Vorkurs Mathematik
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76 6. Lösungen (k) Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels β (m) Konstruktion des Inkreises (l) Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels γ 6.3.2 Lösungen zum Abschnitt ” Trigonometrische Funktionen“ Aufgaben: 1. (a) a = 6 cm, b = 2.5 cm, c = 6.5 cm, α = 67.4 ◦ , β = 22.6 ◦ , γ = 90 ◦ (b) a = 280 m, b = 360 m, c = 456.07 m, α = 37.9 ◦ , β = 52.1 ◦ , γ = 90 ◦ (c) a = 24.8 m, b = 34.2 m, c = 42.26 m, α = 35.9 ◦ , β = 54.1 ◦ , γ = 90 ◦ (d) a = 47 m, b = 36.7 m, c = 59.6 m, α = 52 ◦ , β = 38 ◦ , γ = 90 ◦ 47.1 m, b = 24.5 m, c = 53.1 m, α = 62.5 ◦ , β = 27.5 ◦ , γ = 90 ◦ 138 m, c = 182.9 m, α = 41 ◦ , β = 49 ◦ , γ = 90 ◦ 6.4 km, α = 32 ◦ , β = 58 ◦ , γ = 90 ◦ 40.6 ◦ , β = 49.4 ◦ , γ = 90 ◦ 46 ◦ , β = 44 ◦ , γ = 90 ◦ (e) a = (f) a = 120 m, b = (g) a = 3.4 km, b = 5.4 km, c = (h) a = 15.8 m, b = 18.46 m, c = 24.3 m, α = (i) a = 40.55 cm, b = 39.2 cm, c = 56.4 cm, α = 2. (a) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm, α = 36.9 ◦ , β = 53.1 ◦ , γ = 90 ◦ , p = 3.6 cm, q = 6.4 cm, hc = 4.8 cm (b) a = 4.27 m, b = 4.5 m, c = 6.2 m, α = 43.5 ◦ , β = 46.5 ◦ , γ = 90 ◦ , p = 2.9 m, q = 3.3 m, hc = 3.1 m (c) a = 8 m, b = 15.04 m, c = 17.04 m, α = 28 ◦ , β = 62 ◦ , γ = 90 ◦ , p = 3.76 m, q = 13.3 m, hc = 7.06 m (d) a = 11.41 cm, b = 3.71 cm, c = 12 cm, α = 72 ◦ , β = 18 ◦ , γ = 90 ◦ , p = 10.85 cm, q = 1.15 cm, hc = 3.53 cm (e) a = 9.61 m, b = 10.86 m, c = 14.5 m, α = 41.5 ◦ , β = 48.5 ◦ , γ = 90 ◦ , p = 6.37 m, q = 8.13 m, hc = 7.2 m (f) a = 14 cm, b = 25.8 cm, c = 29.35 cm, α = 28.5 ◦ , β = 61.5 ◦ , γ = 90 ◦ , p = 6.68 cm, q = 22.68 cm, hc = 12.31 cm 3. (a) a = 58.6 m, b = 58.6 m, c = 55.02 m, α = 62 ◦ , β = 62 ◦ , γ = 56 ◦ , hc = 51.74 m, Flächeninhalt = 1423.44 m 2 (b) a = 45.2 m, b = 45.2 m, c = 68.23 m, α = 41 ◦ , β = 41 ◦ , γ = 98 ◦ , hc = 29.65 m, Flächeninhalt = 1011.58 m 2 (c) a = 77.13 m, b = 77.13 m, c = 124.8 m, α = 36 ◦ , β = 36 ◦ , γ = 108 ◦ , hc = 45.34 m, Flächeninhalt = 2829 m 2 (d) a = 7.63 m, b = 7.63 m, c = 9.76 m, α = 50.25 ◦ , β = 50.25 ◦ , γ = 79.5 ◦ , hc = 5.87 m, Flächeninhalt = 28.63 m 2 Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz
