PR ¨UFUNG TM III UND TM III,IV - Lehrstuhl für Technische Mechanik

1. Aufgabe: (TM III)
ERGEBNISSE
PRÜFUNG TM III UND TM III,IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
00 11 B0
100
11 01
00 11 01
00 11 01
00 11 01
00 11 01
SS 2009, 24.08.2009
α
A
O
00000 11111
Ein Kurbelgetriebe besteht aus der Kurbel OA und der Pleuelstange AB. Die Kurbel wird mit
der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 angetrieben.
Bestimmen Sie für die skizzierte Lage
a) den Betrag und die Richtung des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors im
Punkt A,
ω0.
b) die Geschwindigkeitspole der Kurbel und der Pleuelstange,
c) die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung der Pleuelstange,
d) den Betrag und die Richtung des Geschwindigkeitsvektors im Punkt B.
Gegeben: ω0, a, b, α = 30 ◦
b
a

PSfrag
b)
00 11 B 00 11 01
01
00 1100
11 01
01
00 1100
11 01
01
vB
2
B
00 110
10
10
1
00 110
10
10
1
00 110
10
10
1
00 110
10
10
1
ωAB
1
c) ωAB, ˙ωAB
.
α
A
O
| ωAB| = a
b cos α ω0
˙ωAB = ω 2 AB
tan α
| ˙ωAB| = a2 ω 2 0
b 2 cos 2 α
P
ω0
0000 1111
0000 1111
.
tan α
˙
d) vB = −a ω0 tan α ey
O
y
A
00000 11111
00000 11111
.
vA
vA
x
ωAB = a
b cos α ω0 ez
ωAB = | ˙ωAB| ez
|vB| = −a ω0 tanα
a) den Betrag und die Richtung des
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors
im Punkt A:
vA = ω0aex
aA = −ω 2 0 aey
MP (1) = O
MP (2) = P .
|vA| = ω0 a
| aA| = ω 2 0 a

2. Aufgabe: (TM III)
Θ2
x
R
m
00 11
00 11
ϕ2
r
α
Bei einem Mechanismus wird eine Walze (r, m1) durch ein konstantes Moment M0 angetrieben.
Die Walze treibt eine Seiltrommel (r, R, Θ2) ohne Schlupf an. An der Seiltrommel hängt die
Einzelmasse m.
a) Bestimmen Sie die kinematischen Beziehungen zwischen den Koordinaten ϕ1, ϕ2 und x.
ϕ1
00 11
00 1101
b) Stellen Sie die kinetischen Gleichungen für die Teilsysteme auf.
c) Bestimmen Sie die Beschleunigung der Einzelmasse ¨x.
d) Welches Antriebsmoment M0 ist notwendig, damit das Systems in Ruhe bleibt ?
e) Bestimmen Sie für den Sonderfall M0 = 0 die Geschwindigkeit der Einzelmasse m,
wenn die Masse aus der Ruhelage eine Fallstrecke h durchlaufen hat. Welche Zeit T wird
hierfür benötigt ?
Gegeben: m, r, α, M0, h, sowie m1 = 2m, Θ2 = 1
4 mR2 , R = 2r
r
m1
M0
g

a) x = rϕ2, ϕ1 = 2ϕ2
b) Freikörperbilder
v
III
S
G3
x
dynamischen Gleichungen
ω2
S
Ay
00 11
00 11
II
G2
H
Ax
I : ↑: By − G1 + N sin α + H cos α= 0
→: Bx + N cos α − H sin α = 0
B : M0 − Hr =Θ1 ¨ϕ1 (1)
II : ↑: Ay − S − G2 − N sin α − H cosα= 0
→: Ax − N cosα + H sin α = 0
A : −Sr + HR =Θ2 ¨ϕ2 (2)
III : ↑: m¨x=S − G3 (3)
c) a = M0 g
−
3mr 6
d) M0 = r2 mg
R
e) v(t) = − g
t, T =
6
12 h
g
α
N
H
N
ω1
By
00 11
00 1101
I
G1
M0
Bx
g

3. Aufgabe: (TM III)
m
S
0000 1111
0000 1111 r
0000 1111
0000 1111
v0
A C
D E
01
01
00000000000000
11111111111111 0000000
1111111 01
01
00000000000000
11111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111 h0
10 1
01
01
Eine Walze (r, m) rutscht ohne zu rollen mit konstanter Geschwindigkeit v0 auf einer horizontalen
Eisfläche bis zur Stufe CD. Die Walze stößt gegen D und rollt ohne zu gleiten über die
Kante auf die Ebene DE. Im Folgenden rollt die Walze ohne zu gleiten über die Ebene DE.
Bestimmen Sie
a) die Winkelgeschwindigkeit der Walze unmittelbar nach dem Stoß mit D,
b) den Energieverlust der Walze durch den Stoß,
c) die Winkelgeschwindigkeit und die kinetische Energie der Walze auf der Ebene DE,
d) den Kraftstoß ˆ F auf die Walze.
Gegeben: m, v0, r, h

a) ¯ω =
2v(r − h)
3r 2
0000 1111 vS ¯
0000 1111
0000 1111
vS 0000 1111
0000 1111 000 111
A B C
b) der Energieverlust
∆Ek = mv 2
c) ω ∗ =
1 1
−
2 3
4v 2 (r − h) 2
9r 4
S
β ¯ω
y
ˆFy
D
0000 11110000000
1111111
ˆFx
0000000
1111111
0000000
1111111
1 − h
2
r
− 4gh
3r 2
T ∗ = 1
2ΘD (ω∗ ) 2 = 1 3
·
2 2 mr2 (ω ∗ ) 2
d) Kraftstoß ˆ F in der Walze gegen Stufe DC
ˆFx = m (v − r¯ω cosβ)
ˆFy = mr¯ω sin β
x
A B C
S
G
y
000 111
01
000 111S
.
01
01
000 111 .
0000 1111 01
000 111
01
β
¯ω 01
0000000
1111111
0000000
1111111 D
0000000
1111111
ω∗
v
h
∗ vS ¯ S

