Über hyperbolische Funktionen 2 ee xsinh − = 2 ee x cosh + = sinh x ...

Desweiteren gilt:
2tanh
x
tanh 2x
2
1+
tanh x
= ;
Die Funktionen „Tangens Hyperbolikus“ und Kotangens Hyperbolikus“
werden folgendermaßen definiert:
sinh x e −e
tanh x
−
cosh x e + e
cosh x
sinh x
x −x
x −x
= = x coth x =
x
= x −x
Daraus ergibt sich: tanh x < 1 und coth x > 1.
tanh x ist über den gesamten Definitionsbereich stetig.
coth x ist unstetig bei x = 0.
Beide Funktionen haben einen Grenzwert von
1 für x → ∞ und von -1 für x → -∞ .
tanh( x
Ableitungen von: cosh x, sinh x, tanh x, coth x
±
y)
tanh x ± tanh y
=
1±
tanh x ⋅tanh
y
Betrachtet man die hyperbolischen Funktionen in ihrer Darstellung mittels e-Funktion, ist leicht zu
erkennen daß:
• (cosh x)
′ = sinh x
• (sinh x)
′ = cosh x
′
2
2
sinh x cosh x −sinh
x 1
2
• (tanh x)
′ =
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
= = 1−
tanh x
2
2
⎝ cosh x ⎠ cosh x cosh x
′
2
2
cosh x sinh x − cosh x 1
2
• (coth x)
′ =
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
= − = 1−
coth x
2
2
⎝ sinh x ⎠ sinh x sinh x
Areafunktion als Umkehrfunktion der hyperbolischen Funktion
Die Bezeichnung Areafunktion entspringt dem Zusammenhang dieser Funktion mit dem Flächeninhalt
(area) eines Hyperbelsektors.
Wie bekannt, entsteht eine Umkehrfunktion durch das Vertauschen der unabhängigen und der abhän-
gigen Variablen, hier also y und x.
Man könnte als z.B. schreiben: x = cosh y – oder, um die gewohnte Schreibweise (unabhängige Va-
riable getrennt auf der linken Seite) beizubehalten: y = arcosh x. Die Funktion heisst Area-Kosinus-
Hyperbolikus und ist die Umkehrfunktion zum Kosinus-Hyperbolikus. Es gilt also:
y −y
e + e
2y
y
x = oder e 2xe
+ 1=
0
2
e
y
− und damit
2
2
= x ± x −1
⇒ y =
arcosh
x = ln( x ± x −1)
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen , Hyperbolische Funktionen Seite 2
e
e
+ e
−e