Photoelektron-Photoion-Koinzidenz- spektroskopie mit ...

2.1. Statistik wahrer und zufalliger Koinzidenzen 59
in der Wechselwirkungszone des Experiments (Querschnitts ache 3 mm) im Mittel 10 6 Photonen
auf 10 9 Atome tre en, damit 1 Ionisation erfolgt. Dies bedeutet eine extrem kleine
Erfolgswahrscheinlichkeit w fur den Einzelversuch. Unter den genannten Bedingungen wird
das zeitliche Auftreten von Ionisationsereignissen durch die Poissonstatistik beschrieben [67].
Werden innerhalb einer beliebigen aber festen Zeitspanne tnEinzelversuche durchgefuhrt,
so nden im Mittel N = nw Ionisationsprozesse statt. Unter zeitlich konstanten Bedingungen
betragt die Ionisationsrate dann R = N= t. Die Wahrscheinlichkeit dafur, innerhalb eines
Zeitfensters t gerade k Ionen anzutre en, ist nach der Poissonstatistik gegeben durch
Pk(N) =
Dabei gilt die Normierungsbedingung
N k
k! e,N ; k =0;1;2;::: (2.1)
1X
k=0
Pk(N) =1: (2.2)
Der statistische Mittelwert fur die Anzahl erzeugter Ionen betragt wie oben
N :=
1X
k=0
kPk(N) = R t: (2.3)
Diese Statistik liegt bei Zeitfenstern vor, die durch zufallige Starts gesetzt werden. Bei einem
wahren Start wird das zugehorige Zeitfenster mit Sicherheit so plaziert, da mindestens ein
Ion (das wahre Ion) in ihm enthalten ist. Die Wahrscheinlichkeit dafur, da bei einem zufalligen
Start ein Zeitfenster auftritt, in dem mindestens ein Ion enthalten ist, betragt hingegen
nur 1 , P0(N). Die Wahrscheinlichkeit Pk dafur, da in einem durch einen zufalligen Start
gesetzten Zeitfenster k 1 Ionen enthalten sind, ist dann gegeben durch die Wahrscheinlichkeit
Qk dafur, da dieselbe Anzahl Ionen in einem Zeitfenster, in dem mit Sicherheit mindestens
ein Ion enthalten ist, enthalten sind, mal der Wahrscheinlichkeit 1 , P0(N) dafur, da ein
solches Zeitfenster bei einem zufalligen Start auftritt:
Pk(N) = (1 , P0(N)) Qk(N); k =1;2;::: (2.4)
Die Qk sind gerade die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bei wahren Starts:
Qk(N) =
Pk(N)
1 , P0(N) ; k =1;2;::: mit Q0(N) = 0: (2.5)
Fur sie gilt eine Normierungsbedingung entsprechend (2.2). Als wichtigster Unterschied zu
(2.3) resultiert bei wahren Starts ein neuer Mittelwert
Dabei gilt
NW :=
1X
k=0
kQk(N) =
N
=
1 , e ,N
R t
1 , e ,R t:
(2.6)
lim NW = 1 und lim
N!0
N!1 NW = N: (2.7)