PR ¨UFUNG TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik

PSfrag replacements
a
1. Aufgabe: (TM, ETM)
D
ERGEBNISSE
PRÜFUNG TM I,II UND ETM I,II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
a
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
2a a
SS 2006 02.09.2006
3m
A B
C
S1 S2 S3
Gegeben ist ein System bestehend aus zwei massebehafteten Balken AB (Masse 3m) und CD
(Masse 3m), welche durch die drei masselosen Stäbe S1, S2 und S3 miteinander verbunden
sind. Der obere Balken CD wird durch eine horizontale Kraft F belastet. Der untere Balken
AB ist an der Stelle A fest eingespannt. Berechnen Sie:
a) die Lagerreaktionen in der Einspannung A,
b) die Stabkräfte S1, S2 und S3,
3m
c) die Schnittgrößen N, Q und M für den oberen Balken CD.
d) Stellen Sie die errechneten Schnittgrößenverläufe graphisch dar.
Gegeben: a, m, g, F = mg
2a
D
F
g

a) Ax = −mg, Az = 6 mg, MA = −16 mg a
b) S1 = − 3
2 mg, S2 = − √ 2 mg, S3 = 11
2 mg
c)
d)
Bereich I: 0 ≤ x < a
NI(x) = 0, QI(x) = − 3 mg
mg −
2 a x, MI(x) = − 3 1 mg
mg x −
2 2 a x2
Bereich II: a ≤ x < 3a
NII(x) = mg, QII(x) = 3 mg − mg
a x, MII(x) = 3 mg x − 1 mg
2 a x2 − 9
mg a
2
PSfrag replacements
a
√ 3 mg
N(x)
Q(x)
− 3
2 mg
M(x)
⊖
⊖
2 mg
⊕
− 5
2 mg
−2 mga
⊕
mg

2. Aufgabe: (TM, ETM)
PSfrag replacements
F = ?
µ
µ
α
α
➁
Gegeben sei obiges System aus zwei masselosen Körpern ➀, ➁. Alle Kontakte zwischen Körpern
sowie Körpern und Wänden seien, wie dargestellt, reibungsbehaftet mit dem Haftreibungskoeffizienten
µ. Die Kräfte G und F greifen an den Körpern ➀ und ➁ so an, dass kein Kippen
auftritt. Berechnen Sie
a) die in dem System auftretenden Normalkräfte sowie in Abhängigkeit von diesen die Kraft
Fmin, die mindestens nötig ist, um ein Herabsinken von Körper ➀ zu verhindern;
b) die mindestens erforderliche Kraft Fmax, um Körper ➀ anzuheben!
c) Bestimmen Sie α so, dass für beliebig gegebenes µ Selbsthemmung vorliegt, d.h. dass
F = 0 für beliebige G gilt !
Gegeben: G = 15 kN , µ = 0.2 , α = 20 ◦
Hinweis: sin α · cos α = 1
sin 2α
2
G
➀
α
µ

a)
b)
sin α − µ cos α
N1 = G
1 − µ 2
= 2.41 kN
cos α − µ sin α
N2 = G
1 − µ 2 = 13.61 kN
cos
N3 = G
2 α − µ 2 sin 2 α
sin α[µ − µ 3 ] + cos α[1 − µ 2 ] = N2 = 13.61 kN,
Fmin = 2 N2[sin α − µ cos α]
= 2G sin α cos α + µ2 sin α cos α − µ
1 − µ 2
Fmax = 2G sin α cos α + µ2 sin α cos α + µ
1 − µ 2
c) Trivial: α = 0 für alle µ
Allgemeiner muß unter der Nebenbedingung µ 2 = 1
gelten. Also
0 ! = 2 sin α cos α + 2µ 2 sin α cos α − 2µ
α = 1
2 arcsin
2µ
1 + µ 2
= 4.19 kN
= 14.43 kN

3. Aufgabe: (TM)
PSfrag replacements
A
2a
x
F
¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢
¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡
Das dargestellte masselose System ist in A und B gelenkig gelagert und durch zwei Kräfte
beansprucht, wobei die horizontale Kraft als verschieblich anzusehen ist.
Berechnen Sie:
a) die horizontale Auflagerreaktion in A mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen;
b) die vertikale Auflagerreaktion in B mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen.
Gegeben: a, b, x, F
Anmerkung: Sämtliche Verschiebungsbilder und kinematische Beziehungen sind anzugeben.
Eine Lösung der Aufgabe mit Gleichgewichtsbedingungen wird nicht bewertet.
a + x
a) Ax =
b
b) By = F
− 1 F
a
F
a
B
b

