PR ¨UFUNGEN TECHNISCHE MECHANIK III, III-IV - Lehrstuhl für ...

Sfrag replacements
PRÜFUNGEN TECHNISCHE MECHANIK III, III-IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, Universität Kaiserslautern
1. Aufgabe: (MV, BI)
£¡
¤¦¥
§¢¥
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
WS 01/02, 25.02.2002
¨ ©
¤©©
Das dargestellte dynamische System besteht aus zwei Massen ¤¥ und ¤ , zwei massenlosen,
nichtdehnbaren Seilen ¨ ¥ und ¨ © und einer Walze ( ¤©© ). Beide Massen gleiten auf rauhem
Untergrund mit dem Reibungskoeffizienten ¡ , während die Walze ohne zu gleiten abrollt. Das
System sei zunächst in Ruhe und beginnt sich unter Einwirkung der Schwerkraft zu bewegen.
Bestimmen Sie:
§©
a) Die Beschleunigung
der Walze und die Seilkräfte.
b) Den Weg, den die Walze nach einer Zeitspanne zurückgelegt hat.
Gegeben: ¤¥¤©©
¤ £¡
¨ ¥
¤
¢¡
§

¡
a)
¢
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¤¦¥£ © ¨
b) §© ¢
¢¤¦¥
©
¤
©

2. Aufgabe: (MV, BI)
m 1 ,Θ 1
μ G
Das dargestellte dynamische System besteht aus einer Masse £ ¤¥ ¥ und einer homogenen
¢ ¡
Walze , die über einen masselosen Balken der Länge miteinander verbunden sind. Das
£ ¤©
System befindet sich zunächst in Ruhe und bewegt sich nach dem Loslassen eine schiefe Ebene
(Neigungswinkel ) hinab. Die Walze rollt ohne zu gleiten.
Bestimmen Sie:
a) Die Geschwindigkeit ¢ © des Systems nach der Strecke §© , wenn bei der Masse ¤¥ keine
Reibung berücksichtigt wird.
b) Die ¢¤£ © Geschwindigkeit des Systems nach der § £© Strecke , wenn für die ¤¥ Masse Gleitreibung
angenommen wird.
c) Die ¥§¦ Winkelgeschwindigkeit des Gesamtsystems, wenn die Rolle nach der Strecke § © ¦
schlagartig starr (drehfest) mit dem Balken verbunden wird. Die Gleitreibung der Masse
ist zu berücksichtigen. Zwischen der Rolle und der Unterlage soll keine Relativbewe-
¤¦¥
gung auftreten.
Gegeben: ¤¦¥ ¤© ¤ ¥ £¡ ¡ ©¨
a) ¢ ©
¢ £ ¤© ¤¦¥¨ ¥ § © §©
¤¦¥ ¤©
©
©
¨
mit ©
2l
a
©
¤©¨
¢
x
m 2
α

¢ £ ¡ b)
c) ¥ ¦
¢
¥ ¦ ¡ §¦
¨ mit
¢
¢ £ ¤¦¥ ¤© ¥¨§© ¤¦¥ £¡ ¥ ¥¤£ § £© £
¥
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¤ ¡ ©
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£ ¤¦¥ ¤© ¥¨§© ¤¦¥ £¡ ¥ ¥¨£ § ¢ © £ ¦
,
¤¦¥ ¤©
©
©
¨
¥ ¦ ¡ wo – Winkelgeschwindigkeit vor der Blockierung

