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www.mathematik-netz.de © Copyright, Page 1 of 10 1. Konvergente Reihen Zahlenreihen und Konvergenzkriterien Reihen sind Folgen spezieller Bauart, so dass gegenüber den Ergebnissen über Folgen grundsätzlich nicht viel Neues zu erwarten ist. Doch ist es zweckmäßig die Ergebnisse über Folgen so umzuformulieren, dass sie der speziellen Bauart angepasst sind. Definition: (Zahlen-Reihen, Grenzwert) Sei (an) eine Folge in . (i) Unter der (unendlichen) Reihe an f=(sn) mit sn:= n ∑ k= 1 a k ∞ ∑ n= 1 für jedes n∈ . (ii) Die an heißen Glieder der Reihe ∑ an . ∞ n= 1 verstehen wir die Folge (iii) Die sn heißen Teilsummen (auch Partialsummen) der Reihe ∑ an . ∞ (iv) Die Reihe ∑ an heißt konvergent gegen s∈ , wenn die Folge f=(sn) der Teilsummen n= 1 konvergent ist. ∞ (v) Falls Konvergenz gegen s vorliegt, heißt s der Reihenwert, und wir schreiben ∑ an =s. Eine Reihe ist also genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert. Bemerkung: Jede Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen. Umgekehrt ist auch jede Folge (zumind. in einem metrischen Raum) die Partialsummenfolge einer Reihe, denn Beispiel: n ∑ a + (a − a ) = a1 + (a2-a1) + (a3-a2)+ … + (an-an-1) = an. 1 k k−1 k= 2 Die Folge (an)=1/n soll als Reihe dargestellt werden. Dazu berechnen wir die ersten 10 Glieder der Folge: ∞ n= 1 n= 1 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das erste Glied der Reihe ist auch das erste der Folge, also setzen wir a0=1. Des Weiteren ergeben sich die Partialsummen wie folgt: n 1 + ∑ (ak − a k−1) . Das 5-te Glied ist dann z.B. k= 2 5 ∑ 1 + (a − a ) = 1 + (1/2 -1) + (1/3 -1/2) + (1/4 -1/3) + (1/5 -1/4) k= 2 k k−1 = 1 + (-1/2) +(-1/6) +(-1/12) +(-1/20) = 1/5. Bemerkung: Da eine Reihe eine Folge besonderer Bauart ist, ist ebenso die Reihe eine Abbildung von nach A, wobei in diesem Dokument nur der Fall A:= behandelt wird.
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1. Konvergente Reihen<br />
<strong>Zahlenreihen</strong> <strong>und</strong><br />
<strong>Konvergenzkriterien</strong><br />
Reihen sind Folgen spezieller Bauart, so dass gegenüber <strong>de</strong>n Ergebnissen über Folgen gr<strong>und</strong>sätzlich nicht<br />
viel Neues zu erwarten ist. Doch ist es zweckmäßig die Ergebnisse über Folgen so umzuformulieren, dass<br />
sie <strong>de</strong>r speziellen Bauart angepasst sind.<br />
Definition: (Zahlen-Reihen, Grenzwert)<br />
Sei (an) eine Folge in .<br />
(i) Unter <strong>de</strong>r (unendlichen) Reihe an<br />
f=(sn) mit sn:=<br />
n<br />
∑<br />
k= 1<br />
a<br />
k<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
für je<strong>de</strong>s n∈ .<br />
(ii) Die an heißen Glie<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r Reihe ∑ an<br />
.<br />
∞<br />
n= 1<br />
verstehen wir die Folge<br />
(iii) Die sn heißen Teilsummen (auch Partialsummen) <strong>de</strong>r Reihe ∑ an<br />
.<br />
∞<br />
(iv) Die Reihe ∑ an<br />
heißt konvergent gegen s∈ , wenn die Folge f=(sn) <strong>de</strong>r Teilsummen<br />
n= 1<br />
