ 

+ ar;1 

+ 

x r 

a1;2 

a1;k1 

+ + 

(x 2 

1) (x 1) k1 

ar;2 

+ + 

(x 2 

r) 

ar;kr 

(x r) kr 

Q hat einfache quadratische Faktoren x 2 + x + : 

Ansatz: 

Fall 4: 

x 2 + x + ! 

Ax + B 

x 2 + x + 

Q hat mehrfache quadratische Faktoren x 2 + x + ` : 

Ansatz: 

x 2 + x + ` ! 

`X 

j=1 

6.6 Uneigentliche Integrale 

Ajx + Bj 

(x 2 + x + ) j 

Bisher war bei der De…nition der Integrierbarkeit der Integrand f als beschränkt 

auf einem endlichen Intervall [a; b] vorausgesetzt worden. 

De…nition 6.15. (Uneigentliche Integrale) 

Es sei f Riemann-integrierbar in jedem Intervall [a; B] mit a 

de…niert das uneigentliche Integral 

Zb 

a 

f (x) dx = lim 

B!b 0 

ZB 

wenn dieser Grenzwert existiert. 

Bemerkung: 

a 

f (x) dx;


1. Wenn b = +1, dann 

Z 

+1 

a 

2. analog für a 

Zb 

a 

ZB 

f (x) dx = lim f (x) dx: 

B!+1 

f (x) dx = lim 

a 

Zb 

A!a+0 

A 

6.7 Numerische Integration 

f (x) dx: 

Trapezformel: Für alle n 2 N setzen wir 

In = h 

Es gilt In ! I (n ! 1) : 

y0 

2 + y1 + y2 + + yn 1 + yn 

2 

Simpson–Formel: Für n = 2; 4; 6; 8; : : : setzen wir 

In = h 

3 [(y0 + yn) + 4 (y1 + y3 + + yn 1) + 2 (y2 + y4 + + yn)] : 

Es gilt In ! I (n ! 1) : 

Fehlerabschätzung für Trapezformel 

jI Inj 

(b a) h 2 

12 

max 

x2[a;b] f 00 (x) : 

Fehlerabschätzung für Simpson–Formel 

jI Inj 

(b a) h 4 

180 

max 

x2[a;b] f (4) (x) : 

Romberg–Verfahren siehe Vorlesung. 

:


7 Analytische Geometrie 

7.1 Kurvengleichungen in der Ebene 

De…nition 7.1. (Polarkoordinaten) 

Wählen festen Punkt O einer Ebene als Pol und einen von O ausgehenden 

Strahl als Polarachse. Die Polarkoordinaten (r; ') eines Punktes P 6= 

O bestehen aus dem Abstand r = OP und dem Richtungswinkel ' 

zwischen Polarachse und OP (mathematisch positiv gemessen). 

De…nition 7.2. (Parameterdarstellung einer Kurve) 

Durch das Gleichungssystem 

x = x (t) 

y = y (t) 

wird jedem Parameterwert t 2 T der Punkt P (x; y) zugeordnet. 

7.2 Kreis, Ellipse 

Die Gleichung des Kreises um M (xM; yM) mit Radius R ist 

(x xM) 2 + (y yM) 2 = R 2 : 

Ist speziell xM = yM = 0; so gilt x 2 + y 2 = R 2 : 

x 2 + y 2 < R 2 (Kreisinneres) 

x 2 + y 2 > R 2 (Kreisäußeres) 

Polarkoordinatendarstellung mit Pol als Mittelpunkt: r = R: 

Parameterdarstellung: 

x (t) = xM + R cos t 

y (t) = yM + R sin t:


Tangente an Kreis x 2 + y 2 = R 2 mit Berührpunkt P (x0; y0) besitzt die 

Gleichung x x0 + y y0 = R 2 : 

De…nition 7.3. (Ellipse) 

Die Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer 

Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkte) konstant ist. 

Abstand der beiden Brennpunkte F1 und F2 ist F1F2 = 2e: 

Die Summe der beiden Brennstrahlen ist P F1 + P F2 = 2a: 

Lineare Exzentrizität ist e. 

