Vorkurs Mathematik

42 3. Trigonometrie
Aufgaben:
1. Folgende Winkel sind im Bogenmaß bzw. Gradmaß anzugeben:
(a) 15◦ (b) 225◦ (c) 105◦ (d) 277, 5◦ (e) 31◦ 17 ′ 20 ′′ (f) π
8
(j) 1
(g) π
12 (h) 5.19 (i) 0.22
2. Gegeben ist ein Dreieck mit a = 4.5 cm, b = 12.2 cm und c = 11.7 cm. Konstruieren
Sie dieses Dreieck. Zeichnen Sie die Seitenhalbierenden, die Mittelsenkrechten, die
Winkelhalbierenden und die Höhen sowie den In- und Umkreis.
3.2 Trigonometrische Funktionen
Die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken lassen Rückschlüsse auf die entsprechenden
Winkel zu. Dies wird durch die trigonometrischen Funktionen beschrieben, wobei wir uns auf
die Bezeichnungen von Abbildung 3.2 beziehen und davon ausgehen, dass γ = 90 ◦ ist:
1. Sinus von α: sin(α) = Gegenkathete
Hypothenuse
2. Cosinus von α: cos(α) = Ankathete
Hypothenuse
3. Tangens von α: tan(α) = Gegenkathete
Ankathete
= a
c
= b
c
4. Kotangens von α: cot(α) = Ankathete
Gegenkathete
= a
b
Aufgrund der Strahlensätze hängen diese Verhältnisse nur vom Winkel α ab. Da β = 90 ◦ − α
ist, gelten folgende Beziehungen:
1. sin(β) = sin(90 ◦ − α) = cos(α)
2. cos(β) = cos(90 ◦ − α) = sin(α)
3. tan(β) = tan(90 ◦ − α) = cot(α)
4. cot(β) = cot(90 ◦ − α) = tan(α)
Weiterhin gelten:
1. tan(α) = sin(α)
cos(α)
2. cot(α) = cos(α)
sin(α)
Abbildung 3.4 zeigt im Fall, dass die Hypothenuse gleich 1 ist, die trigonometrischen Funktionen
geometrisch auf. Aufgrund des Satzes von Pythagoras gelten:
1. sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1
2. 1 + tan 2 (α) =
1
cos 2 (α)
Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz
= b
a