4. Aufgabe: (TM, ETM)
PSfrag replacements
e
1
50l ∆T
2a a
A B
C
EA1, α1
EA2, α2
Auf zwei masselosen gleichen Stützen (Länge l, Dehnsteifigkeit EA1 = EA2 = EA, Wärmeausdehnungskoeffizient
α1 = α2 = α) liegt ein masseloser starrer Balken, der im Punkt C
in der abgebildeten Weise drehbar gelagert ist. Der Balken hat zu den Lagern A und B den
Abstand e.
a) Geben Sie das Verhältnis der Längenänderungen der beiden Stützen an, wenn der Balken
aus der dargestellten (spannungsfreien) Lage bewegt wird und das Verhältnis der Stabkräfte
für den Gleichgewichtsfall.
b) Berechnen Sie die Stabkräfte in den Stützen bei einer Erwärmung der Stützen um ∆T .
c) Bei welcher Temperaturänderung ∆Ta gegenüber der dargestellten (spannungsfreien) Lage
berührt der Balken das Lager im Punkt A.
d) Bei welcher Temperaturänderung ∆Tb gegenüber der dargestellten (spannungsfreien) Lage
berührt der Balken das Lager im Punkt B.
Gegeben: a , l , EA1 = EA2 = EA , α1 = α2 = α, e = 1
50 l
Wichtig: Die Abbildung ist nicht maßstabsgetreu !
∆T
l

a)
b)
δB = − δA
2
oder δA = −2 δB
S1 = − 3
α · ∆T · EA
5
S2 = 2 · S1 = − 6
α · ∆T · EA (1)
5
PSfrag replacements
S1
∆T
S1
A B
C
δA
c) Erklärung: Bei einer Erwärmung um ∆TA wollen sich beide Stäbe ausdehnen. Aufgrund
der Geometrie ist dies jedoch nur für Stab S1 mit dem größeren Hebelarm möglich und
der Stab S2 wird nach unten gedrückt.
∆TA = 1
20 α
d) Erklärung: Bei einer Abkühlung um ∆TB wollen sich beide Stäbe zusammenziehen. Aufgrund
der Geometrie ist dies jedoch nur für Stab S1 mit dem größeren Hebelarm möglich
und der Stab S2 wird nach oben gezogen.
∆TB = − 1
10 α
S2
δB
∆T
S2
(2)
(3)

PSfrag replacements
5. Aufgabe: (TM)
¥¤¥ ¦¤¦¤¦ £¤£ §¤§¤§ ©¤©¤© ¨¤¨¤¨ ¤¤ ¤¤ ¦¤¦¤¦ §¤§¤§
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A B
x
a b
Ein masseloser Balken (Biegesteifigkeit EI) ist wie dargestellt im Punkt A vertikal verschieblich
eingespannt und in Punkt B horizonal verschieblich gelagert und durch die Streckenlast q
belastet. Berechnen Sie
a) die Auflagerreaktionen in A und B,
b) den Biegemomentenverlauf in Abhängigkeit der gegebenen Koordinate x,
c) den allgemeinen Verlauf der Biegelinie, sowie die notwendigen Rand- und Übergangsbedingungen
zur Bestimmung der Integrationskonstanten. Die Integrationskonstanten selbst
müssen nicht bestimmt werden.
d) das Verhältnis der Strecken a : b so, dass sich der Balken im Lager A nicht durchbiegt.
Skizzieren Sie zugehörige Biegelinie.
Gegeben: q, a, b, EI
a) A = 0 , B = q[a + b] , MA = 1
2 q[b2 − a 2 ]
b) Bereich I (0 ≤ x ≤ a): MI(x) = − 1
2 q x 2 − [a 2 − b 2 ]
Bereich II (a ≤ x ≤ a + b): MII(x) = − 1
2 q x 2 − 2[a + b]x + [a + b] 2
c) EIwI = 1
2 q
1
12 x4 − 1
2 [a2 − b 2 ]x 2
+ C1x + C2
EIwII = 1
2 q
1
12 x4 − 1
3 [a + b]x3 + 1
2 [a + b]2x 2
+ D1x + D2
4 Rand-und Übergansbedingungen:
w ′ I (0) = 0 , wI(a) = 0 , w ′ II (a) = w′ I (a) , wII(a) = 0
d) a
b =
6
5
q

