Vorkurs Mathematik

2.2. Quadratische Gleichungen 27
Durch quadratische Ergänzung mit p2
2 erhalten wir
x 2 + p x +
p
2 2
=
p
2 2
und können auf der linken Seite der Gleichung die binomische Formel anwenden
x + p
2
p
2 = − q
2 2
Somit folgt
x + p
p 2 = ± − q
2 2
und damit die Lösungsformel der Normalform einer quadratischen Gleichung
x1,2 = − p
2 ±
p
Für die zwei Lösungen x1 und x2 der qudratischen Gleichung gilt der Satz von Vieta
2
2
− q
− q
p = −(x1 + x2) und q = x1 x2
Für das Lösen quadratischer Gleichungen gibt es folgende einfachere Fälle:
1. x 2 + p x = 0 =⇒ x1 = 0 , x2 = −p
2. x 2 + q = 0 =⇒ x1 = √ −q , x2 = − √ −q
3. x 2 = 0 =⇒ x1 = 0 , x2 = 0
Aufgaben:
1. Lösen Sie die folgenden Gleichungen möglichst im Kopf, ohne Zwischenschritte zu notieren:
(a) x2 − 9 = 0 (b) x2 = 0 (c) r2 − 16 = 0 (d) a2 − 4 = 0 (e) x2 + 0.125 = 1
8
(f) x2 + 9 = 25 (g) x2 + 49 = 0 (h) 2 x2 − 1 = 0 (i) k2 − 1
4 k = 0
(j) x2 + 9 x = 0 (k) − x2 + 9 x = 0 (l) (x − 7) 2 − 49 = 0
2. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke, indem Sie mittels quadratischer Ergänzung
vollständige Quadrate bilden:
(a) 4 a 2 − 12 a + 9 b 2 − 24 b = 0
(b) 16 a 2 + 25 b 2 − 128 a + 50 b = 0
(c) 3 a 2 − 2 b 2 − 2 √ 6 a + 2 √ 6 b = 0
(d) 4 x 2 + 12 x y − 9 a 2 + 12 a b = 0
3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
(a) x 2 + 5 x − 14 = 0
(b) x 2 + 12 x + 11 = 0
(c) x 2 − 144 = 0
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