Vorkurs Mathematik
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54 4. Vektoren (c) 1 x + y x + − 4 2 x 3 (d) 4 3 b − 1.25 − 2 1 6 4 5 b 3 2 4 (e) + 2 − 3 1.5 4 3 6 − 3 −2 7 17. Die Vektoren a1, a2 und b sind durch ihre Koordinaten gegeben. Stellen Sie den Vektor b als Linearkombination der Vektoren a1 und a2 dar: (a) 2 1 1 b = , a1 = , a2 = 3 2 1 (b) −2 0 1 b = , a1 = , a2 = 4 1 −1 (c) 11 3 −1 b = , a1 = , a2 = −1 1 2 (d) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −3 1 0 b = ⎝ −2 ⎠ , a1 = ⎝ 0 ⎠ , a2 = ⎝ −1 ⎠ −3 1 0 18. Alle Vektoren einer Ebene bzw. des Raumes sind durch ihre Koordinaten bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems gegeben. Die Koordinatenachsen werden durch die paarweisen orthogonalen Einheitsvektoren e1 und e2 bzw. e1, e2 und e3 aufgespannt. Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b: 2 (a) a = , 1 −1 b = 2 3 (b) a = 4 , −2 5 b = −2 1 ⎛ ⎞ 1 (c) a = ⎝ 0 ⎠ , 1 ⎛ ⎞ −1 b = ⎝ 2 ⎠ 3 (d) a = −6 e1 + 8 e2 , b = 3 e1 − 4 e2 + 12 e3 (e) a = 2 (e1 + e2) + e3 , b = 4 e1 + 10 e2 − e3 19. Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b: (a) |a| = 3 , | b| = 4 , ∢(a, b) = 15 ◦ (b) |a| = 2.5 , | b| = 2 , ∢(a, b) = 90 ◦ (c) |a| = 4 , | b| = 3 , ∢(a, b) = 135 ◦ (d) |a| = 1 , | b| = 1 , ∢(a, b) = 105 ◦ 20. Man bestimme die Parameterform für die Gerade g durch die Punkte P1 und P2, ermittle außerdem eine Gleichung von g in analytischer Form und überprüfe das Ergebnis zeichnerisch. Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz
4.1. Grundlagen 55 (a) P1(1|2) , P2(0| − 1) (b) P1(2| − 1) , P2(3|4) (c) P1(−4|8) , P2(0|0) (d) x1 = 6 0P1 = , x2 = 1 −1 0P2 = 4 (e) x1 = −1 0P1 = , x2 = −2 0.5 0P2 = 0 21. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, welche durch die Punkte P0 und P1 bestimmt ist: (a) P0(1|0|2) , P1(1|1|1) (b) P0(−1|0.5|1) , P1(0|0|−1) (c) P0(3|2|1) , P1(1|2|3) (d) P0(0|0|0) , P1(1 1) 22. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch einen Punkt P0 und einen Richtungsvektor a festgelegt ist und untersuchen Sie, welcher der Punkte A, B und C auf g liegt: (a) P0(1|3| − 1) , a = (b) P0(0|1| − 1) , a = (c) P0(1|2| − 2) , a = ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ 2 1 1 1 2 0 ⎞ ⎠ , A(−1|2| − 2) , B(7|6|3) , C(−5|0| − 4) ⎞ −1 0 −1 ⎠ , A(3|7| − 1) , B(−2| − 3| − 1) , C(1| − 3| − 1) ⎞ ⎠ , A(0|0|0) , B(0|2| − 3) , C(4|2|1) 23. Weisen Sie nach, dass die gegebenen Geradengleichungen dieselbe Gerade beschreiben: x 1 2 (a) y = 4 x + 2 und = + t y 6 8 (b) x y x 0 3 + = 1 und = + t 3 4 y 4 0 x 1 2 x 3 −1 (c) = + t und = + s y 3 −4 y −1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x 3 −1 x 5 3 ⎞ (d) ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + t ⎝ −1 ⎠ und ⎝ y ⎠ = ⎝ 2 ⎠ + s ⎝ 3 ⎠ z 1 2 z −3 −6 24. Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Geraden g1, welche (a) parallel zu der durch P1(3|4|7) und P2(1|1|4) bestimmten Geraden g2 verläuft und den Punkt P0(1|0|1) enthält, (b) orthogonal zu der durch y = 2 x + 3 festgelegten Geraden verläuft und den Punkt A(1|7) enthält, (c) parallel zur z - Achse verläuft und den Punkt P0(−1| − 2|3) enthält. H Harz FB A/I Vorkurs Mathematik
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54 4. Vektoren<br />
(c) 1 x + y<br />
x + −<br />
4 2<br />
x<br />
3<br />
(d) 4 <br />
3<br />
b − 1.25 −<br />
2 1<br />
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4 5 <br />
b<br />
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3 2<br />
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(e) + 2 − 3 1.5<br />
4 3<br />
6<br />
<br />
− 3<br />
−2<br />
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17. Die Vektoren a1, a2 und b sind durch ihre Koordinaten gegeben. Stellen Sie den Vektor b als Linearkombination der Vektoren a1 und a2 dar:<br />
(a) <br />
2<br />
1<br />
1<br />
b = , a1 = , a2 =<br />
3<br />
2<br />
1<br />
(b) <br />
−2<br />
0<br />
1<br />
b = , a1 = , a2 =<br />
4<br />
1<br />
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(c) <br />
11<br />
3<br />
−1<br />
b = , a1 = , a2 =<br />
−1<br />
1<br />
2<br />
(d) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−3<br />
1<br />
0<br />
b = ⎝ −2 ⎠ , a1 = ⎝ 0 ⎠ , a2 = ⎝ −1 ⎠<br />
−3<br />
1<br />
0<br />
18. Alle Vektoren einer Ebene bzw. des Raumes sind durch ihre Koordinaten bzgl. eines kartesischen<br />
Koordinatensystems gegeben. Die Koordinatenachsen werden durch die paarweisen<br />
orthogonalen Einheitsvektoren e1 und e2 bzw. e1, e2 und e3 aufgespannt. Berechnen Sie<br />
das Skalarprodukt der Vektoren a und b: <br />
2<br />
(a) a = ,<br />
1<br />
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−1<br />
b =<br />
2<br />
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3<br />
(b) a = 4 ,<br />
−2<br />
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5<br />
b = −2<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
(c) a = ⎝ 0 ⎠ ,<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
−1<br />
b = ⎝ 2 ⎠<br />
3<br />
(d) a = −6 e1 + 8 e2 , b = 3 e1 − 4 e2 + 12 e3<br />
(e) a = 2 (e1 + e2) + e3 , b = 4 e1 + 10 e2 − e3<br />
19. Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b:<br />
(a) |a| = 3 , | b| = 4 , ∢(a, b) = 15 ◦<br />
(b) |a| = 2.5 , | b| = 2 , ∢(a, b) = 90 ◦<br />
(c) |a| = 4 , | b| = 3 , ∢(a, b) = 135 ◦<br />
(d) |a| = 1 , | b| = 1 , ∢(a, b) = 105 ◦<br />
20. Man bestimme die Parameterform für die Gerade g durch die Punkte P1 und P2, ermittle<br />
außerdem eine Gleichung von g in analytischer Form und überprüfe das Ergebnis zeichnerisch.<br />
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