konvergent ist.<br />
∞<br />
(v) Falls Konvergenz gegen s vorliegt, heißt s <strong>de</strong>r Reihenwert, <strong>und</strong> wir schreiben ∑ an<br />
=s.<br />
Eine Reihe ist also genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.<br />
Bemerkung:<br />
Je<strong>de</strong> Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen. Umgekehrt ist auch je<strong>de</strong> Folge (zumind. in einem<br />
metrischen Raum) die Partialsummenfolge einer Reihe, <strong>de</strong>nn<br />
Beispiel:<br />
n<br />
∑<br />
a + (a − a ) = a1 + (a2-a1) + (a3-a2)+ … + (an-an-1) = an.<br />
1 k k−1 k= 2<br />
Die Folge (an)=1/n soll als Reihe dargestellt wer<strong>de</strong>n.<br />
Dazu berechnen wir die ersten 10 Glie<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r Folge:<br />
∞<br />
n= 1<br />
n= 1<br />
1, 1 , 1<br />
, 1<br />
, 1<br />
, 1<br />
, 1<br />
, 1<br />
, 1<br />
, 1<br />
2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Das erste Glied <strong>de</strong>r Reihe ist auch das erste <strong>de</strong>r Folge, also setzen wir a0=1. Des Weiteren ergeben sich<br />
die Partialsummen wie folgt:<br />
n<br />
1 + ∑ (ak − a k−1) . Das 5-te Glied ist dann z.B.<br />
k= 2<br />
5<br />
∑<br />
1 + (a − a ) = 1 + (1/2 -1) + (1/3 -1/2) + (1/4 -1/3) + (1/5 -1/4)<br />
k= 2<br />
k k−1 = 1 + (-1/2) +(-1/6) +(-1/12) +(-1/20) = 1/5.<br />
Bemerkung:<br />
Da eine Reihe eine Folge beson<strong>de</strong>rer Bauart ist, ist ebenso die Reihe eine Abbildung von nach A, wobei<br />
in diesem Dokument nur <strong>de</strong>r Fall A:= behan<strong>de</strong>lt wird.
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Abän<strong>de</strong>rn endlich vieler Summan<strong>de</strong>n sn einer Reihe än<strong>de</strong>rt nichts daran, dass die Reihe konvergiert bzw.<br />
divergiert. Da diese Tatsache bei „einfachen“ Folgen gilt, gilt sie natürlich auch bei Reihen.<br />
Aber natürlich än<strong>de</strong>rt sich dadurch i.a. <strong>de</strong>r Wert <strong>de</strong>r Reihe.<br />
Diese Tatsache kann z.B. bei <strong>de</strong>r Abschätzung einer Reihe sehr nützlich sein, man kann also endlich viele<br />
Indizes bei <strong>de</strong>r Untersuchung auf Konvergenz vernachlässigen <strong>und</strong> eine In<strong>de</strong>xverschiebung anwen<strong>de</strong>n.<br />
Beispiele:<br />
Die wichtigsten Reihen wer<strong>de</strong>n im Folgen<strong>de</strong>n aufgelistet:<br />
Die geometrische Reihe<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
q<br />
n<br />
⎪⎧<br />
q < 1<br />
.<br />
⎪⎩<br />
q ≥ 1<br />
konvergent, falls<br />
ist ⎨<br />
divergent, falls<br />
Im Fall <strong>de</strong>r Konvergenz gilt für <strong>de</strong>n Reihenwert s:<br />
s=<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
q<br />
n<br />
1<br />
=<br />
1− q<br />
für |q|1.<br />
a<br />
n<br />
n= 1<br />
Die Exponentialreihe<br />
∞ n<br />
x<br />
∑ = exp(x) konvergiert für alle x∈ , ja sogar für alle x∈ .<br />
n!<br />
n= 1<br />
D.h. die Reihe<br />
exp(1.5).<br />
∞ n<br />
1.5<br />