Numerische Exzentrizität ist " = e 

a : 

Wegen e < a gilt " < 1: 

Mittelpunktgleichung: 


x (t) = a cos t 

x 

a 

2 + y 

b 

y (t) = b sin t (t 2 [0; 2 )) : 

Bemerkungen: 

2 = 1: 

1. Aus der Parameterdarstellung folgt wieder die Mittelpunktsgleichung. 

2. Der Kreis ergibt sich als Spezialfall a = b = R; F1 = F2 = M: 

3. Die Ellipsentangente im Ellipsenpunkt P (x0; y0) besitzt die Gleichung 

x x0 y x0 

+ 

a2 b2 = 1:


7.3 Parabel 

De…nition 7.4. (Parabel) 

Die Parabel ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstände von einer 

festen Geraden ` (Leitlinie) und einem Punkt F (Brennpunkt) gleich sind. 

Das Lot P L auf die Leitlinie heißt Leitstrahl, P F heißt Brennstrahl. 

Forderung: P L = P F . 

Der Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie heißt Halbparameter p. 

Der Scheitelpunkt S halbiert p = L0F . 

Scheitelgleichung: y2 = 2px: 

Polargleichung: r = 

1 

p 

; ' 2 (0; 2 ) : 

cos ' 


x (t) = t 2 

y (t) = p 2p t (t 2 ( 1; +1)) : 

7.4 Hyperbel 

De…nition 7.5. (Hyperbel) 

Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Di¤erenz 

ihrer Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkte) konstant ist. 

Mittelpunktsgleichung: 

x 

a 

2 y 

b 

2 = 1: 

Hauptscheitelpunkte: ( a; 0) und (a; 0) ; wobei a reelle und b imaginäre 

Halbachse heißt. 


x (t) = a cosh t 

y (t) = b sinh t (t 2 ( 1; +1)) :


7.5 Kegelschnitte 

Ziel: Einheitliche Behandlung von Ellipse, Parabel und Hyperbel. 

Allgemeine Form einer algebraischen Gleichung zweiten Grades: 

a11 x 2 + 2 a12 x y + a22 y 2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33: 

Determinante 

D = 


a21 a22 a23 

a31 a32 a33 

mit Unterdeterminanten 

D11 = a22 a23 

a32 a33 

Scheitelgleichungen: 

Ellipse: y 2 = 2px 

Parabel: y 2 = 2px 

Hyperbel: y 2 = 2px 

mit aik = aki 

; D33 = a11 a12 

a21 a22 

p 

a 

p 

a 

x 2 

x 2 

Einheitliche gemeinsame Gleichungen: 

y 2 = 2px " 2 1 x 2 (Scheitelgleichung) 

r = 

p 

1 " cos ' 

" = 0 für Kreis 

0 " < 1 für Ellipse 

" = 1 für Parabel 

" > 1 für Hyperbel 

(Polargleichung) 

:


8 Lineare Algebra 

8.1 Matrizen 

De…nition 8.1. (Matrix) 

Das Koe¢ zientenschema 

0 

B 

A = B 

@ 

a11 a12 a1n 

a21 a22 a2n 

. 

. 

. .. 

am1 am2 amn 

von Zahlen aik heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten. 

. 

1 

C 

A 

Bez.: (m; n)–Matrix A = (aik)i=1;:::;m 

k=1;:::;n 

(m; n) heißt Typ der Matrix A. 

Bemerkung: Spezialfälle: 

1. m = n : quadratische Matrix 

2. m = 1 : A = (a11; a12; : : : ,a1n) Zeilenvektor 

0 1 

B 

3. n = 1 : A = B 

@ 


a11 

a21 

. 

am1 

C 

A 

Spaltenvektor 

1. O = (oik) mit oik = 0 heißt Nullmatrix. 

2. E = (eik) mit eik = 

m = n). 

1; falls i = k 

0; falls i 6= k 

heißt Einheitsmatrix (nur für



Zwei (m; n)–Matrizen A = (aik) und B = (bik) heißen gleich, wenn aik = bik 

für alle i; k gilt. 


Gegeben seien zwei (m; n)–Matrizen A und B: Wir de…nieren 

1. A + B = (aik + bik) ; 

2. A = ( aik) für 2 R: 

De…nition 8.5. (Matrizenprodukt) 

Es sei A = (aij) eine (m; n)–Matrix, und es sei B = (bjk) eine (n; p)–Matrix. 

Dann heißt die (m; p)–Matrix C = (cik) mit 

cik = 

nX 

aij bjk (i = 1; : : : ; m; k = 1; : : : ; p) 

j=1 

das Produkt von A und B. 

