24. Projektive Geometrie

24. Projektive Geometrie
24.1. Projektive Räume
Zweck: Störende Ausnahmefälle der affinen Geometrie beseitigen durch geschickte Erweiterung
affiner Räume zu sogenannten projektiven Räumen, wo die Ausnahmen nicht mehr
auftreten.
Sei K ein beliebiger Körper, V ein K-Vektorraum.
Definition: Die Menge der eindimensionalen Teilräume von V
heißt projektiver Raum.
P := P(V ) := {Kx | x ∈ V \ {0}}
Eine Teilmenge X ⊆ P(V ) heißt projektiver Teilraum von P(V ), falls ein Untervektorraum
Ux ≤ V existiert mit
X = P(Ux) := {Kx | x ∈ Ux \ {0}}
dim(P) := dim(U) − 1 heißt Dimension von P.
X heißt
⎧
⎪⎨ Punkt
Gerade
⎪⎩
Ebene
⎫
⎧
⎪⎬
⎪⎨ 0
falls dim X = 1
⎪⎭ ⎪⎩
2
P n := P n (K) := P(K n+1 ) heißt der projektive Standardraum.
Bemerkung: Die leere Menge ∅ ist ein projektiver Raum mit U∅ = {0}, also dim ∅ = −1.
Lemma:
Ist I eine beliebige Indexmenge und ∀i ∈ X : Xi ⊆ P(V ) projektive Teilräume. Dann ist
ein projektiver Teilraum.
X :=
Xi ⊆ P(V )
i∈I
Insbesondere existiert für jede beliebige Teilmenge M ⊆ P(V ) die projektive Hülle
[M] :=
X proj. TR;M⊆X
.
X
107

24. Projektive Geometrie
Speziell:
(1) X, Y ⊆ P(V ) projektive Teilräume
(2) Für M = {P1, . . . , Pr} setze
[X ∪ Y ] = P(Ux + Uy)
[M] := [P1, . . . , Pr]
Beweis: Sei Xi = P(Ui) zu Teilvektorräumen Ui ≤ V . Damit:
X =
{Kx | x ∈ Ui \ {0}}
i∈I
= Kx | x ∈
Ui, x = 0
Def.
= P
i∈I
Definition: Ein projektiver Teilraum H ⊂ = P(V ) heißt (proj.) Hyperebene, falls ein Punkt
p = Kx ∈ P(V ) existiert mit
Ui
i∈I
[H ∪ {p}] = P(V )
Bemerkung: Falls n = dim P(V ) < ∞ ist, so gilt für projektive Teilräume H ⊆ P(V ):
Satz 40:
Ist dim P(V ) < ∞, so gilt:
108
(1) Für projektive Teilräume X, Y ⊆ P ist
H Hyperebene ⇐⇒ dim H = n − 1
dim X + dim Y = dim[X ∪ Y ] + dim X ∩ Y
(2) Für jede Hyperebene H und jeden projektiven Teilraum X ⊆ H ist
dim(X ∩ H) = dim X − 1
Insbesondere besitzen zwei verschiedene Geraden in einer projektiven Ebene P(V )
genau einen Schnittpunkt.

Beweis: (1)
dim X + dim Y Def.
= dim Ux − 1 + dim Uy − 1
24.2. projektive Koordinaten
= dim(Ux + Uy) + dim(Ux ∩ Uy) − 2
= dim[X ∪ Y ] + dim(X ∩ Y )
(2) X ⊆ H impliziert [X ∪ H] = P(V ). Damit folgt:
24.2. projektive Koordinaten
dim[X ∪ H] = dim P(V ) = dim H + 1
dim X ∩ H (1)
= dim H + dim X − dim[X ∪ H] = dim X − 1
Definition: Die Punkte p0, p1, . . . , pk ∈ P heißen unabhängig, wenn gilt
Lemma:
Für pκ = K · vκ (vκ ∈ V ) gilt:
Beweis:
dim[p0, p1, . . . , pk] = k
p0, p1, . . . , pk unabhängig ⇐⇒ dim(Kv0 + . . . + Kvk) = k + 1 linear unabhängig
p0, . . . , pk unabhängig ⇐⇒ dim(Kv0, . . . , Kvk) = k + 1
Definition: Sei dim P = n < ∞ und seien p0, . . . , pk, e ∈ P.
Das n+2-Tupel (e; p0, . . . , pn) heißt ein Koordinatensystem von P, wenn je n+1
Punkte hiervon linear unabhängig sind.
Beachte: Ein Koordinatensystem legt eine (bijektive) Koordinatenabbildung
fest wie folgt:
D : P ∼ → P(K n+1 )
(1) Jede Wahl von Erzeugern v ′ κ der pκ ergibt eine Basis {v ′ 0 , . . . , v′ n} von V .
Insbesondere hat jedes v ∈ V mit e = Kv die Darstellung
v =
n
ν=0
x ′ νv ′ ν
=:vν
mit x ′ ν = 0 ∀ν (wegen der Voraussetzung über lineare Unabhängigkeit). Dabei
sind die vν unabhängig von der Wahl der v ′ ν.
109

