2 = x 0 > m xxx mit x xx ≤ < = xf

Umfang: 8 Aufgaben
Themen:
Mathematik 2 – MB – Übungsblatt 6
Integralrechnung – Weiterführende Techniken
Hilfsmittel: Sind keine notwendig. Eine Formelsammlung und ein nicht programmierbarer
Taschenrechner können aber verwendet werden.
Aufgabe A1 (Gleiche Flächen):
Der Graph einer Funktion f dritten Grades hat im Ursprung die Steigung 8 und berührt die
x -Achse an der Stelle x 2 . Eine Ursprungsgerade mit der Steigung m 0 schneide den
Funktionsgraphen an insgesamt drei Stellen 1 , x 2,
x3
x mit x1 x2
x3
beiden Graphen miteinander zwei Flächen (siehe Figur 1).
Figur 1: Funktionsskizze.
. Dabei begrenzen die
Wie ist m zu wählen, wenn die beiden durch die Funktionsgraphen eingeschlossenen
Flächen den gleichen Flächeninhalt haben sollen? Zeigen Sie, dass dann '' ( 2 ) 0 x f gilt
(Anmerkung: Die Gerade verläuft damit durch den Wendepunkt des Schaubildes von f (x)
).
Aufgabe A2 (Geschwindigkeitsprofil eines Sprinters):
Sie sehen hier das Geschwindigkeitsprofil des 100m – Sprinters Hans Paulsen.
Figur 1: Geschwindigkeitsprofil des Sprinters Paulsen.
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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 6
Dieses lässt sich näherungsweise durch eine Funktion beschreiben, die abschnittsweise
definiert ist:
In den ersten drei Sekunden gleicht das Geschwindigkeitsprofil einer Parabel 2.
Ordnung, welche ihren Scheitel bei S ( 3/
11,
5)
hat und durch den Ursprung geht.
1
Danach kann er seine Geschwindigkeit 5 Sekunden lang annähernd konstant halten.
Im letzten Abschnitt gleicht sein Geschwindigkeitsprofil wieder einer Parabel 2.
Ordnung, welche im Anschlusspunkt an den vorherige Abschnitt ihren Scheitel hat
und so gestreckt ist, dass Paulsen die Strecke von 100 Metern nach 9, 90 Sekunden
beendet.
a) Stellen Sie die Funktion auf, runden Sie sinnvoll.
Ist die Geschwindigkeitsfunktion durch v P (t)
gegeben, dann beschreibt deren Ableitung die
Änderung der Geschwindigkeit.
b) Wie nennt man die zugehörige Größe, welche Einheit hat sie? Skizzieren Sie das
zugehörige Profil.
Das Geschwindigkeitsprofil des Sprinters Gerd Rasmussen wird beschrieben durch die
Funktion
v
R
t
e
( t)
0,
25t
10
1 mit t .
c) Ist er damit schneller im Ziel als Paulsen?
Noch besser macht es Viggo Titelson. Sein Geschwindigkeitsprofil wird beschrieben durch
v
T
t
2
1 e m
( t)
12
t
mit t .
Er kommt in (ehemaliger) Weltrekordzeit ( 9 , 69 Sekunden) im Ziel an.
d) Bestimmen Sie damit den Wert von m .
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MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 6
Aufgabe A3 (Extremwertaufgabe mit Produktintegration):
Die Wachstumsgeschwindigkeit einer speziellen Gummibaumart im Gewächshaus wird
beschrieben durch die Funktion
w
2
t
sG ( t)
a t e , mit
a und t in Monaten. (1)
Die Höhe des ausgewachsenen Bäumchens werde mit H bezeichnet und wird in Metern
gemessen.
a) Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit extremal? Wann ändert sich die
Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten?
b) Stellen Sie eine Formel für den Zusammenhang zwischen a und der maximalen
Höhe H auf. Wir groß ist a, wenn der Baum ausgewachsen 3 , 70 Meter misst?
Runden Sie sinnvoll!
Wir verwenden nun a 0,
50 in obiger Formel.
c) Der Baum gilt als ausgewachsen, wenn sich seine Größe im Verlauf eines Monats
um weniger als 0 , 1 cm ändert. Wann ist dieser Zeitpunkt erreicht und wie groß ist der
Baum dann?
Eine genauere Untersuchung zeigt, dass bei Bäumen dieser (fiktiven) Art, welche im Januar
eines Jahres im Gewächshaus gepflanzt werden, die Formel
w
sG 2
( t)
0,
5 t e
bessere Ergebnisse liefert.
2
t
0,
05 cos
t , mit a 6
und t in Monaten, (2)
d) Ein Baum ist nun nach genau drei Jahren ausgewachsen. Wie groß ist er dann? Wie
groß ist ein Baum, der durch Formel (1) mit a 0,
50 beschrieben wird? Wie erklären
Sie sich das Vergleichsergebnis und wie lässt sich der Zusatzterm in Formel (2)
interpretieren? Wie könnte Formel (2) aussehen, wenn ein Baum Anfang Juli
gepflanzt wird und sonst gleichen Voraussetzungen unterliegt?
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Aufgabe A4 (Integration, etwas schwerer):
MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 6
Bestimmen Sie die im Folgenden angegebenen Integrale:
a) I x sin xdx
1
b) I
x x dx
2
2
ln x
I 3 d 2
x
c) x
x
d) I dx
cosh x
2
4
sin x sin x
e) I cose
e cos xd
x
5
ln x
f) I dx
x
2
6
4x
2
g) I7 dx
2
x 3x
3
2
x 27
h) I8 dx
3 2
x 2x
3x
i)
1
1
2
x 6x
7
I
d
x
2 2
x 2 x 1
9
0
sin x
j) I10 dx
1
cos x
Aufgabe A5 (Nachweis):
Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt:
0
ln x
dx
0 .
2
x 1
Aufgabe A6 (Integralrechnung für Fortgeschrittene):
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktionen mit den folgenden Funktionsgleichung-
en.
a) f ( x)
arcsin x
2
b) g(
x)
ln x Tipp: Verwenden Sie ln xdx x ln
x x .
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Berechnen Sie die folgenden Integrale.
1
4 3 2
x 3x
x x 1
c)
dx
2
x 4
1
sin
dx
3
2
d)
x 9 x
0
1
0
e) e dx
x
Aufgabe A7 (Integralrechnung und Schimmelpilze):
Die Funktion h a mit
MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 6
t
ha 2t
2a
2 mit t 0
e a
beschreibt annähernd die von einer Schimmelpilzkultur bedeckte Fläche (in dm²) in Ab-
hängigkeit von der in Tagen gemessenen Zeit t . 6 Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt
der Inhalt der bedeckten Fläche 0, 50 dm².
Bestimmen Sie den Parameter a exakt (kein Taschenrechnerwert).
Wann betrug der Flächeninhalt 0, 05 dm²?
Bestimmen Sie für den Zeitraum von 6 bis 36 Tagen nach Beobachtungsbeginn mit
Hilfe der Integralrechnung einen Mittelwert für die von der Schimmelpilzkultur
bedeckte Fläche (mittlere Fläche am Tag).
Aufgabe A8 (Integralrechnung, noch ein wenig Übung):
Berechnen Sie die folgenden drei Integrale:
ln dx mit n 1
n
a) I x x
b) I 1 2x
x
e
dx
2
x
e
c) I 1 e
x
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