Bez.: C = A B 

Bemerkung: 

0 

B 

1. Sonderfall B = B 

@ 

x1 

x2 

. 

xn 

1 

C ist Spaltenvektor vom Typ (n; 1) ;das heißt 

A


p = 1: 

A B = 

= 

0 

B 

@ 

0 

B 

@ 

a11 a12 a1n 

a21 a22 a2n 

. 

. 

. .. 

am1 am2 amn 

. 

1 

C 

A 

0 

B 

@ 

x1 

x2 

. 

xn 

1 

C 

A 

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn 

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn 

. 

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn 

ist Matrix vom Typ (m; p) = (m; 1) ; das heißt Spaltenvektor. 

2. Ein lineares Gleichungssystem (GLS) mit m Gleichungen und 

0 

n Unbe- 

1 

kannten x1; x2; : : : ; xn hat die Gestalt A ! x = ! b mit ! B 

x = B 

@ 

0 

und ! B 

b = B 

@ 

Ausführlich: 

b1 

b2 

. 

bn 

1 

C 

A : 

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 

a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 

. 

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm 

3. (m; n) (n; p) = (m; p) 

Satz 8.6. 

Für Matrizen A; B; C und 2 R gilt 

1. A (B C) = (A B) C; 

2. A ( B) = (A B) = ( A) B; 

1 

C 

A 

Gegeben: A; ! b 

Gesucht: ! x 

x1 

x2 

. 

xn 

C 

A


3. A (B + C) = A B + A C; 

4. (A + B) C = A C + B C, 

sofern die Produkte und Summen zu bilden sind.


Bemerkungen: 

1. Vorsicht! Im allgemein ist A B 6= B A: 

2. Ist A eine beliebige (m; n)–Matrix, O die (n; p)–Nullmatrix, so ist A O 

die (m; p)–Nullmatrix. 

3. Bei Matrizen ist A B = 0 mit A 6= 0 und B 6= 0 möglich. 

Satz 8.7. 

Es sei A eine beliebige (n; n)–Matrix und E die (n; n)–Einheitsmatrix. Dann 

gilt 

Problem: 

A E = E A = A: 

Matrizengleichung: A X = E bzw. X A = E 

Gesucht: Matrix X 

De…nition 8.8. (Inverse) 

Die (n; n)–Matrix A heißt invertierbar, wenn eine Matrix A 1 existiert 

mit A A 1 = E. Die Matrix A 1 heißt Inverse zu A. 

Satz 8.9. 

1. Es gilt A 1 A = A A 1 = E: 

2. Die Inverse A 1 ist eindeutig. 

3. A 1 hat die Inverse A, das heißt A 1 1 = A:


Bemerkung: 

1. Lineares Glechungssystem A ! x = ! b mit invertierbarem A =) A 1 

A ! x = A 1 ! b : Wegen E ! x = ! x nach Satz 8.7 ist ! x = A 1 ! b : 

2. Die direkte Berechnung von A 1 ist langwierig. Nachfolgend einfachere 

Methode. 


Elementare Zeilenoperationen für eine Matrix sind 

1. Multiplikation einer Zeile mit einer Konstante 6= 0; 

2. Vertauschung zweier Zeilen 

3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. 

Analog für elementare Spaltenoperationen. 

Satz 8.11. 

A ist genau dann invertierbar, wenn A durch elementare Zeilenoperationen 

in E übergeführt werden kann. 

8.2 Determinanten 

De…nition 8.12. (Zweireihige Determinante) 

Für A = a11 a12 

a21 a22 

heißt 

det A = a11 a22 a12 a21 

Determinante von A: 

Bez.: det A = jAj = a11 a12 

a21 a22


De…nition 8.13. 

Es sei A = (aik) eine (n; n)–Matrix. Diejenige (n 1; n 1)–Matrix, die aus 

A durch Wegnahme der i–ten Zeile und der k–ten Spalte entsteht, wird als 

Untermatrix Aik bezeichnet. 

Bemerkung: 

Es gibt n 2 solcher Aik. 

De…nition 8.14. (Determinante) 

Für eine (n; n)–Matrix A = (aik) heißt die Zahl 

det A = a11 det A11 a12 det A12 + + ( 1) n+1 a1n det A1n 

= 

nX 

k=1 

Determinante von A. 