24. Projektive Geometrie
(2) Zu festem v existiert also eine eindeutig bestimmte Basis {v0, . . . , vn} mit v =
n
ν=0 vν. Zu einem beliebigen anderen v ′ = λ · v ∈ K · v gehört die Basis
{λv0, . . . , λvn}.
(3) Für einen beliebigen Punkt p = K · w mit Basisdarstellung
w =
n
ν=0
xνvν
setze D(p) := K · (x0, . . . , xn) =: (x0 : . . . : xn).
Das ist wohldefiniert, da für w ′ = λ · w mit λ = 0 gilt:
Daher:
w ′ =
n
λxν
ν=0
=:x ′ ν
vν
K(x ′ 0, . . . , x ′ n) = K(x0, . . . , xn)
D(p) ist unabhängig von der speziellen Wahl von v.
(x0 : . . . : xn) heißen homogene Koordinaten von P.
(4) Es gilt offenbar:
24.3. Projektivitäten
D(pν = (0 : . . . : ν
1 : 0 : . . . : 0)
D(e) = (1 : . . . : 1)
Vorbemerkung: Jede injektive lineare Abbildung φ : V → W von K-Vektorräumen definiert
eine Abbildung der zugehörigen projektiven Räume.
˜φ : P(V ) → P(W ), p = K · v ↦→ ˜ φ(p) := φ(Kv) = Kφ(v)
Definition: Eine Permutation ϕ von P heiß t Projektivität, wenn ein Vektorraumautomorphismus
φ ∈ Aut(V ) existiert mit ˜ φ = ϕ.
Lemma:
Für φ1, φ2 ∈ Aut(V ) gilt:
Beweis: =⇒ : klar
110
˜φ1 = ˜ φ2 ⇐⇒ ∃c ∈ K, c = 0 : φ1 = c · φ2

24.4. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen
⇐= : Für alle x gilt: φ1(Kx) = φ2(Kx), d.h. es existiert ein cx ∈ K mit φ1(x) =
cx · φ2(x).
Für x, y linear unabhängig setze z := x + y.
φ1(z) = cz · φ2(z) = cz (φ2(x) + φ2(y))
φ1(z) = φ1(x) + φ1(y) = cxφ2(x) + cyφ2(y)
Da x, y linear unabhängig und φi Automorphismus folgt: φ2(x), φ2(y) linear
unabhängig.
Koeffizientenvergleich liefert cx = cz = cy. Damit sind alle cx gleich =: c.
Bemerkung: (1) Die Projektivitäten von P bilden eine Gruppe, wobei ˜ φ1 ◦ ˜ φ2 = ˜
φ1 ◦ φ2 und
˜φ −1
1
= ˜
φ −1
1 ist.
(2) Jede Projektivität bildet einen projektiven Teilraum auf einen projektiven
Teilraum gleicher Dimension ab.
Satz 41:
Zu verschiedenen Koordinatensystemen (e; p0, . . . , pn) und (e ′ ; p ′ 0 , . . . , p′ n) von P existiert
genau eine Projektivität ϕ, die sie ineinander überführt, d.h.
ϕ(pν) = p ′ ν
ϕ(e) = e ′
Beweis: Übung.
24.4. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen
Sei P = P(V ), fixiere eine Hyperebene H ⊆ P und a = Ky ∈ P \ H. Also P = [H, a] und
V = UH ⊕ Ky.
Vorbemerkung: Jedes p ∈ P \ H ist von der Form p = K(up + y) mit up ∈ UH eindeutig.
Für p = Kx ∈ P gilt:
p ∈ H ⇐⇒ p = Kx ≤ UH
Also gilt: p ∈ P \ H ⇐⇒ p = Kx ≤ UH.
Wegen direkter Summe ist x eindeutig zerlegbar:
x = u ′ p + λy (u ′ p ∈ UH)
x ∈ UH ⇐⇒ λ = 0 =⇒ Kx = K(λ −1 u ′ p
=:up
+y)
111

