PR ¨UFUNG TM III UND TM III,IV - Lehrstuhl für Technische Mechanik

1. Aufgabe: (MV, BI)
x3
ϕ3
g
ERGEBNISSE
PRÜFUNG TM III UND TM III,IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
2R
R
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
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0000000000000000000
1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
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1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111 µ3
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111 α
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
K3
SS 2007, 20.08.2007
ϕ2
R
K2
x1 = x
m1
0000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
Das dargestellte System besteht aus einer Masse m1 und den zwei massegleichen Walzen K2
und K3 die mit einem undehnbarem Seil miteinander verbunden sind. Das Seil liegt schlupffrei
auf der homogenen Walze K2 auf und ist um den inneren Radius der Walze K3 gewickelt. Die
Masse m1 gleitet mit dem Reibungkoeffizienten µ1. Zwischen der Walze K3 und der schiefen
Ebene wirkt der Reibungskoeffizienten µ3. Das System sei zunächst in Ruhe und beginne sich
unter Einwirkung der Schwerkraft zu bewegen. Dabei wird angenommen, dass die Walze K3
rollt ohne zu gleiten.
a) Bestimmen Sie die kinematischen Zusammenhänge der Koordinaten mit x, d.h. x1(x),
x3(x), ϕ2(x) und ϕ3(x).
b) Stellen Sie die dynamischen Grundgleichungen für jedes Teilsystem auf.
c) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung des Gesamtsystems ¨x.
d) Berechnen Sie, wie groß der Haftkoeffizient µ3 mindestens sein muss, damit die Annahme
der Rollbedingung zutrifft.
Gegeben: m, R, µ1, α
m1 = m , m2 = m3 = 5
6 m Θ3 = 1
2 mR2 .
µ1

a) 1. x1 = x
2. ϕ2 = x
R
3. x3 = 2
3 x
4. ϕ3 = x
3R
b) 1. S1 = µ1mg + m¨x
2. S1R − S2R + ¨xΘ2
R
3. S2 + FH − 5
6
= 0
5¨x
mg sin α + m = 0
9
4. ¨xmR
6 + S2R − 2FHR = 0
c) ¨x = 108
199 g
5
sin α − µ1
9
d) µ3 ≥
201
199 sin α + 1176
995 µ1
cosα

2. Aufgabe: (MV, BI)
a
a
2a
a
D
➁
B
➀
A
Das dargestellte ebene System besteht aus 2 vertikalen, starren Balken (1, 2), einem horizontalen
starren Balken (3) sowie einer Translationsfeder und zwei Drehfedern mit gegebenen Federsteifigkeiten.
Die Balken 1 und 2 sind durch ein Gelenk und eine Drehfeder miteinander
verbunden. Der horizontale Balken 3 ist in Punkt D starr an Balken 2 angeschlossen. Das System
wird durch die stets vertikale konstante Streckenlast q belastet. Alle Balken sind starr und
masselos.
C
a) Skizzieren Sie das infinitesimal ausgelenkte System unter Angabe der kinematischen
Größen.
b) Stellen Sie die charakteristische Gleichung auf, aus der die kritische Last berechnet werden
kann.
c) Bestimmen Sie die kritische Streckenlast qkrit.
d) Skizzieren Sie die dazugehörige Eigenform unter Angabe der Knotenverschiebungen.
Gegeben: a , cF , cMA = cMB = a 2 cF
cF
a
➂
cMB
cMA
q

zu (a)
D
➁
B
➀
A
C
➂
ψ1
ψ2
R
ψ2 − ψ1
zu (d)
Abbildung 1: zu (a) Kinematik, zu (d) Eigenmodus der 1. Knicklast
a) Kinematik (siehe Abb. 1)
horizontale Verschiebung in Abhängigkeit von Stabdrehwinkeln ψk:
uA = 0 uB = 2aψ1 uC = 2aψ1 + aψ2 uD = 2aψ1 + 2aψ2
Knotendrehwinkel
ϕA = ψ1
b) q 2 − 2cFq + 11
ϕB = ψ2 − ψ1
16 c2 F
.
= 0
√
5
c) qkrit = 1 − cF = 0.44098cF
4
d) Eigenform (siehe Abb. 1)
ψ1 = 2 − √ 5 ψ2 = −0.2360ψ2
Knotenverschiebungen mit ψ 2 = 1
uA = 0 uB = 2[2 − √ 5]a = −0.4721a
uC = [5 − 2 √ 5]a = 0.5279a uD = [6 − 2 √ 5]a = 1.5279a
➂
D
➀
A
ψ2
B
ψ1
➁
R
ψ2