∑ konvergiert beispielsweise gegen <strong>de</strong>n Funktionswert <strong>de</strong>r Exponentialfunktion<br />
n!<br />
n= 1<br />
Die Cosinunsreihe<br />
∞<br />
2k<br />
k x<br />
∑ ( −1)<br />
konvergiert gegen cos(x). Entsprechend konvergiert die<br />
(2k)!<br />
k= 0<br />
Sinusreihe<br />
∞<br />
2k+ 1<br />
k x<br />
∑ ( −1)<br />
gegen die Funktion sin(x).<br />
(2k + 1)!<br />
k= 0<br />
Die e-Reihe<br />
∞<br />
n<br />
1<br />
⎛ 1 ⎞<br />
∑ = e = exp(1) = lim 1<br />
n= 1n!<br />
n→∞<br />
⎜ +<br />
n<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ,<br />
konvergiert gegen die irrationale (<strong>und</strong> transzen<strong>de</strong>nte) Zahl e. Ein Beweis, dass all diese Werte tatsächlich<br />
übereinstimmen sei <strong>de</strong>m Leser zur Übung überlassen. Es ist hilfreich <strong>de</strong>n binomischen Lehrsatz auf <strong>de</strong>n<br />
n<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Ausdruck ⎜1+ n<br />
⎟ anzuwen<strong>de</strong>n, <strong>und</strong> einige Abschätzungen mit Hilfe <strong>de</strong>r Exponentialreihe herbeizuführen.<br />
⎝ ⎠
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Je<strong>de</strong>r Satz über konvergente Folgen liefert einen Satz über konvergente Reihen; wir übertragen zunächst<br />
die Rechenregeln, soweit sich interessante Aussagen ergeben.<br />
Satz 1.1: (Rechenregeln für konvergente Reihen)<br />
∞<br />
Seien ∑ an<br />
n= 1<br />
, ∞<br />
∑ bn<br />
n= 1<br />
konvergente Reihen, wobei ∞<br />
∑ an<br />
∞<br />
n→∞<br />
⎯⎯⎯⎯→ sa, ∑bn<br />
n= 1<br />
n= 1<br />
(i) [ an<br />
(ii) [a n<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
+ ∞<br />
∑ bn<br />
n= 1<br />
] ist dann ebenfalls eine konverg. Reihe mit [ ∞<br />
∑ an<br />
n= 1<br />
+ ∞<br />
bn<br />
n= 1<br />
∞<br />
∑ b<br />
n= 1<br />
] ist dann ebenfalls eine konverg. Reihe mit [a ∞<br />
∑ bn<br />
n= 1<br />
]<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
⎯⎯⎯⎯→ sb. Sei a∈ . Dann gilt<br />
∑ ]<br />
⎯⎯⎯⎯→ [ asa]<br />
n→∞<br />
⎯⎯⎯⎯→ [ sa + sb]<br />
Es gibt kein allgemeines Schema eine Reihe auf Konvergenz hin zu untersuchen. Es gibt jedoch sehr viele<br />
verschie<strong>de</strong>ne <strong>Konvergenzkriterien</strong>, die je nach Art <strong>und</strong> Aufbau <strong>de</strong>r Reihe sinnvoll ihre Anwendung<br />
fin<strong>de</strong>n kann. Am En<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Dokumentes wird jedoch eine Strategie (kein Patentrezept) vorgestellt, welche<br />
es zum Ziel haben soll, eine vorgelegte Reihe auf Konvergenz hin zu untersuchen.<br />
Die Grenzwertfindung ist bei Reihen ein sehr diffiziler Prozess, er soll hier nur am Ran<strong>de</strong> angesprochen<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
Satz 1.2: (Trivialkriterium; notwendige Konvergenzbedingung)<br />
∞<br />
∑<br />
Ist die Reihe an<br />
konvergent, so gilt<br />
n= 1<br />
n lim →∞ an = 0.<br />
Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe, wie folgen<strong>de</strong>s Beispiel zeigt.<br />
Beispiel:<br />
Die harmonische Reihe<br />
∞ 1<br />
∑ n<br />
