TM III UND TM III,IV - Lehrstuhl für Technische Mechanik ...

ERGEBNISSE
TM III UND TM III,IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, Universität Kaiserslautern
1. Aufgabe: (MV, BI)
x1
I
B
m1
r
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
SS 2002, 02.09.2002
m2
x2
µG
Das dargestellte dynamische System besteht aus den Massen m1 und m2, der Punktmasse m4,
zwei masselosen, undehnbaren Seilen I und II, sowie der homogenen Walze der Masse m3.
Die Punktmasse m4 ist über einen starren, masselosen Stab fest mit der Walze verbunden. Die
Masse m2 gleitet auf einem rauhem Untergrund mit dem Reibkoeffizienten µG. Die beiden
Rollen zur Führung des Seiles I seien masselos.
Das System sei zunächst in Ruhe und beginne sich unter Schwerkrafteinfluß zu bewegen.
Bestimmen Sie:
a) die Winkelbeschleunigung ¨ϕ in Abhängigkeit des Winkels 0 ≤ ϕ ≤ π
2 ;
b) den Winkel ˆϕ, bei dem das System momentan nicht beschleunigt wird.
Gegeben: m1, m2, m3, m4, R, r, µG, g
−
a) ¨ϕ =
1
2 m1
− µGm2 + 2m4 cos ϕ g
1
4 m1 + m2 + 1
2 m3
+ 4m4 R
⎛
1
⎜
b) ϕ = arccos ⎝
2 m1
⎞
+ µGm2⎟
⎠
2m4
= k(ϕ)
II
A
m3
R
01
01
01
01
01
R
g
m4
ϕ

2. Aufgabe: (MV, BI)
m1
c
S1
x1
ϕ
x2
m2
Das dargestellte System besteht aus zwei Massen m1 und m3, zwei massenlosen, nichtdehnbaren
Seilen S1 und S2, einer homogenen Walze (m2, R) und einer Feder mit der Steifigkeit
c. Die Feder ist nicht vorgespannt. Die Masse m3 gleitet auf dem rauhen Untergrund mit dem
Reibungskoeffizienten µG. Die Walze rollt ohne zu gleiten.
Das System sei zunächst in Ruhe und beginnt sich unter Einwirkung der Schwerkraft in positive
x1-Richtung zu bewegen.
Bestimmen Sie:
R
a) die an der Feder verrichtete Arbeit, wenn sich die Masse m1 um x1 absenkt und die dabei
vom System geleistete Reibarbeit.
b) die Geschwindigkeit der Masse m1 in Abhängigkeit der Koordinate x1.
Gegeben: c, m1, m2, R, m3, µG, g, α
a)
b)
A F ab = −Π F b = − 1
2 cx2 1
−Dab = A d ab = − 1
2 m3gµ cosα x1
v1(x1) =
µG
S2
m3
α
g
x3
(an der Feder verichtete Arbeit)
(vom System geleistete Reibarbeit)
m1g x1 − 1/2 m3g[µ cosα + sin α]x1 − 1/2 cx 2 1
1/2 m1 + 3/4 m2 + 1/8 m3

3. Aufgabe: (MV, BI)
F
∆θ
1
l2
2
Das dargestellte ebene System sei entweder durch die Kraft F (Lastfall A) belastet oder der
Temperaturerwärmung ∆θ (Lastfall B) ausgesetzt. Der abgebildete isotherme Ausgangszustand
ist spannungsfrei.
a) Bestimmen Sie für Lastfall A (F > 0, ∆θ = 0) mit Hilfe geeigneter Euler–Fälle
1) eine obere Schranke für die kritische Last (Fo ≥ Fk),
2) eine untere Schranke für die kritische Last (Fu ≤ Fk).
b) Bestimmen Sie für Lastfall B (F = 0, ∆θ > 0)
1) ein geeignetes Ersatzsystem,
2) den Grenzwert der maximalen Temperaturerwärmung ∆θ, so dass die Normalkraft
des Körpers 1 unterhalb der entsprechenden Euler–Knicklast bleibt.
Gegeben: E1 = E2 = E, α1 = α, A1, I1, I2, l1, l2
l1

a1)
a2)
b1)
∆θ
F
F
A1 → ∞
A1 → 0
cF
3.EF. =⇒ Fo = π2EI2 √ 2 = 2π
2l2
2EI2
l2 2
1
2
1.EF. =⇒ Fu = π2EI2 π2
2 =
[2 l2] 4
cF = 3 EI2
l 3 2
b2) Federkraft: F = cFu = 3 EI2
l 3 2
äquivalenter Euler Fall: Fk = π 2EI1
l 2 1
(2.EF.)
Stoffgesetz: ε = u
∆θk = π2 I1
αl 3 1
l 3 2
3EI2
+ l1
A1
l1
= σ
E
u
+ α∆θ
EI2
l 2 2

4. Aufgabe: (MV, BI)
R
R
m1
1
2 R
R R
C
A
Ein im Punkt A gelagerter Stab mit der Masse m1 wird durch die Erdbeschleunigung g in
Bewegung gesetzt und trifft im Punkt C auf die homogene Kreisscheibe (Radius R, Masse m2,
Schwerpunkt S). Die Kreisscheibe befindet sich zunächst in Ruhe und rollt nach dem Stoss
ohne zu gleiten. Der Stoss erfolgt elastisch.
Bestimmen Sie:
a) den Geschwindigkeitsvektor v1a des Stabes im Punkt C und dessen Winkelgeschwindigkeit
ω1a kurz vor dem Stoss.
b) kurz nach dem Stoss: Den Geschwindigkeitsvektorv1b des Stabes im Punkt C und dessen
Winkelgeschwindigkeit ω1b. Den Geschwindigkeitsvektor v2b der Kreisscheibe im Punkt
C und deren Winkelgeschwindigkeit ω2b. Weiterhin die Stosskräfte im Auflager A und in
den Punkten B, C.
Gegeben: m1 = m2 = m, R, g
Hinweis: Der Einfluß der Schwerkraft ist während des Stoßvorganges zu vernachlässigen.
S
B
R
m2
g