Bemerkung: 

( 1) i+k a1k det A1k 

1. Entwicklung nach der ersten Zeile. 

2. Rückführung von n–reihiger Determinante auf n Determinanten mit 

n 1 Reihen. Also sukzessiver Abbau auf zweier–Determinanten möglich. 

De…nition 8.15. (Laplacescher Entwicklungssatz) 

Für eine (n; n)–Matrix A = (aik) gilt 

1. det A = nP 

( 1) i+k aik det Aik für i = 1; 2; : : : ; n (Entwicklung 

k=1 

nach der i–ten Zeile), 

2. det A = nP 

( 1) i+k aik det Aik für k = 1; 2; : : : ; n (Entwicklung 

i=1 

nach der k–ten Spalte).



Eine (n; n)–Matrix A = (aik) heißt 

1. untere Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 für k > i; 

2. obere Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 für k < i; 

3. Diagonalmatrix, wenn aik = 0 für k 6= i: 

Satz 8.17. 

Ist A = (aik) eine (n; n)–Dreiecksmatrix, so gilt 

det A = a11 a22 ann: 

Bemerkung: 

Speziell für n = 3 gibt es die Sarrussche Regel. 

Satz 8.18. (Rechenregeln für Determinanten) 

A sei eine (n; n)–Matrix. Entsteht B aus A dadurch, 

1. dass eine Zeile (oder Spalte) mit dem Faktor multipliziert wird, =) 

det B = det A; 

2. dass zwei Zeilen (oder Spalte) miteinander vertauscht werden, =) 

det B = det A; 

3. dass zu einer Zeile (oder Spalte) ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) 

addiert wird, =) det B = det A: 

Satz 8.19. 

A invertierbar () det A 6= 0


Satz 8.20. 

Für (n; n)–Matrizen A und B gilt 

det (A B) = det A det B: 

Bemerkungen: 

1. det A det A 1 = det A A 1 = det E = 1 =) det A 1 = 1 

det A 

2. Vorsicht! Im allgemeinen ist det (A + B) 6= det A + det B. 

8.3 Lineare Gleichungssysteme 

m Gleichungen mit n Unbekannten x1; x2; : : : ; xn 

0 

1 0 1 0 

B 

@ 

a11 a12 a1n 

a21 a22 a2n 

. 

. 

. .. 

am1 am2 amn 

oder kurz A ! x = ! b : 

. 

C 

A 

B 

@ 

x1 

x2 

. 

xn 

C 

A = 

B 

@ 

Ist die rechte Seite ! b = ! 0 ; so heißt das Gleichungssystem homogen, andernfalls 

inhomogen. 

b1 

b2 

. 

bm 

1 

C 

A 

Ist m = n, so heißt das Gleichungssystem quadratisch. 

Satz 8.21. 

Ist A eine invertierbare Matrix (und damit quadratisch), so ist das Gleichungssystem 

A ! x = ! b eindeutig lösbar mit ! x = A 1 ! b . 

Bemerkung:


Berechnung von A 1 ist aufwendig. Nur geeignet, wenn viele Gleichungssysteme 

A ! x = ! b mit selbem A und verschiedenen rechten Seiten ! b zu lösen 

sind. 

8.4 Cramersche Regel 

Lineares Gleichungssystem für n = 2 

a11 x1 + a12 x2 = b1 j a22 

a21 x1 + a22 x2 = b2 j a12 

a11 a22 x1 + a12 a22 x2 = b1 a22 j + 

a21 a12 x1 + a22 a12 x2 = b2 a22 j 

(a11 a22 a21 a12) x1 = b1 a22 b2 a22 

Daraus folgt 

und analog 

mit 

x1 = b1 a22 b2 a22 

a11 a22 a21 a12 

x2 = b2 a11 b1 a21 

a11 a22 a21 a12 

A = a11 a12 

a21 a22 

= 

= 

b1 a12 

b2 a22 

a11 a12 

a21 a22 

a11 b1 

a21 b2 

a11 a12 

a21 a22 

; A1 = b1 a12 

b2 a22 

= det A1 

= det A2 

det A 

det A 

; A2 = a11 b1 

a21 b2 

:


Satz 8.22. (Cramersche Regel) 

Es sei A eine (n; n)–Matrix. Das Gleichungssystem A ! x = ! b ist genau 

dann eindeutig lösbar, wenn det A 6= 0 ist, mit der Lösung 

x1 = 

det A1 

det A ; x2 

det A2 

= 

det A ; : : : ; xn 

det An 

= 

det A : 

Die Matrix Aj (j = 1; 2; : : : ; n) entsteht dabei aus A, indem die j–te Spalte 

durch ! b ersetzt wird. 