ist divergent, aber die Folge (an)=(1/n) ist eine Nullfolge.<br />
n= 1<br />
Satz 1.3: ( ε -n0-Kriterium)<br />
∞<br />
∑<br />
Die Reihe an<br />
n= 1<br />
konvergiert ⇔<br />
∀ε > 0 gibt es mind. ein n ∈ , so dass für alle n gilt:<br />
( n ≥ n0 ⇒ n<br />
n= 1<br />
∞<br />
0<br />
∑ a − s < ε ).<br />
Das nun folgen<strong>de</strong> Cauchykriterium hat gegenüber <strong>de</strong>m ε -n0-Kriteriums <strong>de</strong>n entschei<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Vorteil, dass<br />
<strong>de</strong>r Grenzwert <strong>de</strong>r Reihe nicht bekannt sein muss.<br />
Hinweis:<br />
Befin<strong>de</strong>n wir uns über einem (Cauchy)-vollständigem Raum (bspw. o<strong>de</strong>r mit <strong>de</strong>r kanonischen,<br />
euklidischen Metrik), so ist je<strong>de</strong> Cauchyreihe gleichzeitig auch konvergent <strong>und</strong> umgekehrt. In nicht-
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vollständigen Räumen gilt diese Äquivalenz nicht mehr; ein Gegenbeispiel ist die e-Reihe über <strong>de</strong>m Raum<br />
.<br />
Bil<strong>de</strong>t die Folge <strong>de</strong>r Partialsummen eine Cauchyfolge, so bezeichnen wir diese spezielle Reihe als<br />
Cauchyreihe.<br />
Satz 1.4: (Cauchykriterium)<br />
∞<br />
∑<br />
Die Reihe an<br />
n= 1<br />
konvergiert ⇔<br />
∀ε >0, ∃ nε ∈ , so dass für alle n gilt:<br />
n ≥ n ε ⇒<br />
n<br />
∑<br />
k= nε+ 1<br />
an<br />
= sn -<br />
sn < ε .<br />
ε<br />
∞<br />
∑<br />
Das Cauchykriterium sagt also aus: Eine Reihe an<br />
konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyreihe,<br />
n= 1<br />
<strong>und</strong> damit eine Cauchyfolge <strong>de</strong>r Partialsummen, ist.<br />
Der Vorteil <strong>de</strong>s Cauchykriteriums besteht darin, dass man es nur mit endlichen Summen zu tun hat!<br />
Fast alle in <strong>de</strong>r ‚Praxis’ oft benötigten <strong>Konvergenzkriterien</strong> sind nur hinreichend, <strong>und</strong> eben nicht<br />
notwendig. So auch das folgen<strong>de</strong><br />
Satz 1.5: (Leibnitzkriterium)<br />
Die Reihe<br />
∞<br />
n<br />
( −1) ⋅an<br />
n= 1<br />
∑ konvergiert ⇔<br />
(an) ist eine monoton fallen<strong>de</strong> Nullfolge.<br />
Beispiel:<br />
∞<br />
n<br />
n<br />
Sei f:= ∑ ( n −1)( −1)<br />
eine Folge von Partialsummen. Wir untersuchen f auf Konvergenz.<br />
n= 1<br />
Nach <strong>de</strong>m Leibnitzkriterium müssen wir (an)= n<br />
( n − 1) eine monoton fallen<strong>de</strong> Nullfolge ist.<br />
⎯⎯⎯⎯→ . Damit ist n<br />
n<br />
Wir wissen, dass n<br />
n →∞<br />
1<br />
(an) eine monoton fallen<strong>de</strong> Folge ist.<br />
Dazu überprüfen wir die Ungleichung (an)-(an+1) ≥ 0:<br />
(an)-(an+1) ≥ 0 ⇔<br />
n<br />
( n − 1) - ( n 1 +<br />
n+ 1-1)<br />
≥ 0 ⇔<br />
n n+ 1<br />
n - n+ 1<br />
≥ 0 ⇔ | da<br />
1-1 ≥ 0<br />
Die Folge (an) ist also eine monoton fallen<strong>de</strong> Nullfolge.<br />
( n − 1) eine Nullfolge. Wir müssen noch nachweisen, dass<br />
n+ 1 n →∞<br />
n+ 1⎯⎯⎯⎯→ 1
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Satz 1.6: (Quotientenkriterium)<br />
