PR ¨UFUNG TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik

ERGEBNISSE
PRÜFUNG TM I,II UND ETM I,II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
SS 2009 29.08.2009
1. Aufgabe: (TM I-II, TMI, ETM I-II, ETM I)
g
01
01
01
01
F
A
01
01
01
S
l
l
m1
ϕ
as
B 01
C
01
00 11
01
00 11
00 11
01
00 11
01
x
00 11
Das dargestellte massebehaftete Tragwerk besteht aus einem Bogenträger, der im Punkt B mit
einem Balken gelenkig verbunden ist.
Im Punkt A ist das Tragwerk durch die horizontale Kraft F belastet.
Bestimmen Sie
a) die Auflagerreaktionen in A und C, sowie die Gelenkreaktionen in B,
b) die Schnittgrößenfunktionen N(x), Q(x) und M(x) im Balken BC bezüglich der gegebenen
Koordinate x,
c) den Momentenverlauf M(ϕ) im Bogenträger AB bezüglich der gegebenen Koordinate ϕ.
Gegeben: F, l, m, m1 = 1
2 m, m2 = 2m
Hinweis: Der Linienschwerpunkt S eines Viertelkreisbogen ist gegeben durch aS = 2
π l.
2l
m2
l
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01

a) Auflager- und Gelenkreaktionen
Freikörperbild:
F
A
Bx = −F , A =
Cx = F , Cy = −
By
Bx
Bx
By
m1 g m2 g
2
π l
m g
π + F , By
2 − π
= m g + F ,
2 π
2 − π
2 π m g + 2m g − F , MC =
b) Schnittgrößenverläufe im Balken B-C
Bereich I: 0 < x < 2l
q0 = mg
,
l
Bx
By
N(x) = −F , Q(x) =
q0
x
2 − π
2π
c) Momentenverlauf im Bogenträger
Bereich II: 0 < ϕ < π
2
q1 =
m g
π l ,
M(ϕ) = −Fl sin ϕ +
mg
π
F
2 − 3π
π
Cy
Cx
m g l + 2F l
Q
N
M
MC
mg
2 − π x2
mg − x + F , M(x) = x − mg + Fx;
l 2π 2l
q1
A
M(ϕ)
l
+ F [1 − cosϕ] l − mg
πl lϕ
l sin ϕ
− l cos ϕ .
ϕ
ϕ

2. Aufgabe: (TM I-II, TM I)
01
01
01
01
01
1
z
A
2
F
5a
00000
11111
00000
11111
y
x
10a
6
D
00000 11111
00000 11111 00000 11111
r
.
B
45◦ 3
C
4
00000 11111 00000 11111
5
g
01
01
01
01
01
Ansicht x-y Ebene
3a 3a 3a
y
4a 6a
Eine homogene, massebehaftete Scheibe der Masse m mit konstanter Dicke ist wie dargestellt
durch 6 Stäbe in der x-y Ebene gelagert.
Hierbei befinden sich die Stäbe 1-5 in der x-z Ebene, der Stab 6 in der x-y Ebene.
Zusätzlich zur Gewichtskraft greift in der x-y Ebene die Kraft F wie dargestellt an.
Bestimmen Sie
a) den Schwerpunkt der Scheibe im gegebenen x-y-Koordinatensystem,
b) die Stabkräfte in den Stäben 1-6.
Gegeben: F, m, g, a, r = a
√ π
4a
r
9a
x

a) xs = 392a3 9
= 4
80a2 10 a ys = 330a3
= 41
80a2 8 a
b) Stabkräfte
S1 = 19 4
mg −
600 9 F , S2 = 51
100 mg, S3 = 19√2 600 mg, S4 = 11
24 mg, S5 = − 5
S6 = 0
F ,
9

3. Aufgabe: (TM I)
A
000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111
8l
B
F
Ein massefreier Träger, der aus zwei Balken und einem Gelenk besteht, ist wie skizziert auf
einer Treppe aufgestellt. Der Träger ist im Gelenk durch die vertikale Kraft F belastet. Das
System befindet sich in Ruhe.
4l
a) Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen die horizontale Auflagerkraft
in A. Zeichen Sie dazu den Polplan und die Verschiebungsfigur.
b) Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen die vertikale Auflagerkraft
in A. Zeichen Sie dazu den Polplan und die Verschiebungsfigur.
Gegeben: F, l
Anmerkung: Eine Lösung der Aufgabe mit Gleichgewichtsbedingungen wird nicht bewertet.
C
4l
8l

a) Polplan:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
000
000
111
111
000
111
000
111
0000
1111
π1,2
π1
π2
2
1
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
000000000000000000000000
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
111111111111111111111111
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
π1
8l 4l
4l
x1
x1
y1
45 ◦
45 ◦
45 ◦
90 ◦
x1 = √ 2 · 8l, y1 = 16l
Verschiebungsfigur
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
0000
0000
1111
1111
000
000
111
111
000
111
000
111
0000
0000
1111
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
Ax
δyF
F
δxA
δϕ
δϕ
x1
y1
Ax = 1
2 F