6. Aufgabe: (ETM, TMII)
PSfrag replacements
A
A
A
ϕ
a
a
C
Der dargestellte masselose Träger (Dehnsteifigkeit EA, Biegesteifigkeit EI), ist in A und B
wie abgebildet gelagert und wird in Punkt C durch eine vertikale Kraft F belastet.
Bestimmen Sie:
a) die Auflagerraktionen in A und B,
b) die vertikale Verschiebung von C,
c) die vertikale Verschiebung von B
Gegeben: F, a, EI, EA
Anmerkung: Im Bogenträger sind nur die Energieanteile infolge des Biegemomentes zu
berücksichtigen.
sin 2 (x)dx = 1 1
x − sin 2x
2 4
cos 2 (x)dx = 1 1
x + sin 2x
2 4
sin(x) cos(x)dx = 1
2 sin2 (x)
B
F
a
a

2 F
a) B =
π , AH
2 F
=
π , AV
2
= F, MA = − 1 F a
π
b) vC = a2
3π
F − 2 −
EI 4 1
+
π
a
EA F
c) vB = a2
3π
F − 2 −
EI 4 1
π

7. Aufgabe: (ETM)
PSfrag replacements
A
1
B
2
Die starren Stangen 1, 2 und 3 mit den Längen l1, l2 und l3 sind in A, B, C und D gelenkig
gelagert. Der Stab 3 rotiert von der horizontalen Lage aus um den Punkt D im Uhrzeigersinn
mit α(t) = 1
3 t2 . Auf dem Stab 3 befindet sich der reibungsfrei gelagerte Reifen R, der während
dieser Bewegung vom Punkt C her abrutscht. Dabei legt er den Weg s(t) = l3
4 t2 zurück.
a) Zeichnen Sie die Geschwindigkeitspfeile vB und vC und bestimmen Sie grafisch den Momentanpol
der Stange 2.
b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeitskomponenten vr und vϕ des Reifens R in Abhängigkeit
der Zeit.
c) Bestimmen Sie die Beschleunigungskomponenten ar und aϕ des Reifens R in Abhängigkeit
der Zeit.
d) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit v(α) des Reifens R für α = 30 ◦ .
e) Bei welchem Winkel αE kommt der Reifen im Punkt D an?
Gegeben: l1, l2, l3, α(t) = 1
3 t2 , s(t) = l3
4 t2
C
R
α
s
3
D
er
eϕ

a)
PSfrag replacements
vR
A
B
b) vr(t) = l3
2 t, vϕ(t) = l3
6 t3
c) ar(t) = l3
2 , aϕ(t) = 5l3
6 t2
d) vR1 =
1
v 2 r + v 2 ϕ =
e) αE(2s) = 76, 4 ◦
l3
vB
1, 25
2
2
+
2
MP
2 l3
1, 253
6
R
C
vC
α
s
3
D

8. Aufgabe: (ETM I)
PSfrag replacements
m1
x1
α
µ
Das dargestellte System besteht aus zwei Körpern (m1, m4), zwei homogenen Walzen (m2, R2,
m3, R3) und zwei masselosen dehnstarren Seilen. Zwischen Masse m1 und schiefer Ebene wirkt
der Haft–und Gleitreibungskoeffizient µ = µH = µG.
g
a) Bestimmen Sie die Beschleunigung ¨x1 der Masse m1, wenn sich die Masse m1 in positive
x1–Richtung bewegt.
b) Bestimmen Sie die Seilkraft an der Masse m1.
c) Wie groß muss µ sein, so dass das System in Ruhe bleibt? Wie groß ist in diesem Fall die
Seilkraft an der Masse m1?
Gegeben: α = 30 ◦ , µ = µG = µH, m1 = 3 m, m2 = m3 = m4 = m, R2 = R3 = R, g
Anmerkung: Verwenden Sie die angegebenen Koordinaten.
a) ¨x1 = 1
6 (1 − √ 3 µ) g
b) S1 = m g (2 + √ 3 µ)
c) µ = 1
√ 3 ≈ 0.57735 S1 = 3 m g
m2
R2
m3
ϕ2
R3
ϕ3
m4
x3
x4