6.3. Lösungen zum Kapitel ” Trigonometrie“ 77 (e) a = 65.4 m, b = 65.4 m, c = 54.7 m, α = 65.28 ◦ , β = 65.28 ◦ , γ = 49.44 ◦ , hc = 59.41 m, Flächeninhalt = 1624.77 m 2 4. (a) Flächeninhalt = 69.28 cm 2 5. 6. 7. tan(α) = (b) Flächeninhalt = 73.72 m 2 sin(α) 1 − sin 2 (α) , tan(α) = sin(α) = cos(α) = 8. (a) sin(α) (b) cos(α) (c) sin(α) (d) (f) 1 + tan 2 (α) (g) sin(α) (h) 1 − cos 2 (α) cos(α) tan(α) 1 + tan 2 (α) , 3 √ 3 √ 28 1 , 1 + tan2 (α) 3 √ 2 √ 7 1 cos(α) 1 sin(α) (e) , 1 sin(α) 3 √ 7 − sin(α) 9. (a) a = 4.5 cm, b = 5.7 cm, c = 5.36 cm, α = 47.89 ◦ , β = 70 ◦ , γ = 62.1 ◦ 4 cm, b = 8.33 cm, c = 5 cm, α = 19.8 ◦ , β = 135.2 ◦ , γ = 25 ◦ 6.8 cm, c = 6.2 cm, α = 36.1 ◦ , β = 80 ◦ , γ = 63.9 ◦ 4.14 cm, α = 110 ◦ , β = 38.8 ◦ , γ = 31.2 ◦ 14.8 ◦ , β = 141.5 ◦ , γ = 23.7 ◦ 26.4 ◦ , γ = 99 ◦ (b) a = (c) a = 4.07 cm, b = (d) a = 7.5 cm, b = 5 cm, c = (f) (e) a = 3.7 cm, b = 9 cm, c = 5.8 cm, α = a = 6.6 cm, b = 3.6 cm, c = 8 cm, α = 54.6 ◦ , β = 10. (a) β1 = 64.7 ◦ , γ1 = 80.3 ◦ , c1 = 5.67 cm; β2 = 115.3 ◦ , γ2 = 29.7 ◦ , c2 = 2.85 cm (b) α1 = 68.8 ◦ , γ1 = 81.2 ◦ , a1 = 7.83 cm; α2 = 51.2 ◦ , γ2 = 98.8 ◦ , a2 = 6.54 cm (c) α1 = 51.4 ◦ , β1 = 95.1 ◦ , b1 = 10.83 cm; α2 = 128.6 ◦ , β2 = 17.9 ◦ , b2 = 3.35 cm (d) α1 = 56.8 ◦ , β1 = 73.2 ◦ , a1 = 6.11 cm; α2 = 23.2 ◦ , β2 = 106.8 ◦ , a2 = 2.89 cm (e) α1 = 75.5 ◦ , γ1 = 50.5 ◦ , c1 = 5.34 cm; α2 = 104.5 ◦ , γ2 = 21.5 ◦ , c2 = 2.53 cm (f) α1 = 66.1 ◦ , β1 = 64.9 ◦ , a1 = 6.06 cm; α2 = 15.9 ◦ , β2 = 115.1 ◦ , a2 = 1.82 cm 11. (a) α = 41.4 ◦ , β = 55.8 ◦ , γ = 82.8 ◦ (c) α = 102.4 ◦ , β = 31.4 ◦ , γ = 46.2 ◦ 12. 4 cos 3 (α) − 3 cos(α) 13. (a) (f) √ 6 √3 3 2 1 + (b) 6 (g) −7 9 √ 6 1 − 3 6 1 (h) 2 (c) (b) α = 26.4 ◦ , β = 117.3 ◦ , γ = 36.3 ◦ (d) α = 64.1 ◦ , β = 71.7 ◦ , γ = 44.2 ◦ √ 3 6 − √ 2 3 (d) √ 3 6 + 14. (a) 2 cos(45 ◦ ) cos(α) (b) 2 sin(60 ◦ ) cos(α) (c) −2 sin(60 ◦ ) sin(α) (d) cos(α) cos(β) H Harz FB A/I Vorkurs Mathematik √ 2 3 (e) 4 √ 2 9
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- Seite 31 und 32: 2.5. Lineare Gleichungssysteme 31 3
- Seite 33 und 34: 2.5. Lineare Gleichungssysteme 33 (
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- Seite 37 und 38: Kapitel 3 Trigonometrie 3.1 Dreieck
- Seite 39 und 40: 3.1. Dreiecke 39 2. Zweiter Strahle
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- Seite 53 und 54: 4.1. Grundlagen 53 Abbildung 4.2: V
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- Seite 63 und 64: 5.3. Integralrechnung 63 (l) (m) (n
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- Seite 85 und 86: 6.5. Lösungen zum Kapitel ” Diff
- Seite 87 und 88: 6.5. Lösungen zum Kapitel ” Diff
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6.3. Lösungen zum Kapitel ” Trigonometrie“ 77<br />
(e) a = 65.4 m, b = 65.4 m, c = 54.7 m, α = 65.28 ◦ , β = 65.28 ◦ , γ = 49.44 ◦ , hc =<br />