) Polplan:
000
111
00
00
00
11
11
11
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
π1,2
π1
π2
2
1
Verschiebungsfigur:
0000
0000
1111
1111
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
000
111
Ay
δyF
F
δyA
δϕ
δϕ
Ay = 1
2 F

4. Aufgabe: (TM II, ETM I)
l
q0
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
A B
x
EI
EA
l
S
C
l
l
2
D E
Ein Balken AB der Länge l und der Biegesteifigkeit EI ist wie skizziert in A gelenkig gelagert
und durch die konstante Streckenlast q0 belastet. Weiterhin ist der Balken im Punkt B mit einem
Stab S der Länge √ 2l und der Steifigkeit EA verbunden. Der Stab S stützt sich an der Stelle C
auf einen starren Balken ab. Die Lagerung des Balkens CE ist der Abbildung zu entnehmen.
Bestimmen Sie
a) die Auflagerreaktionen in A, D, E und die Stabkraft S,
b) die Schnittgrößen N(x), Q(x) und M(x) im Balken AB als Funktionen der gegebenen
Koordinate x,
c) die Biegelinie w(x) für den Balken AB.
Gegeben: q0, EI, EA, l
starr
l

a)
b)
Ax
Ay
q0
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
S = 1
√ 2 q0l, Ay = 1
2 q0l, Ax = 1
2 q0l
Dy = q0l, Ex = 1
2 q0l, Ey = − 1
2 q0l
Ax
Ay
q0
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
S
S
ξ Q(x)
x
Dy
M(x)
N(x)
Bereich 0 < x < l: N(x) = − 1
2 q0l,
1
Q(x) = q0 l − x ,
2
M(x) = 1
2 q0 x [l − x]
c) w(x) = − 1
1
EI 12 q0 l x 3 + 1
24 q0 x 4 + 1
24 q0
l x + 1 √
2q0 l
EI
Ey
Ex

5. Aufgabe: ( TM II)
EA
a a a
1
A
EI
2
starr
EI
Ein dehnstarrer Rahmen (Biegesteifigkeit EI) ist wie skizziert gelagert und wird durch eine
Kraft F belastet. Der Stab 1 besitzt die Dehnsteifigkeit EA, während der Stab 2 als starr angesehen
werden kann.
Ermitteln Sie
a) die Lagerreaktionen im Punkt A und die Stabkraft S1 des Stabes 1,
b) die Horizontalverschiebung uB des Punktes B,
c) die Stabkraft S2 des Stabes 2,
d) die Vertikalverschiebung vB des Punktes B. Skizzieren Sie hierzu den Momentenverlauf
im Rahmen und geben Sie ausgezeichnete Werte an.
Gegeben: F, EA, EI, a
F
B
a
a

a) Freikörperbild
S1
AH
AV
S1 = F , AH = F , AV = F
b) uB = Fa
EA
c) S2 = − 5√2 2 F
2 7a 1
d) vB = + Fa
6EI EA
F

6. Aufgabe: (TM II, ETM I)
y
x
2
E2, ν
1
E1, ν
δ
2h
p h
Die beiden homogenen, elastischen Scheiben (Elastizitätsmoduln E1 bzw. E2, Querkontraktionszahl
ν > 0) sind wie skizziert in eine starre Einfassung eingepasst. Die Scheibe 1 wird durch
einen Druck p belastet. Die Scheibenränder können reibunfsfrei gleiten. In beiden Scheiben liegen
ebene Spannungszustände vor. Zwischen der Scheibe 2 und der oberen Wand besteht ein
Spalt der Breite δ (δ ≪ h).
a) Ermitteln Sie den Druck p = p ∗ , für den die Scheibe 2 den Spalt gerade ausfüllt.
b) Berechnen Sie für p = 2p ∗ den Spannungszustand in den beiden Scheiben.
Gegeben: E1, E2, ν, h, δ

a) p∗ = E1 δ
ν h
b)
σ (1)
x
E1
= −2δ
h ν
σ (1)
y = − δ
h
τ (1)
xy = 0
σ (1)
x
= −δ
h
σ (2)
y = − δ
h
τ (2)
xy = 0
1
1 + 21−ν2
E1 E2
1
E1
ν
+ 21−ν2
E2
1
1 + 21−ν2
E1 E2

