Vorkurs Mathematik
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42 3. Trigonometrie Aufgaben: 1. Folgende Winkel sind im Bogenmaß bzw. Gradmaß anzugeben: (a) 15◦ (b) 225◦ (c) 105◦ (d) 277, 5◦ (e) 31◦ 17 ′ 20 ′′ (f) π 8 (j) 1 (g) π 12 (h) 5.19 (i) 0.22 2. Gegeben ist ein Dreieck mit a = 4.5 cm, b = 12.2 cm und c = 11.7 cm. Konstruieren Sie dieses Dreieck. Zeichnen Sie die Seitenhalbierenden, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Höhen sowie den In- und Umkreis. 3.2 Trigonometrische Funktionen Die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken lassen Rückschlüsse auf die entsprechenden Winkel zu. Dies wird durch die trigonometrischen Funktionen beschrieben, wobei wir uns auf die Bezeichnungen von Abbildung 3.2 beziehen und davon ausgehen, dass γ = 90 ◦ ist: 1. Sinus von α: sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse 2. Cosinus von α: cos(α) = Ankathete Hypothenuse 3. Tangens von α: tan(α) = Gegenkathete Ankathete = a c = b c 4. Kotangens von α: cot(α) = Ankathete Gegenkathete = a b Aufgrund der Strahlensätze hängen diese Verhältnisse nur vom Winkel α ab. Da β = 90 ◦ − α ist, gelten folgende Beziehungen: 1. sin(β) = sin(90 ◦ − α) = cos(α) 2. cos(β) = cos(90 ◦ − α) = sin(α) 3. tan(β) = tan(90 ◦ − α) = cot(α) 4. cot(β) = cot(90 ◦ − α) = tan(α) Weiterhin gelten: 1. tan(α) = sin(α) cos(α) 2. cot(α) = cos(α) sin(α) Abbildung 3.4 zeigt im Fall, dass die Hypothenuse gleich 1 ist, die trigonometrischen Funktionen geometrisch auf. Aufgrund des Satzes von Pythagoras gelten: 1. sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 2. 1 + tan 2 (α) = 1 cos 2 (α) Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz = b a
3.2. Trigonometrische Funktionen 43 3. 1 + cot 2 (α) = Abbildung 3.4: Grafik zu den trigonometrischen Funktionen. 1 sin 2 (α) Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen sind aus der Tabelle 3.1 zu entnehmen. Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, gibt es keine Umkehrfunktionen auf ganz R. Deshalb sind die Umkehrfunktionen nur für Teilintervalle definiert: 1. Die Funktion arcsin : [−1, 1] → heißt Arcussinus und ist definiert durch −π π , 2 2 arcsin(y) = x ⇐⇒ sin(x) = y . Radiant Grad sin(α) cos(α) tan(α) cot(α) 0 0◦ 0 1 0 nicht definiert π 6 π 4 π 3 ◦ 30 45◦ 60◦ 1 2 √ 1 2 2 √ 1 2 3 √ 1 2 3 √ 1 2 2 1 2 √ 1 3 3 1 √ 3 √ 3 1 √ 1 3 3 π 2 90 ◦ 1 0 nicht definiert 0 Tabelle 3.1: Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen H Harz FB A/I Vorkurs Mathematik
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3.2. Trigonometrische Funktionen 43<br />
3. 1 + cot 2 (α) =<br />
Abbildung 3.4: Grafik zu den trigonometrischen Funktionen.<br />
1<br />
sin 2 (α)<br />
Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen sind aus der Tabelle 3.1 zu entnehmen. Da<br />
die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, gibt es keine Umkehrfunktionen auf ganz R.<br />
Deshalb sind die Umkehrfunktionen nur für Teilintervalle definiert:<br />
1. Die Funktion<br />
arcsin : [−1, 1] →<br />
heißt Arcussinus und ist definiert durch<br />
<br />
−π π<br />
,<br />
2 2<br />
arcsin(y) = x ⇐⇒ sin(x) = y .<br />
Radiant Grad sin(α) cos(α) tan(α) cot(α)<br />
0 0◦ 0 1 0 nicht definiert<br />
π<br />
6<br />
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