Vorkurs Mathematik

36 2. Gleichungen
2.7 Beträge
Der Betrag oder auch Absolutbetrag |a| einer Zahl a wird erklärt durch
a für a ≥ 0
|a| =
−a für a < 0
Der Betrag stellt den Abstand einer Zahl auf der Zahlengeraden vom Nullpunkt dar.
Rechenregeln und Eigenschaften für Beträge:
1. | − a| = |a|
2. |a| ≥ 0
3. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0
4. |a b| = |a| |b|
5. a
=
b
|a|
mit b = 0
|b|
6. |a + b| ≤ |a| + |b| ( Dreiecksungleichung )
Aufgaben:
1. Stellen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen grafisch dar:
(a) |x − 5| < 3 (b) |4 x + 2| > 5 (c) |x − 1| < 5 (d) |x + 2| = 7
(e) |x + 3| = |3 x − 4| (f) |x2 − 2 x − 8| = 7 (g) |2 x − x2 (i) |2 x − 3| < x + 3
| = 8 (h) |3 x − 5| > 2 |x + 2|
(j) |x2 − 6 x + 8| ≥ 3 (k) |x2
x + 3
− 6 x + 11| < 1 (l) > 3
(m)
1 − 4 x
2 − x
> 4 (n)
|x − 1|
2 x + 2
≥ 1
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1 − x