a)
b)
ω1a = 2 g
R
v1an = Rω1a und v1at = 0
ω1b =
ΘA
ΘB
ΘA
ΘB
ΘA
ΘB
= m1
2m2
ω1b = Kω1a
− 1
v1bn = Kω1aR
v1bt = 0
ω1a mit
+ 1
und
ω2b = 1
[K − 1]ω1a
2
ΘA
ΘB
ΘA
ΘB
v2bn = − 1
[K − 1]ω1aR
2
v2bt = − 1
2
ˆF = − ΘB
R
[K − 1]ω1aR
− 1
+ 1
1
[K − 1] ω1a
2
Ân = Rm1ω1a [K − 1] − ΘB
R
Ât = 0
ˆBn = m2 − 1
[K − 1]ω1aR
2
ˆBt = m2 − 1
[K − 1]ω1aR
2
= − 1
3
= K = const. ergibt sich
1
[K − 1] ω1a
2

5. Aufgabe: (MV, BI)
g
x
m
Zwei Massen m und M sind über ein masseloses Seil und zwei masselose Umlenkrollen miteinander
verbunden. Die Abmessungen der Umlenkrollen können vernachlässigt werden. Die
Masse M gleitet reibungsfrei auf einer kreisförmige Bahn. Zur Zeit t = 0 ist das System in
Ruhe und die Masse M befindet sich in A.
Bestimmen Sie:
a) die Verschiebung x, die Geschwindigkeit ˙x und die Beschleunigung ¨x der Masse m als
Funktionen des Winkels α;
b) die Winkelgeschwindigkeit ˙α als Funktion von α aus dem Energieerhaltungsgesetz;
c) die Seilkraft für 0 < ϕ < π
2 .
Gegeben: m, M, R, g
Hinweis: Für den Hilfswinkel α gilt: α = ϕ
2
a) x = 2 R sin α
˙x = 2 R cosα · ˙α
¨x = 2 R (cosα · ¨α − sin α · ˙α 2 )
b) ˙α 2 = g
R
c) N = m g
(M cos α − m) sin α
M + m cos 2 α
1 + cosϕ · cos ϕ (M cos
− 2
2 ϕ
− m)
2
2 ϕ
M + m cos
2
1 + m ϕ
cos2
M 2
α
A
R
M
ϕ
sin(2k) = 2 sin k cosk
2 ϕ
sin
2
O

6. Aufgabe: (MV)
d
m2
m1
m0
r2
r1
0000000
1111111 0000000
1111111
Zwei homogene Kreisscheiben (Radius r1 bzw. r2, Masse m1 bzw. m2) sind fest miteinander
verbunden und reibungsfrei drehbar gelagert. An die große Scheibe sind eine Feder (Steifigkeit
c) sowie ein Dämpfer (Dämpfungskonstante d) angeschlossen. An der kleinen Scheibe
hängt eine Masse m0.
a) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz sowie den Dämpfungsgrad der Drehschwingung
des Systems.
b) Das System befinde sich im statischen Gleichgewicht. Berechnen Sie die Drehbewegung
für den Fall, dass das Seil, an dem die Masse m0 hängt, reißt.
Nehmen Sie an, dass das System schwach gedämpft ist.
Gegeben: r1, r2, m0, m1, m2, d, c, g
cr 2 2
a) ω2 =
Θ + m0 r2 1
=
2cr 2 2
m1r 2 1 + m2r 2 2 + 2m0 r 2 1
dr2
D =
2 c (Θ + m0r2 1 )
b) ϕ(t) = ϕ0e−Dωt
D
cosωdt + √
1 − D2
sin ωdt
c
g

7. Aufgabe: (MV)
g
y
l
q1
q2
Auf einer horizontalen Unterlage bewegt sich reibungsfrei ein starrer Balken 1 (Masse m1,
Länge 2 l) in dessen Mitte ein weiterer starrer Balken 2 (Masse m2, Länge 2 l) gelenkig gelagert
ist. Die Bewegungen der Balken 1 und 2 sollen durch die generalisierten Koordinaten q1 bzw.
q2 bezüglich eines inertialen Rechtssystems (x,y,z) beschrieben werden. Der Verdrehung des
Balkens 2 wirkt eine lineare Drehfeder (Federsteifigkeit c) entgegen, die bei q2 = 0 entspannt
ist (siehe Abb.).
Berechnen Sie unter Verwendung der Koordinaten q1 und q2
a) die potentielle Energie Π = Π(q1, q2) des Gesamtsystems,
b) die kinetische Energie T = T(q1, q2, q1, ˙ q2) ˙ des Gesamtsystems,
c) die Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkungen mit den LAGRANGEschen Gleichungen
2. Art und
d) die Eigenkreisfrequenz ω0 des Systems.
Gegeben: m1, m2, l, c, g
a) Π = −m2 g l cosq2 + 1
2 c q2 2
b) T = 1
2 (m1+ m2) ˙q 2 1 + m2 l ˙q1 ˙q2 cosq2 + 2
3 m2 l 2 ˙q 2 2
c) (m1+ m2) ¨q1 + m2 l ¨q2 = 0
m2 l ¨q1 + 4
3 m2 l 2 ¨q2 + (m2 g l + c)q2 = 0
g
d) ω0 = l
4
3 −
+ c
m2 l 2
1
1 + m1
m2
l
c
2
1
x