Vorkurs Mathematik

52 4. Vektoren
Q :
(a) P (2|3|1), Q = ? (b) P (−1|4| − 3), Q = ? (c) P = ?, Q(7|6|3) (d) P =
?, Q(0|0|0)
5. Zeichnen Sie ein Parallelogramm A1, A2, A3, A4 und das durch die Seitenmitten M1, M2,
M3, M4 bestimmte Viereck. Fassen Sie jeweils diejenigen Pfeile zusammen, welche den
gleichen Vektor beschreiben. Welche Vektoren sind zueinander entgegengesetzt? Welche
Vektoren besitzen den gleichen Betrag?
6. Wieviele verschiedene Verschiebungen des Raumes können durch geordnete Paare von
Eckpunkten eines Würfels beschrieben werden?
7. Bezüglich eines Koordinatensystems ist der Punkt P1(1|2) gegeben. Der Vektor v =
0P1
legt eine Verschiebung v fest. Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte von P2(3|4),
P3(−1|0), und P4(−3| − 2) bzgl. v. Geben Sie die Koordinaten der Originalpunkte von
˜P5(1| − 3), ˜ P6(4|1), und ˜ P7(−3|0) bzgl. der Verschiebung v an. Tragen Sie alle gegebenen
und ermittelten Original- bzw. Bildpunkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden
Sie jeweils den Originalpunkt mit dem zugehörigen Bildpunkt durch einen Pfeil.
8. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
(a) a + b − (c + a) + (− b)
(b) (m − n) + (m + n) − m
(c) ((r − t) − (s − v)) − ((r − s) − (t − v)) + r − s
(d) P Q − ( RS + SS − QP ) + RS
9. Lösen Sie die folgenden Vektorgleichungen nach x auf:
(a) s − x + r = x + r
(b) −( d − x) + ( d + x) = d − (r − x)
10. Berechnen Sie die Summe der ⎛ beiden ⎞ ⎛Vektoren,
⎞ sofern ⎛ dies⎞möglich ⎛ ist: ⎞ ⎛
2 3
3 −3
2 3
(a) ,
(b) ⎝ 1 ⎠ , ⎝ −4 ⎠ (c) ⎝ −3 ⎠ , ⎝ 3 ⎠ (d) ⎝
3 −4
3 1
2 −2
⎛ ⎞
2
(e) ⎝ 3 ⎠
3
,
−4
1
11. Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die angegebene Summe der Vektoren u, w und
v (Bezeichnung der Vektoren von links nach rechts) in Abbildung 4.2:
(a) u + v (b) u + w (c) v + w (d) (u + v) + w (e) v + u (f) u + (v + w)
(g) u + u (h) w + w + w
Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Resultate von (a) und (e) bzw. (d) und (f) vergleichen?
12. Gegeben sind die Vektoren a =
e =
2
4
und e =
1
−5
⎛
⎝
2
1
3
⎞
⎠, b =
⎛
⎝
−1
4
2
⎞
⎠, c =
⎛
⎝
3
1
5
⎞
⎠, d =
4
0
2
⎛
⎝
⎞
⎠ ,
. Berechnen Sie die Vektoren, sofern dies möglich ist:
Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz
0
0
1
⎛
⎝
⎞
⎠,
0
0
0
⎞
⎠