Bemerkung: 

Cramersche Regel ist ungünstig für n > 3. 

8.5 Der Gaußsche Algorithmus 

Standard–Verfahren; optimal bezüglich Rechenaufwand. 

Idee: Umformung von A in Dreiecksform durch elementare Zeilenoperationen. 

Startschema: 

a11 a12 a1n b1 

a21 a22 a2n b2 

. 

. 

am1 am2 amn bm 

Es gelte a11 6= 0 (andernfalls zwei Zeilen vertauschen). 

Addition der mit 

; 


ergibt das Schema 

a21 

a11 

am1 

a11 

. 

. 

multiplizierten 1. Zeile zur 2. Zeile, 

multiplizierten 1. Zeile zur m-ten Zeile


a11 a12 a1n b1 

0 a 0 22 a 0 2n b 0 2 

0 a 0 32 a 0 3n 

. 

. 

0 a 0 m2 a 0 mn b 0 m 

. 

. 

Es gelte a0 22 6= 0 (andernfalls zwei Zeilen vertauschen oder, falls 2. Spalte 

unterhalb Diagonalelement nur Nullen enthält, Unbekannte umstellen). 


; 


ergibt das Schema 

a 0 32 

a 0 22 

a 0 m2 

a 0 22 

multiplizierten 2. Zeile zur 3. Zeile, 

multiplizierten 2. Zeile zur m-ten Zeile 

a11 a12 a13 a1n b1 

0 a0 22 a0 23 a0 2n b0 2 

0 0 a00 33 a00 3n b00 3 

. 

. 

. 

0 0 a 00 m2 a 00 mn b 00 m 

Nach k Schritten, wobei k m und k n, Ende bei System 

11 12 1k 1;k+1 1n 1 

. 

22 2k 2;k+1 2n 2 

. .. 

mit 11 6= 0; 22 6= 0; : : : ; kk 6= 0: 

Drei Fälle: 

. 

. 

. 

kk k;k+1 kn k 

0 k+1 

. 

. 

. . 

0 n


Fall 1: k < m und nicht alle Zahlen k+1; : : : ; m sind Null 

=) keine Lösung. 

Fall 2: k = n und (falls k < m) k+1 = = m = 0 

0 

1 0 1 0 1 

B 

@ 

11 12 1n 

22 2n 

. .. 

. 

nn 

C 

A 

B 

@ 

x1 

x2 

. 

xn 

C 

A = 

B 

@ 

xn = n 

nn (bea. nn 6= 0) usw. Rückwärtsau‡ösen =) eindeutige Lösung. 

Fall 3: k < n und (falls k < m) k+1 = = m = 0 

11 x1 + 12 x2 + + 1k xk = 1 1;k+1 xk+1 1n xn 

22 x2 + + 2k xk = 2 2;k+1 xk+1 2n xn 

. .. 

Die Zahlen xk+1; : : : ; xn sind beliebig wählbar, z.B. 

xk+1 = r1; xk+2 = r2; : : : ; xn = rn k: 

Einsetzen liefert mit gewissen Konstanten ij; i 

. 

1 

2 

n 

C 

A 

kk xk = k k;k+1 xk+1 kn xn 

x1 = 11r1 + 12r2 + + 1;n krn k + 1 

x2 = 21r1 + 22r2 + + 2;n krn k + 2 

. 

xk = k1r1 + k2r2 + + k;n krn k + k 

xk+1 = r1 

xk+2 = r2 

xn = rn k 

.


In Vektorschreibweise 

Beispiele: 

0 

B 

! 

B 

x = r1 

B 

@ 

0 

B 

@ 

0 

B 

@ 

0 

@ 

11 

. 

k1 

1 

0 

. 

0 

1 

C 

A 

+ r2 

1 2 1 1 

2 3 2 3 

3 1 2 3 

2 2 1 1 

1 0 2 

2 1 3 

3 2 7 

6 4 3 

1 

C 

A 

0 

@ 

1 2 1 1 

2 3 1 3 

1 1 0 2 

0 

B 

@ 

1 

C 

A 

x1 

x2 

x3 

1 

A 

12 

. 

k2 

0 

1 

. 