24. Projektive Geometrie
Satz 42:
Die Menge A := P \ H ist ein affiner Raum mit UH als Translationsvektorraum bezüglich
der Operation
(u, p) ↦→ K(u + up + y)
wobei p = K(up + y) gilt, mit eindeutig bestimmtem up ∈ UH.
Dabei ist die Translation −→ pq = uq − up.
Beachte:
dim A = dim UH = dim V − 1 = dim P(V )
Definition: Die Punkte von A heiß en eigentliche Punkte, die von H uneigentlich.
Umgekehrt lässt sich jeder affine Raum A erweitern zu einem projektiven Raum durch disjunkte
Vereinigung mit einer projektiven Hyperebene H gleicher Dimension:
ohne Einschränkung sei A = K n . Zum Beispiel haben wir die injektive Abbildung
H := P(0 × K n
≤Kn+1 ).
j1 : A → P(K n+1 ), (x1, . . . , xn) ↦→ (1 : x1 : . . . : xn)
Für eigentliche Punkte p = (y0 : y1 : . . . : yn), d.h. p ∈ H, gilt: y0 = 0, also p =
d.h. p hat die affinen Koordinaten
in A.
Es gilt: j1(A) ·
∪ H = P(K n+1 )
Ferner gilt mit den den Einbettungen
folgende Gleichheit:
Aber: nicht disjunkt.
y1 yn
, . . . , y0 y0
1 : y1
y0
jν : K n → P(K n+1 ), (x1, . . . , xn) ↦→ (x1 : . . . : xν−1 : 1 : xν+1 : . . . : xn)
P(K n+1 ) =
Beispiel: (1) Die reelle projektive Gerade P 1 (R)
112
n+1
ν=1
jν(A)
Es gibt zwei Modelle:
R · x ≤ R 2 | x = 0 ←→ G ⊆ R 2 | G affine Gerade mit 0 ∈ G
Dies ist das sogenannten Büschelmodell von P 1 .
Fixiere g (die Hyperebene besteht hier aus einem Punkt)
P 1 \ {g} ←→ g
bijekt. ′
(affine Gerade = g, g ′ g)
yn
: . . . : , y0

24.4. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen
eigentliche Punkte ga ↦→ ga ∩ g ′
g ist der einzige uneigentliche Punkt; das entspricht anschaulich einem unendlich
fernen Punkt F auf g ′ . Sprich: Fernpunkt.
Wir erhalten das Punktmodell von P 1 : g ′
·
∪ {F }.
Ein einheitliches Modell liefert der Einheitskreis um (0, 1) ∈ R 2
S := y ∈ R 2 | y − (0, 1) = 1
Rx ≤ R 2 | x = 0 bij.
←→ S
(2) Die projektive Ebene P 2 (R)
Bündelmodell:
Rx ↦→ Rx ∩ S {sx} (sx = (0, 0))
Rx ≤ R 2 | x = 0 bij.
←→ affine Gerade g ≤ R 3 , 0 ∈ g
Fixiere die affine Ebene E ⊆ R 3 mit 0 ∈ E und eine dazu parallele E ′ mit
0 ∈ E ′ .
Dabei entsteht eine Bijektion
P 2 \ {g ′ ⊆ E ′ } ←→ E
g ↦→ g ∩ E
A ↦→ g = 0A
Jedem g ′ ∈ E ′ ordnet man genau einen Fixpunkt Fg ′ ∈ P2 zu.
{g ′ ∈ E ′ } ist projektive Gerade. f := {Fg ′ | g′ ⊆ E ′ } heißt Ferngerade.
E ·
∪ f ist das Punktmodell des P 2 .
Analog lassen sich generell Bündel- und Punktmodell des P n mittels A n+1 beschreiben.
113

Stichwortverzeichnis
Abbildung
affine, 71
kanonische, 23
orthogonale, 51
unitäre, 51
Abbildungseigenschaft
universelle (UAE), 21
Abstand, 25, 37, 85
Adjungierte, 41
adjungierter Homomorphismus, 41
affin
Abbildung, 71
Automorphismus, 72
Gruppe, 72
Hülle, 65
Koordinatensystem, 71
Raum, 61
Standardraum, 62
Teilraum, 62
Affinität, 72, 100–102
allgemeine Lage, 66
Approximation, 102
ausgeartete Paarung, 17
Automorphismengruppe, 51
Automorphismus, 51
affiner, 72
Büschelmodell, 112
Basiswechsel
unitärer, 55
Bewegung, 85, 89
bilineare Fortsetzung, 18
Bilinearform, 17
symmetrische, 26
Blockdiagonalmatrix, 13
cartesisches Koordinatensystem, 85
Chauchy-Schwarzsche Ungleichung, 27
Darstellungsmatrix, 27
Diagonalmatrix, 7
Block-, 13
Dimension, 107
diskrete Metrik, 25
Drehachse, 59
verallgemeinerte, 59
Drehebene, 59
Drehkästchennormalform, 58
Drehung, 59, 88
Dreiecksungleichung, 25
E. Schmidt
Orthogonalisierungsverfahren, 32
Ebene, 62
projektive, 108
Einheitskreis, 113
Endomorphismus
nilpotenter, 11
normaler, 41
Normalform, 7
selbstadjungierter, 47
euklidischer Raum, 85
Fern-
Gerade, 113
Punkt, 113
Fix-
Gerade, 81
Punkt, 79, 81, 113
Raum, 79
Richtung, 79
Form
hermitesche, 26
Fortsetzung
bilineare, 18
Fourierformel, 21
Fundamentalmatrix, 18
gemeinsames Lot, 86
Gerade, 62
Geradentreue, 81
Gram-Schmidt, 32
Gruppe
affine, 72
115