59.41 m, Flächeninhalt = 1624.77 m 2<br />
4. (a) Flächeninhalt = 69.28 cm 2<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
tan(α) =<br />
(b) Flächeninhalt = 73.72 m 2<br />
sin(α)<br />
1 − sin 2 (α) , tan(α) =<br />
sin(α) =<br />
cos(α) =<br />
8. (a) sin(α) (b) cos(α) (c) sin(α) (d)<br />
(f) 1 + tan 2 (α) (g) sin(α) (h)<br />
1 − cos 2 (α)<br />
cos(α)<br />
tan(α)<br />
1 + tan 2 (α) , 3 √ 3<br />
√ 28<br />
1<br />
,<br />
1 + tan2 (α) 3 √ 2<br />
√<br />
7<br />
1<br />
cos(α)<br />
1<br />
sin(α)<br />
(e)<br />
,<br />
1<br />
sin(α)<br />
3<br />
√ 7<br />
− sin(α)<br />
9. (a) a = 4.5 cm, b = 5.7 cm, c = 5.36 cm, α = 47.89 ◦ , β = 70 ◦ , γ = 62.1 ◦<br />
4 cm, b = 8.33 cm, c = 5 cm, α = 19.8 ◦ , β = 135.2 ◦ , γ = 25 ◦<br />
6.8 cm, c = 6.2 cm, α = 36.1 ◦ , β = 80 ◦ , γ = 63.9 ◦<br />
4.14 cm, α = 110 ◦ , β = 38.8 ◦ , γ = 31.2 ◦<br />
14.8 ◦ , β = 141.5 ◦ , γ = 23.7 ◦<br />
26.4 ◦ , γ = 99 ◦<br />
(b) a =<br />
(c) a = 4.07 cm, b =<br />
(d) a = 7.5 cm, b = 5 cm, c =<br />
(f)<br />
(e) a = 3.7 cm, b = 9 cm, c = 5.8 cm, α =<br />
a = 6.6 cm, b = 3.6 cm, c = 8 cm, α = 54.6 ◦ , β =<br />
10. (a) β1 = 64.7 ◦ , γ1 = 80.3 ◦ , c1 = 5.67 cm; β2 = 115.3 ◦ , γ2 = 29.7 ◦ , c2 = 2.85 cm<br />
(b) α1 = 68.8 ◦ , γ1 = 81.2 ◦ , a1 = 7.83 cm; α2 = 51.2 ◦ , γ2 = 98.8 ◦ , a2 = 6.54 cm<br />
(c) α1 = 51.4 ◦ , β1 = 95.1 ◦ , b1 = 10.83 cm; α2 = 128.6 ◦ , β2 = 17.9 ◦ , b2 = 3.35 cm<br />
(d) α1 = 56.8 ◦ , β1 = 73.2 ◦ , a1 = 6.11 cm; α2 = 23.2 ◦ , β2 = 106.8 ◦ , a2 = 2.89 cm<br />
(e) α1 = 75.5 ◦ , γ1 = 50.5 ◦ , c1 = 5.34 cm; α2 = 104.5 ◦ , γ2 = 21.5 ◦ , c2 = 2.53 cm<br />
(f) α1 = 66.1 ◦ , β1 = 64.9 ◦ , a1 = 6.06 cm; α2 = 15.9 ◦ , β2 = 115.1 ◦ , a2 = 1.82 cm<br />
11. (a) α = 41.4 ◦ , β = 55.8 ◦ , γ = 82.8 ◦<br />
(c) α = 102.4 ◦ , β = 31.4 ◦ , γ = 46.2 ◦<br />
12. 4 cos 3 (α) − 3 cos(α)<br />
13. (a)<br />
(f)<br />
√<br />
6<br />
√3 3<br />
2<br />
1<br />
+ (b)<br />
6<br />
(g) −7<br />
9<br />
√<br />
6 1<br />
−<br />
3 6<br />
1<br />
(h)<br />
2<br />
(c)<br />
(b) α = 26.4 ◦ , β = 117.3 ◦ , γ = 36.3 ◦<br />
(d) α = 64.1 ◦ , β = 71.7 ◦ , γ = 44.2 ◦<br />
√ 3<br />
6 −<br />
√ 2<br />
3<br />
(d)<br />
√ 3<br />
6 +<br />
14. (a) 2 cos(45 ◦ ) cos(α) (b) 2 sin(60 ◦ ) cos(α) (c) −2 sin(60 ◦ ) sin(α) (d) cos(α) cos(β)<br />
H Harz FB A/I <strong>Vorkurs</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
√ 2<br />
3<br />
(e)<br />
4 √ 2<br />
9
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