∞<br />
∑<br />
Die Reihe an<br />
n= 1<br />
ist absolut konvergent ⇔<br />
Es gibt ein q∈ mit 0 ≤ q
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Satz 1.7: (Wurzelkriterium)<br />
∞<br />
∑<br />
Die Reihe an<br />
n= 1<br />
Für ein (festes!) q
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2. Absolut konvergente Reihen<br />
Gr<strong>und</strong>lage aller folgen<strong>de</strong>n Kriterien ist das sog. Monotoniekriterium (für Folgen <strong>und</strong> damit auch) für<br />
Reihen.<br />
Satz 2.1: (Monotoniekriterium)<br />
n ⎛ ⎞<br />
⎜∑ ak<br />
⎟<br />
k= 1<br />
Eine monotone Folge (sn)= ist konvergent, wenn sie beschränkt ist. Genauer:<br />
⎝ ⎠<br />
1) Ist (sn) monoton wachsend <strong>und</strong> nach oben beschränkt, so ist (sn) konvergent, <strong>und</strong> es gilt<br />
lim (sn) = sup{sn | n∈ }<br />
Beispiel:<br />
2) Ist f monoton fallend <strong>und</strong> nach unten beschränkt, so ist f konvergent, <strong>und</strong> es gilt<br />
lim (sn) = inf{sn | n∈ }<br />
Wir zeigen, dass die Folge (an) mit an= n<br />
konvergiert. Dazu zeigen wir zunächst, dass gilt<br />
3n− 1<br />
an – an+1 ≥ 0, d.h. die Funktion fällt monoton.<br />
Da die Funktion wahrscheinlich monoton fällt, muss das (n)-te Glied <strong>de</strong>r Folge größer o<strong>de</strong>r gleich als das<br />
(n+1)-te Glied sein.<br />
n n+ 1 n n+ 1<br />
− = −<br />
3n− 1 3(n + 1) − 1 3n− 1 3n+ 2<br />
=<br />
(3n+ 2)n (n+ 1)(3n−1) −<br />
(3n+ 2)(3n− 1) (3n+ 2)(3n −1)<br />
= (3n 2)n (n 1)(3n 1)<br />
+ − + −<br />
=<br />
(3n+ 2)(3n−1) 1<br />
>0 ∀ n∈ .<br />
(3n+ 2)(3n − 1)<br />
Mit dieser Rechnung erschlägt man zwei Probleme auf einmal. Zum einen ist damit die Monotonie<br />
1<br />
nachgewiesen, zum an<strong>de</strong>ren aber auch die Beschränktheit. Es gilt ja<br />
>0 für alle natürlichen n<br />
(3n+ 2)(3n − 1)<br />
<strong>und</strong> somit bil<strong>de</strong>t 0 eine untere Schranke. Mit <strong>de</strong>m Monotoniekriterium folgt, dass an konvergiert <strong>und</strong> es gilt<br />
inf{ 1 2 , 2 5 , 3 8 , …}= lim an = 1 3 .<br />
Satz 2.2: (Supremumskriterium)<br />
∞<br />
∑<br />
Es sei an<br />
n= 1<br />
(i) Die Reihe an<br />
eine Reihe mit nichtnegativen Glie<strong>de</strong>rn, dann gilt:<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
n ⎧ ⎫<br />
ist konvergent ⇔ (ii) sup ⎨sn = ∑ a k |n∈<br />
⎬ < ∞ .<br />
⎩ k= 1 ⎭<br />
Im Konvergenzfall ist obiges Supremum gera<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Reihenwert.<br />
Beweis:<br />
(i) ⇒ (ii):<br />
∞<br />
Ist ∑ an<br />
n= 1<br />
konvergent, so ist die Folge <strong>de</strong>r Partialsummen (sn):=<br />
beschränkt. Damit ist (ii) erfüllt.<br />
n ⎛ ⎞<br />
⎜∑ ak<br />
⎟<br />
k= 1<br />
⎝ ⎠<br />
konvergent, also insbeson<strong>de</strong>re
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(ii) ⇒ (i):<br />
n ⎛ ⎞<br />
⎜∑ ak<br />
⎟<br />
k= 1<br />
Da an ≥ 0 für je<strong>de</strong>s n∈ gilt, ist (sn):= eine monoton wachsen<strong>de</strong> Folge. Aufgr<strong>und</strong> <strong>de</strong>r<br />
