Vorkurs Mathematik
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46 3. Trigonometrie x + y x − y 5. sin(x) + sin(y) = 2 sin cos 2 2 x + y x − y 6. sin(x) − sin(y) = 2 cos sin 2 2 x + y x − y 7. cos(x) + cos(y) = 2 cos cos 2 2 x + y x − y 8. cos(x) − cos(y) = 2 sin sin 2 2 Aufgaben: Abbildung 3.7: Gleichschenkliges Dreieck. 1. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreiecks mit γ = 90 ◦ , wie in Abbildung 3.2 dargestellt: (a) a = 6.0 cm und b = 2.5 cm (b) a = 280 m und b = 360 m (c) a = 24.8 m und b = 34.2 m (d) a = 47 m und β = 38 ◦ (e) b = 24.5 m und α = 62.5 ◦ (f) a = 120 m und α = 41 ◦ (g) c = 6.4 km und α = 32 ◦ (h) a = 15.8 m und c = 24.3 m (i) b = 39.2 cm und c = 56.4 cm 2. Berechnen Sie p, q und hc im Dreieck von Abbildung 3.2, wobei immer γ = 90 ◦ vorausgesetzt wird: (a) a = 6 cm und c = 10 cm (b) b = 4.5 m und α = 43.5 ◦ (c) a = 8 m und α = 28 ◦ (d) c = 12 cm und α = 72 ◦ (e) c = 14.5 m und β = 48.5 ◦ (f) a = 14 cm und b = 25.8 cm 3. Sei ein gleichschenkliges Dreieck wie in Abbildung 3.7 gegeben. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel sowie den Flächeninhalt des Dreiecks: (a) b = 58.6 m und α = 62 ◦ (b) a = 45.2 m und γ = 98 ◦ (c) c = 124.8 m und β = 36 ◦ (d) c = 9.76 m und γ = 79.5 ◦ (e) a = 65.4 m und c = 54.7 m 4. Sei ein Parallelogramm mit den Bezeichnungen wie in Abbildung 3.8 gegeben. Berechnen Sie den Flächeninhalt: (a) a = 8 cm , d = 10 cm , α = 60 ◦ Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz
3.2. Trigonometrische Funktionen 47 (b) a = 12 m , b = 7.5 m , β = 125 ◦ Abbildung 3.8: Parallelogramm. 5. Drücken Sie tan(α) durch sin(α) (cos(α)) aus. Berechnen Sie tan(α) für sin(α) = 3 4 . 6. Drücken Sie sin(α) durch tan(α) aus. Berechnen Sie sin(α) für tan(α) = 3 √ 3 Siehe hierzu Abbildung 3.9. Abbildung 3.9: d = 1 + tan 2 (α) . 7. Berechnen Sie cos(α) für tan(α) = 1 √ 2 3 . 8. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) tan(α) cos(α) (b) sin(α) tan(α) (c) sin 3 (α) + sin(α) cos 2 (α) (d) 1 cos(α) tan(α) (e) cos(α) tan(α) (f) 1 cos2 (α) (g) 1 + cos(α) 1 − cos(α) H Harz FB A/I Vorkurs Mathematik
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3.2. Trigonometrische Funktionen 47<br />
(b) a = 12 m , b = 7.5 m , β = 125 ◦<br />
Abbildung 3.8: Parallelogramm.<br />
5. Drücken Sie tan(α) durch sin(α) (cos(α)) aus. Berechnen Sie tan(α) für sin(α) = 3<br />
4 .<br />
6. Drücken Sie sin(α) durch tan(α) aus. Berechnen Sie sin(α) für tan(α) = 3 √ 3 Siehe hierzu<br />
Abbildung 3.9.<br />
Abbildung 3.9: d = 1 + tan 2 (α) .<br />
7. Berechnen Sie cos(α) für tan(α) = 1<br />
√<br />
2 3 .<br />
8. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:<br />
(a) tan(α) cos(α)<br />
(b) sin(α)<br />
tan(α)<br />
(c) sin 3 (α) + sin(α) cos 2 (α)<br />
(d)<br />
1<br />
cos(α) tan(α)<br />
(e) cos(α)<br />
tan(α)<br />
(f)<br />
1<br />
cos2 (α)<br />
(g) 1 + cos(α) 1 − cos(α)<br />
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