Vorkurs Mathematik

40 3. Trigonometrie
(a) (b) (c)
Abbildung 3.3: Satz des Pythagoras.
Beweis des Satzes des Pythagoras:
Der Beweis des Satzes des Pythagoras folgt direkt aus der Abbildung 3.3. Bild (a) von Abbildung
3.3 zeigt die geometrische Bedeutung des Satzes des Pythagoras. Wir müssen also zeigen,
dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen der Katheten a und b
gleich dem Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge der Hypothenuse c ist. Bild (b) von
Abbildung 3.3 zeigt, dass
(a + b) 2 − 2 a b = a 2 + b 2
(3.1)
gilt. Aus Bild (c) von Abbildung 3.3 folgt
Die Gleichungen 3.1 und 3.2 ergeben zusammen
(a + b) 2 − 2 a b = c 2 . (3.2)
a 2 + b 2 = c 2 .
Beweis des Höhensatzes:
Mit den Bezeichnungen von Abbildung 3.2 folgen aus dem Satz des Pythagoras
und
also gilt
a 2 = h 2 c + p 2
b 2 = h 2 c + q 2 ,
Gleichung 3.3 und der Satz des Pythagoras ergeben nun
a 2 + b 2 = 2 h 2 c + p 2 + q 2 . (3.3)
p 2 + 2 p q + q 2 = (p + q) 2
= c 2
= a 2 + b 2
= 2 h 2 c + p 2 + q 2 ,
Vorkurs Mathematik FB A/I H Harz
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