7. Aufgabe: (ETM II )
ϕ
000 111
000 111
m
000 111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
000 111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
r
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
M
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111 x
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111 µ
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
α
00000000000000000000000000
11111111111111111111111111
Ein Brett (Masse M) rutscht auf einer schiefen Ebene mit dem Reibkoeffizienten µ hinab. Auf
dem Brett rollt eine Walze ( Radius r, Masse m) ohne zu gleiten. Die Walze wird durch ein
parallel zur schiefen Ebene gespanntes Seil gehalten. Zu Beginn ist das System in Ruhe.
Bestimmen Sie:
a) die Freikörperbilder für die Walze und das Brett,
b) die Beschleunigung ¨x der Brettes,
c) den Reibkoeffizienten, damit das System in Ruhe bleibt,
d) die Arbeit, welche bei einer Verschiebung des Brettes um die Strecke s am System geleistet
wird,
e) die Geschwindigkeit des Brettes nach der Verschiebung um die Strecke s.
Gegeben: m; r; M; µ; α; s.
g

a) die Freikörperbilder
ϕ
b) ¨x =
α
O
mg
R2
N2
R1
S
N2
R2
Mg
N1
M · sin α − (M + m) µ cosα
M + m g
2
c) µ ≥ M
· tan α
M + m
d) Wges | 2 1 = [M sin α − µ (M + m) cosα]gs
4 [M sin α − µ (M + m)cos α]gs
e) ˙x =
m + 2M
x

8. Aufgabe: (ETM II)
Planetenradträger
Planetenrad
(Radius r)
Sonnenrad
(Radius R)
B
y
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
C
A
ω1
00000 11111
Bei einem Planetengetriebe dreht sich das Planetenrad (Radius r, Winkelgeschwindigkeit ω2)
um das Sonnenrad (Radius R, Winkelgeschwindigkeit ω1). Der Planetenradträger dreht sich mit
der Winkelgeschwindigkeit ω3.
Bestimmen Sie für die skizzierte Lage:
a) den Geschwindigkeitsvektor in B,
b) den Geschwindigkeitsvektor in C (Kontaktpunkt zwischen Sonnen- und Planetenrad),
c) die Winkelgeschwindigkeit ω2,
Für den Sonderfall ω1 = −ω3 :
d) den Ortsvektor zum Momentanpol des Planetenrades,
e) den Geschwindigkeitsvektor in D.
Gegeben: ω1; ω3; r; R.
ω3
ω2
D
x

a) vB = − (R + r) ω3 ex
b) vC = −R ω1 ex
c) ω2 = 1
r [(R + r) ω3 − Rω1]
Sonderfall: ω1 = −ω3:
2R + r
ω2 = ω3
r
⎡
⎤
0
d) rMP = ⎣ 2R ⎦
(R + r)
2R + r
e) vD = − (R + r)ω3 ex + (2R + r) ω3 ey

9. Aufgabe: (ETM II)
m
v0 S
0000 1111
0000 1111
0000 1111 r
0000 1111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000 1111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
µ0
Ein Wagen (Masse m) stößt zentrisch mit der Geschwindigkeit v0 gegen eine ruhende Kugel
(Masse M, Radius r). Die Stoßzahl e beträgt 0,5. Zwischen der Walze und der Unterlage wirkt
der Reibkoeffizient µ0. Für x > ˆs rollt die Kugel ohne zu gleiten.
Ermitteln Sie
a) die Geschwindigkeit des Wagens unmittelbar nach dem Stoß,
b) die Schwerpunktsgeschwindigkeit der Kugel unmittelbar nach dem Stoß,
c) die Schwerpunktsbeschleunigung ¨x und die Winkelbeschleunigung ¨ϕ der Kugel für
0 < x < ˆs,
d) die Zeit ˆt und die Strecke ˆs bei der Rollbedingung erstmalig erfüllt wird,
e) die Geschwindigkeit der Kugel für x > ˆs.
Gegeben: v0; e = 0, 5; µ0; M; m = M ; r. 2
Anmerkung: Die Reibkraft kann beim Stoßvorgang vernachlässigt werden.
ϕ
M
x
ˆs

m − eM
a) ¯v1 =
M + m v0 ⇒ mit M = 2m ¯v1 = 0
b) ¯v2 = 1
2 v0
c) ¨x = −µg , ¨ϕ = 2 g
µ
5 r
d) ˆt = v0
7µ g , x ˆt = 3
49
e) v ˆt = 5
14 v0
v 2 0
µ g
= ˆs