2 = x 0 > m xxx mit x xx ≤ < = xf

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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 6 Dieses lässt sich näherungsweise durch eine Funktion beschreiben, die abschnittsweise definiert ist: In den ersten drei Sekunden gleicht das Geschwindigkeitsprofil einer Parabel 2. Ordnung, welche ihren Scheitel bei S ( 3/ 11, 5) hat und durch den Ursprung geht. 1 Danach kann er seine Geschwindigkeit 5 Sekunden lang annähernd konstant halten. Im letzten Abschnitt gleicht sein Geschwindigkeitsprofil wieder einer Parabel 2. Ordnung, welche im Anschlusspunkt an den vorherige Abschnitt ihren Scheitel hat und so gestreckt ist, dass Paulsen die Strecke von 100 Metern nach 9, 90 Sekunden beendet. a) Stellen Sie die Funktion auf, runden Sie sinnvoll. Ist die Geschwindigkeitsfunktion durch v P (t) gegeben, dann beschreibt deren Ableitung die Änderung der Geschwindigkeit. b) Wie nennt man die zugehörige Größe, welche Einheit hat sie? Skizzieren Sie das zugehörige Profil. Das Geschwindigkeitsprofil des Sprinters Gerd Rasmussen wird beschrieben durch die Funktion v R t e ( t) 0, 25t 10 1 mit t . c) Ist er damit schneller im Ziel als Paulsen? Noch besser macht es Viggo Titelson. Sein Geschwindigkeitsprofil wird beschrieben durch v T t 2 1 e m ( t) 12 t mit t . Er kommt in (ehemaliger) Weltrekordzeit ( 9 , 69 Sekunden) im Ziel an. d) Bestimmen Sie damit den Wert von m . DHBW STUTTGART – MB MATHEMATIK 2 SEITE 2 VON 5
MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 6 Aufgabe A3 (Extremwertaufgabe mit Produktintegration): Die Wachstumsgeschwindigkeit einer speziellen Gummibaumart im Gewächshaus wird beschrieben durch die Funktion w 2 t sG ( t) a t e , mit a und t in Monaten. (1) Die Höhe des ausgewachsenen Bäumchens werde mit H bezeichnet und wird in Metern gemessen. a) Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit extremal? Wann ändert sich die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten? b) Stellen Sie eine Formel für den Zusammenhang zwischen a und der maximalen Höhe H auf. Wir groß ist a, wenn der Baum ausgewachsen 3 , 70 Meter misst? Runden Sie sinnvoll! Wir verwenden nun a 0, 50 in obiger Formel. c) Der Baum gilt als ausgewachsen, wenn sich seine Größe im Verlauf eines Monats um weniger als 0 , 1 cm ändert. Wann ist dieser Zeitpunkt erreicht und wie groß ist der Baum dann? Eine genauere Untersuchung zeigt, dass bei Bäumen dieser (fiktiven) Art, welche im Januar eines Jahres im Gewächshaus gepflanzt werden, die Formel w sG 2 ( t) 0, 5 t e bessere Ergebnisse liefert. 2 t 0, 05 cos t , mit a 6 und t in Monaten, (2) d) Ein Baum ist nun nach genau drei Jahren ausgewachsen. Wie groß ist er dann? Wie groß ist ein Baum, der durch Formel (1) mit a 0, 50 beschrieben wird? Wie erklären Sie sich das Vergleichsergebnis und wie lässt sich der Zusatzterm in Formel (2) interpretieren? Wie könnte Formel (2) aussehen, wenn ein Baum Anfang Juli gepflanzt wird und sonst gleichen Voraussetzungen unterliegt? DHBW STUTTGART – MB MATHEMATIK 2 SEITE 3 VON 5
Seite 1: Umfang: 8 Aufgaben Themen: Mathemat
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