0 

0 

B 

@ 

1 

A = 

0 

B 

@ 

1 

C 

A 

x1 

x2 

x3 

x4 

x1 

x2 

x3 

x4 

+ + rn k 

1 

0 

C 

A = 

B 

@ 

0 

B 

@ 

7 

9 

22 

11 

1 

C 

A = 

Die allgemeine Lösung von A ! x = ! b ist 

! x = ! v0 + r1 ! v1 + + rn k ! 

vn k 

1 

C 

A 

mit beliebigen Konstanten r1; r2; : : : ; rn k 2 R: 

1 

2 

4 

1 

0 

B 

@ 

1 

C 

A 

1;n k 

. 

k;n k 

0 

0 

. 

1 

1 

0 

C B 

C B 

C B 

C B 

C B 

C + B 

C B 

C B 

C B 

A @ 

Setzen wir zum Beispiel r1 = r2 = = rn k = 0; so ergibt sich ! x = ! v0. 

Also gilt A ! v0 = ! b ; das heißt ! v0 ist Lösung des Gleichungssystem A ! x = ! b : 

0 

@ 

2 

1 

3 

1 

A 

. 

1 

k 

0 

0 

. 

0 

1 

C 

A


Ist ! x = ! v0 + rj ! vj , so ergibt sich 

! b = A ! x = A ( ! v0 + rj ! vj ) = A ! v0 + rj A ! vj : 

Daraus folgt A ! vj = 0; das heißt ! vj (j = 1; 2; : : : ; n k) sind Lösungen 

des homogenen Gleichungssystem A ! x = ! 0 : 

Bemerkungen: 

1. Ist m = n (A quadratisch), so ist 

det A = ( 1) p a11 a22 ann; 

wobei p = Anzahl der Zeilen–(Spalten–)vertauschungen. 

2. Eine Variante des Gaußschen Algorithmus ist der Gauß–Jordan– 

Algorithmus: 

Durch Zeilenmultiplikation werden die Diagonalelemente ajj zu 1 gemacht. 

Auch die Matrixelemente in der Spalte oberhalb ajj werden zu 0 gemacht. 

=) „Diagonalmatrix“ 

8.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 

In diesem Kapitel sei A stets eine quadratische Matrix. 

Gesucht ist Zahl und Vektor ! x mit 

A ! x = 

! x ; 

das heißt ! x und A ! x haben selbe Richtung. 

Da ! x = ! 0 immer Lösung, nur ! x 6= ! 0 interessant.


De…nition 8.23. (EW, EV) 

Eine Zahl , zu der ein Vektor ! x 6= ! 0 mit A ! x = ! x existiert, heißt 

Eigenwert (EW) von A. ! x heißt dann Eigenvektor (EV) von A. 

Bemerkung: 

Ist ! x EV zum EW , so auch r ! x für alle r 2 R n f0g : 

A ! x = ! x = (E ! x ) = ( E) ! x () (A E) ! x = ! 0 ; homogenes 

Gleichungssystem mit Matrix (A E) : 

Eindeutig lösbar (und zwar mit ! x = ! 0 ) () det (A E) 6= 0: 

Nichttriviale Lösungen ! x 6= ! 0 existieren also genau dann, wenn 

det (A E) = 

a11 a12 a1n 

a21 a22 a2n 

. 

. 

. .. 

an1 an2 ann 

Entwicklung liefert ein Polynom vom Grad n in : 

Satz 8.24. 

det (A E) = c0 + c1 + + cn 1 

. 

= 0: 

n 1 + ( 1) n n : 

Die EWe der (n; n)–Matrix A sind genau die Nullstellen des charakteristischen 

Polynoms 

Satz 8.25. 

P ( ) = det (A E) : 

Hat die (n; n)–Matrix A die EWe 1; 2; : : : ; n; dann gilt 

1. det A = 1 2 n; 

2. sp A = 1 + 2 + + n:


Dabei ist sp A = nP 

akk (Spur von A) die Summe der Diagonalelemente 

von A. 

Bemerkung: 

k=1 

det A = 0 () = 0 ist EW von A. 

Satz 8.26. 

Die Matrix A sei invertierbar. 

1. ist EW von A () 1 ist EW von A 1 : 

2. ! x EV von A zu EW =) ! x EV von A 1 zu EW 1 : 

8.7 Austauschverfahren 

Siehe Vorlesung.

Mathematik für Ingenieure (Teil 1) - Fachbereich 13 MND

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