Stichwortverzeichnis
algebraische, 105
orthogonale, 51
unitäre, 51
Hülle
affine, 65
projektive, 107
Halb-
Achse, 99
Achsenlänge, 99
Haupt-
Achse, 99
Achsentransformation, 99
Raum, 7
hermitesche Form, 26
Hermitezität, 27
Homogenität, 25
Hyperebene, 59, 62, 100, 103, 108
Durchschnitt, 103
projektive, 108
Hyperfläche, 99, 100
Invariante
affine, 102
Isometrie, 51, 85
Isomorphismus
affiner Räume, 72
Iwasawa-Zerlegung, 36
Jacobi-Matrix, 99, 103
Jordan-
Block, 14
Kästchen, 12–14
Normalform, 13, 14
Komplement
orthogonales, 36, 38
Koordinaten
homogene, 110
projektive, 109
Koordinaten-
Abbildung, 109
Darstellung, 71
System, 109
Vektor, 71
Koordinatensystem
affines, 71
cartesisches, 85
Kurve, 100
Längentreue, 52, 85
116
Lage
allgemeine, 66
linear
Abbildung, 41
Varietät, 62
Lorenzgruppe, 51
Lot, 37
gemeinsames, 86
Lotfußpunkt, 37, 86
Matrix
hermitesche, 47
Jacobi-, 103
Matrizengruppe
algbraische, 105
Metrik, 25
diskrete, 25
Minimalpolynom, 8
Mittelpunkt, 97
Morphismus, 51
affiner Räume, 71
Multi-
Index, 93
Linearität, 21
Näherung, 102
Nilpotenz, 11
Norm, 25
normaler Endomorphismus, 41
Normalform, 55, 88
Jordansche, 13, 14
normierter Raum, 25
orthogonal, 31
Abbildung, 51
Gruppe, 51
Teilräume, 86
Orthogonal-
Basis (OGB), 20
Raum, 38
System, 31
Orthonormalbasis (ONB), 20
Paarung, 17
ausgeartete, 17
Parallelität, 67
Parallelogrammgleichung, 29
Partition, 13
Polynom
charakteristisches, 8
Positivdefinitheit, 25, 27

Projektion
orthogonale, 36, 37
Projektivität, 110
Punkt, 61
eigentlicher, 112
regulärer, 102, 103
singulärer, 102
unabhängiger, 109
uneigentlicher, 112
Punktmodell, 113
Pythagoras
Satz von, 36
Quadrik, 93
Mittelpunkt der, 97
oskulierend, 102
Schmieg-, 102
Raum
affin, 111
affiner, 61
euklidischer, 85
normierter, 25
projektiv, 111
projektiver, 107
Regularität, 100
Richtungsvektorraum, 61
Schiefsymmetrie, 26
Schnittpunkt, 108
Sesqilinearform, 26
Singularität, 100, 101
Skalarprodukt, 26
Spektral-
Radius, 47
Satz, 43
Spektrum, 43
Spiegelung, 59, 88
Standardraum
affiner, 62
projektiver, 107
Standardskalarprodukt, 27
Streckung, 80
Summenzerlegung, 13
symmetrisch
Bilinearform, 26
Paarung, 20
Tangente, 99, 103
Tangentialraum, 99, 100, 102, 103
Taylorentwicklung, 100
Teilraum
affiner, 62
projektiver, 107
Torus, 102
Torusfläche, 102
Trägheitssatz von Sylvester, 96
Translation, 61, 80, 88
Translationsvektor, 61
Transversalität, 103
Stichwortverzeichnis
unitär
Abbildung, 51
Basiswechsel, 55
Gruppe, 51
universell
Abbildungseigenschaft (UAE), 21
Untervektorraum, 7
invarianter, 7
Ursprung, 71
Varietät
lineare, 62
Vektorraumpaarung, 17
Verbindungsgerade, 62
Winkel, 31
Winkeltreue, 52
117