3. Aufgabe: (MV, BI)
PSfrag replacements
¡
¢
Ein starrer, rotationssymmetrischer Körper (Gewichtskraft £ ) bestehe aus einer homogenen
Halbkugel (Radius ) und einem aufgesetzten Kegel (Höhe ) des gleichen Materials.
a) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunktes des Körpers in Bezug auf den eingezeichneten
Koordinatenursprung ¢
.
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Gesamtpotentials, dass die dargestellte Lage ( ¡ ¥¤ ) ein Gleichgewichtszustand
ist, der nicht vom Verhältnis Radius zur Höhe abhängt.
c) Wie groß ist die Höhe zu wählen, damit die dargestellte Gleichgewichtslage ( ¦¤ )
indifferent ist?
d) Wie verhält sich der Körper, nachdem er aus einer infinitesimal ausgelenkten Lage
) seiner freien Bewegung überlassen wird
©¤
(¦¨§
(i) für (ii) für ©
(iii) für
wobei der in Aufgabenteil c) ermittelten Höhe entspricht.
Gegeben: , £
Hinweis: Bezüglich des Koordinatenursprungs ¢
liegt der Teilschwerpunkt der Halbkugel bei
und der des Kegels bei ¡
¥
. Das Volumen einer Kugel entspricht ¡
und
das eines Kegels ergibt sich aus dem Produkt von ¥
mit seiner Grundfläche.
a) ¡
©
©
b) £ ¡ ¥¨§© ¤ ¡ für ¡ ¤

c) ¡
d) (i) für
pendelt in die
¡ ¤
Gleichgewichtslage
(ii) für
verharrt im ausgelenkten Zustand
(iii) ©
für
kippt um
wobei der in Aufgabenteil c) ermittelten Höhe entspricht.

4. Aufgabe: (MV, BI)
PSfrag replacements
¤¦¥
¢ ¥¡
£
¥ ¤¥¤
Ein Massepunkt ¤¥ trifft mit ¢ ¥¡ einer Geschwindigkeit unter ¤ ¤ einem Winkel
£
im
Punkt
auf die starre Kreisscheibe (Radius , Masse ¤ © , Schwerpunkt ¨ ), die eine glatte Oberfläche
besitzt. Die Kreisscheibe befindet sich vor dem Stoss in Ruhe. Der Stoss erfolgt rein elastisch.
Bestimmen Sie:
¦ ¢ ¥¡§ ¦
¤¥ ©¨§ ¢ a) Den Geschwindigkeitsvektor des Massenpunktes , den Geschwindigkeitsvektor
der Kreisscheibe im Punkt £ ©¨§ ¥ und deren Winkelgeschwindigkeit kurz nach dem Stoss.
b) Die Stosskräfte im Punkt £ und im Auflager ¢
Gegeben: ¤¥¤ ¤¦¥¤©
¢ ¥¡
Hinweis: Der Einfluß der Schwerkraft ist zu vernachlässigen.
a) ¢ ¥¡§© ¤
¢ ¥¡§
¢ ©¨§
¥ ©¨§
¢ ©¨§©
¢ ¤© ¤¦¥
¢ ¤© ¢ ¥¡
¤¦¥
¤¦¥ ¢
¢ ¤© ¢ ¥¡
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¤¦¥ ¢ ¤©
£
¢ ¥¡
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£ ¤¦¥ ¢ ¤© ¢ ¥¡
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.
¢

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¤¦¥ ¤©
¢ ¤© ¢ ¥¡
¤¦¥
¤¦¥ ¤© ¢
¢ ¤© ¢ ¥¡
¤¦¥
¤¦¥ ¤© ¢
£ ¤¦¥ ¢ ¤© ¢ ¥¡