3. Aufgabe: (MV, BI)
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
1
ϕ
2 3
Drei Kugeln hängen so, dass ihre Mittelpunkte auf einer Geraden liegen und sie sich gegenseitig
fast berühren. Die Kugeln befinden sich anfangs in Ruhe, Kugel 1 ist um den Winkel ϕ aus ihrer
Ruhelage ausgelenkt.
Bestimmen Sie unter Annahme voll elastischer Stöße (e = 1)
a) die Geschwindigkeit v1 der Masse m1 unmittelbar vor dem Stoß.
b) die Massenverhältnisse m2
m1
und m3
m1
derart, dass unmittelbar nach dem Stoß die Masse
m2 ruht und die Geschwindigkeiten der Massen m1 und m3 nach dem Stoß betragsmäßig
gleich sind, also |˜v1| = |˜v3|. Bestimmen Sie hierzu jeweils Impulse und Energien der
Kugeln vor und nach dem Stoß.
˜v1
c) das Verhältnis
für die unter b) berechneten Massenverhältnisse.
v1
d) den maximalen Auslenkwinkel ψ der Masse m3 nach dem Stoß in Abhängigkeit von ϕ
für diese Massenverhältnisse.
Gegeben: g = |g|, l, ϕ, v2 = v3 = 0, ˜v2 = 0, |˜v1| = |˜v3|, e = 1.
a) v1 = 2gl [1 − cos ϕ].
b) m2
m1
c)
˜v1
v1
= m3
m1
= 1
2 .
d) ψ = arccos
= 3.
3 1
+ cos ϕ .
4 4
l
g

4. Aufgabe: (MV)
d
A
m1
l
Gegeben ist das dargestellte System bestehend aus einem starren Balken (Masse m1, Länge
l), welcher sich an der Wand über einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) abstützt, und einer
Walze (Masse m2, Radius R), die ohne zu gleiten auf der Unterlage abrollt. Die Walze und
der Balken sind unter Verwendung einer Drehfeder (Federsteifigkeit cM) gelenkig miteinander
verbunden. Die Drehfeder ist in der Ausgangslage ϕ = 0 entspannt.
a) Zeichnen Sie alle relevanten Schnittbilder und stellen Sie die dynamischen Gleichgewichtsbedingungen
auf.
b) Bestimmen Sie die resultierende Schwingungsdifferentialgleichung für die Translation
des Balkens unter Verwendung der Koordinate x.
c) Ermitteln Sie hieraus den Dämpfungsgrad D, sowie die Eigenkreisfrequenz ωd der gedämpften
Schwingung.
d) Lösen Sie die Differentialgleichung für den schwach gedämpften Fall unter Verwendung
der gegebenen Anfangsbedingungen x(t = 0) = 0 und ˙x(t = 0) = v0.
Gegeben: m1 = m, m2 = 2m, d, cM, R, l, v0, g
R
ϕ
m2
cM
x
g

a)
Fd
A
System 1:
m1¨x
A + Cy − m1 g = 0
m1 ¨x + Fd − Cx = 0
McM + A l − m1 g l
= 0
2
b) ¨x + d
4 m
cM
˙x + x = 0
4 m R2 c) Dämpfungsgrad D =
x
m1g
d 2 R 2
16 m cM
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
ωd =
d) x(t) = v0
16 cM m − d 2 R 2
ωd
64 m 2 R 2
e −δt
cos ωd t − π
2
McM
Cy
Cx
m2¨x
System 2:
Θs ¨ϕ
H
Cx
Cy
ϕ
m2g
N
McM
N − Cy − m2 g = 0
H − Cx − m2 ¨x = 0
ΘB ¨ϕ + McM + Cx R = 0

5. Aufgabe: (MV)
R
m
cM
cF
Das dargestellte System besteht aus einer homogenen Kreisscheibe (Masse M, Radius R) und
einer Punktmasse m. In die Kreisscheibe ist eine radial verlaufende Nut eingearbeitet in der
die Punktmasse reibungsfrei linear geführt wird. Die Scheibe ist im Schwerpunkt drehbar gelagert
und über eine lineare Drehfeder (Federkonstante cM) mit dem Auflager verbunden. Die
Punktmasse ist über eine lineare Feder (Federkonstante cF , Länge l im entspannten Zustand)
mit dem Auflager der Scheibe verbunden. Für ϕ = 0 und s = 0 sind die Drehfeder bzw. die
Feder entspannt.
Bestimmen Sie unter Verwendung der generalisierten Koordinaten ϕ und s:
a) die kinetische Energie T = T(ϕ, s, ˙ϕ, ˙s) des Gesamtsystems;
b) die potentielle Energie Π = Π(ϕ, s) des Gesamtsystems:
c) die Bewegungsgleichungen für große Auslenkungen mit den LAGRANGEschen Gleichungen
2. Art;
d) die Eigenkreisfrequenz ω0 der Scheibe für kleine Schwingungen um die Ruhelage ϕ = 0
für den Fall, dass die Punktmasse m an der Stelle s = 0 fest mit der Scheibe verbunden
ist.
Gegeben: M, m, R, l, cF , cM, g.
Anmerkung: Bei der Berechnung des Trägheitsmoments der Scheibe ist die Geometrie der Nut
zu vernachlässigen.
ϕ
M
l
s
g

a) T = Tm + TM = 1
2 m(˙s2 + (l + s) 2 ˙ϕ 2 ) + 1
2 ΘS M ˙ϕ 2
b) Π = ΠcM + ΠcF + ΠGm = 1
2 cM ϕ 2 + 1
2 cF s 2 − mg(l + s) cosϕ
c) m(l + s) 2 ¨ϕ + Θ S M ¨ϕ + 2m(l + s)˙s ˙ϕ + cM ϕ + mg(l + s) sinϕ = 0
m¨s + cF s − m(l + s) ˙ϕ 2 − mg cosϕ = 0
d) für cF = ∞
cM + mgl
ω0 =
ml 2 + Θ S M