⎝ ⎠<br />
Voraussetzung (ii) ist (sn) beschränkt, <strong>de</strong>nn es gilt<br />
m ⎧ ⎫<br />
0
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Beispiel:<br />
Prüfen Sie die Reihe<br />
wer<strong>de</strong>n, da <strong>de</strong>r Faktor<br />
n(n+ 1)<br />
∞<br />
2<br />
1<br />
⋅ ( −1)<br />
2<br />
n= 1n<br />
+ 2<br />
∑ auf Konvergenz. Hier kann nicht das Leibnitzkriterium angewen<strong>de</strong>t<br />
n(n+ 1)<br />
2<br />
( − 1) sich wie folgt entwickelt.<br />
− 1, −1, 1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1<br />
Es muss hier mit <strong>de</strong>m Majorantenkriterium gearbeitet wer<strong>de</strong>n. Dazu schätzen wir die Folge |an| ab.<br />
n(n+ 1)<br />
1 2<br />
⋅ ( −1)<br />
2<br />
n + 2<br />
∞ 1<br />
Da die Reihe ∑ 2<br />
n<br />
n= 1<br />
1<br />
= 2<br />
n + 2<br />
< 1<br />
2<br />
n<br />
für alle n∈ .<br />
konvergiert folgt mit <strong>de</strong>m Majorantenkriterium die Konvergenz von<br />
n(n+ 1)<br />
∞<br />
2<br />
1<br />
∑ ⋅ ( −1)<br />
2<br />
n= 1n<br />
+ 2<br />
Absolut konvergente Reihen verhalten sich sehr gutartig, was die Reihenfolge <strong>de</strong>r Summation betrifft.<br />
Durch Umordnung unendlich vieler Glie<strong>de</strong>r kann sich bei konvergenten Reihen <strong>de</strong>r Limes än<strong>de</strong>rn.<br />
Auch sind Teilreihen konvergenter Reihen i.a. nicht mehr konvergent.<br />
Dagegen sind Teilreihen einer absolut konvergenten Reihe stets wie<strong>de</strong>r absolut konvergent, <strong>und</strong> damit<br />
auch konvergent, wie <strong>de</strong>r folgen<strong>de</strong> Satz in allgemeinerer Form lehrt:<br />
Satz 2.3:<br />
Eine absolut konvergente Reihe an<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
ist konvergent; es gilt ∞<br />
∑ an<br />
≤<br />
∞<br />
an<br />
n= 1 n= 1<br />
∑ .<br />
Solche Manipulationen lassen sich nur mit absolut konvergenten Reihen be<strong>de</strong>nkenlos durchführen.<br />
Folgen<strong>de</strong>r Satz bringt dies nochmals zum Ausdruck.<br />
Satz 2.4: (Umordnungssatz)<br />
∞<br />
∑<br />
Ist die Reihe an<br />
absolut konvergent, etwa gegen S, so konvergiert auch je<strong>de</strong> Umordnung <strong>de</strong>r Reihe<br />
gegen S.<br />
Bemerkung:<br />
n= 1<br />
∞<br />
∑<br />
Ist die Reihe an<br />
konvergent, aber nicht absolut konvergent, so gibt es zu je<strong>de</strong>m x∈ eine Umordnung<br />
n= 1<br />
<strong>de</strong>r Reihe, die gegen x konvergiert.<br />
.
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Zu guter letzt soll nun noch eine mögliche Strategie aufgezeigt wer<strong>de</strong>n Reihen auf Konvergenz hin zu<br />
untersuchen. Insbeson<strong>de</strong>re ‚Anfängern’ können sich daran zumind. orientieren:<br />
Es sei eine Reihe an<br />
∞<br />
∑<br />
n= 1<br />
1. Ist an eine Nullfolge?<br />
Nein: Die Reihe divergiert.<br />
Ja: Siehe 2.<br />
gegeben. Um diese auf Konvergenz zu untersuchen, gehe wie folgt vor:<br />
2. Han<strong>de</strong>lt es sich um eine geometrische Reihe mit |q|