5. Aufgabe: (MV, BI)
PSfrag replacements
¡£¢
¢
§
¥ ¥¤
An einem masselosen Rahmen, der im Punkt ¢ drehbar gelagert ist, befindet sich am freien Ende
eine Punktmasse ¤ . Im Auflager ¢ wirkt ein konstantes Reibmoment ¡¨¢
. Zum Zeitpunkt
¥ ¦¤ beträgt die Auslenkung des Rahmens aus der horizontalen Lage ¡ und die Winkelge-
schwindigkeit ¥ ¡ ¥¤ .
Bestimmen Sie:
a) die
Winkelbeschleunigung
nen in Abhängigkeit der Auslenkung ;
b) im Schenkel £
tes ¡ §
als Funktionen der Auslenkung
£
Gegeben: ¡ , ¤ ,
a)
¢ ©
©
¦
¢ ¡
¢ ¤
¢
¦
2
, die Winkelgeschwindigkeit ©
¡
¤
1
¦
, sowie die Auflagerreaktio-
den Verlauf der Normalkraft £ § , der Querkraft £ § und des Momen-
¡
,
¡¢
¥
¢
¥¨§©
¡
¡¢
¢ ¡
b) £ §
£ §
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£ § ¡¢
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¡ ¦ ¢
¡ ¦ ¢
¢ ¥¨§© ¡
¦
§
¡

6. Aufgabe: (MV)
PSfrag replacements
¢ ¥
¤¦¥
Ein schwingungsfähiges System besteht aus einem homogenen Stab (Länge ¡
, Masse ¤ ¥ ) und
einem masselosen Stab der Länge ¡ , am freien Ende dessen eine Punktmasse ¤© befestigt ist.
Beide Stäbe können sich um ihre Achsen ¢ ¢ © und reibungslos drehen. Die freien ¥ Enden
von beiden Stäben sind durch eine Feder der Steifigkeit ¡ miteinander gekoppelt. Der Abstand
zwischen den beiden Achsen entspricht der Länge der entspannten Feder. Das statische Gleichgewicht
wird durch die Auslenkung eines Pendels gestört.
Bestimmen Sie:
a) Die potentielle Energie des Systems.
b) Die kinetische Energie des Systems.
c) Die Lagrangesche Funktion des Systems.
d) Die Bewegungsgleichungen des Systems.
e) Die linearisierten Bewegungsgleichungen des Systems.
f) Die charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Eigenfrequenzen des Systems.
Gegeben:
¡ , ¤¥ ¢ ¤ , ¤© ¤ , ¡
Anmerkung: Für die Federverlängerung ist nur der horizontale Anteil zu berücksichtigen.
a)
b) ¥
¡ ¡ ©
¤¦¥ ¡ ©
¥ § ©£¢ ¥ § ©
©
£
¢
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©
©
¡ ©
¤©
¢
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¤ ¡ £¦¥ ¥¤¢
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c)
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¡ e)
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f) ¢ ¤
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£ ¡ ¡ ¤ ¤ ¡
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£ ¡ ¡ ¤
©
£ ¡ ¡
©
¤ ¡ £ ¥ ¥ ¢
¥¤

7. Aufgabe: (MV)
Bezüglich der orthonormalen Basisvektoren ¢¡ ¥ ¡ ©¤£ im Euklidischen Vektorraum IE © sind die
kontravarianten Basisvektoren
¥
©
¢ ¡ ¥ ¡ ©
¥ ¡ © ¡
sowie der zweistufige Tensor
gegeben.
¥ ¢ §¦
Bestimmen Sie:
©¨ ¦ mit
¢ ¢ §¦ £
¢
¦
¢ ¦
a) Die kovarianten Basisvektoren .
b) Die ko- und Koeffizienten
und von
kontravarianten
c) Die Koeffizienten ¢ ¦ ¢
und
gilt.
d) Die Spur sowie die Determinante von ¥ .
¥ ¦
¡ ¥ ¦
¡ ©
a)
© ¦ ¡ ¥
¢
¡ ©
b) ¥ ¢ ¥
c)
©
§¦
¦
¦ ¢ ¢
£ ¢ ¢
d) tr ¥
¢
¢
¥
¦ ¥
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¦
©
¦
¦
§¦ des Tensors ¥ , so dass ¥ ¢ ¦
det ¥
¦ £ ¦ ¦ ¢ ¢
¥
det ¢ ¦ ¢
¨ ¦ und ¥ ¢
¥ ¥ .
§¦ ¨ ¦