4. Aufgabe: (TM IV)
Ein homogener Balken (Länge l, Masse m) ist wie abgebildet im Punkt A gelenkig gelagert
und im Punkt B über einen viskosen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) mit einem weiteren Lager
verbunden. Zusätzlich besteht im Punkt C eine Verbindung zu einem horizontal geführten
Kolben über eine Feder (Federkonstante c). Der Kolben wird dabei einer periodischen Weganregung
u(t) = ū cos (Ωt) ausgesetzt.
Der Einfluss der Erdbeschleuningung darf vernachlässigt werden.
00000000
11111111
0000000
1111111
u(t)
c
l
2
C
l
2
B
m
ϕ
d
45 ◦
000 111 00 11
000 111 00 11
01
00 11
00 1101 01
A
0000 1111 0000 1111
a) Zeichnen Sie das Freikörperbild für den Balken AC in der ausgelenkten Lage.
b) Bestimmen Sie für die erregte Schwingung die Differentialgleichung des Winkels ϕ mit
Hilfe der kinetischen Grundgleichung. Nehmen Sie dabei kleine Auslenkungen um die
dargestellte Lage an.
c) Bestimmen Sie für den eingeschwungenen Zustand die Amplitude und die Phasenverschiebung.
Gegeben: l, m, c, d, ū, Ω

a)
b)
Fc 45 ◦
C
45 ◦
B
ϕ
Fd
45 ◦
A : ΘA ¨ϕ=−Fd · l
2 + Fc l sin(45 ◦ − ϕ)
sin(45 ◦ − ϕ) = 1 √ 2 (1 − ϕ)
ΘA = 1
m l2
3
Fd = 1
d l ˙ϕ
2
Fc = c(u − 1 √ 2 l ϕ), u(t) = ū cos(Ωt)
A
0000 1111 0000 1111
0000 1111
1
3 m l2 ¨ϕ + 1
4 d l2 ˙ϕ + 1
2 c l2 ϕ = 1
√ c l ū cos(Ωt), ω
2 2 0 = 3
2
ϕ ′′
+ 2 D ϕ ′
+ ϕ = √ 2 ū
l
ξ ′′
+ 2 D ξ ′
+ ξ = √ 2 cos(η τ)
cos(η τ), D = 3
8
d
m ω0
c
m
, ϕ = ξ ū
l
c) ˆ 1
ξ =
(1 − η2 ) 2 + 4 D2 η2 , ˆϕ = ˆ ξ ū 2 D η
, tan ϕ =
l 1 − η2

5. Aufgabe: (TM IV)
Das abgebildete System besteht aus zwei starren, homogenen Balken (Massen m1, m2, Längen
l1, l2), die über eine Feder (Federkonstante cN) gelenkig miteinander verbunden sind. Der untere
Balken ist dabei am Ende fest mit einer homogenen, quadratischen Scheibe (Masse m3,
Länge l3) verbunden und am anderen Ende über eine Drehfeder (Federsteifigkeit cT ) gelagert.
Der Einfluss der Schwerkraft darf vernachlässigt werden.
l3
m3
01
1111
01
01
010000
01
01
0000 1111
01
01
l3
D
C
l2
cN
l1
m1 00 11
00 11
00 11
000000
11111100
11
ϕ1000000
11111100
11
000000
111111
m2 00 11
00 11
000000
11111100
11
000000
11111100
11
000000
11111100
11
ϕ2000000
111111cT
000000
111111
000000
111111
a) Bestimmen Sie die kinetische und die potentielle Energie des Systems.
b) Bestimmen Sie das Differentialgleichungsystem der Schwingungen in ϕ1 und ϕ2 mit Hilfe
der Lagrange Gleichung zweiter Art. Nehmen Sie dabei kleine Auslenkungen um die
dargestellte Lage an.
c) Geben Sie die Eigenfrequenzen und die Amplitudenverhältnisse des Systems an.
d) Skizzieren Sie die Eigenformen des Systems.
Gegeben: m1 = m, m2 = 2 m, m3 = m
2 , l1 = l, l2 = 2 l, l3 = l
2 , cN, cT = 5 cN l 2
A
B

a) Kinetische Energie
T = ml2
2
1
3 · ˙ϕ2 1 + 75
16 · ˙ϕ2
2
Potentielle Energie
Π = 1
2 cN · l 2 6ϕ 2 2 − 2ϕ1ϕ 2 2 + ϕ2
1
b) ml2
3 ¨ϕ1 − cN · l 2 [ϕ2 − ϕ1] = 0
75
16 ml2 ¨ϕ2 − cN · l 2 [ϕ1 − 6ϕ2] = 0
c) ω 4 − 321
75
cN
ω1 = 1, 81
m
cN − m
3 ω2 i
· cN
m ω2 + 240
75 · c2N m
2 = 0
cN
ω2 = 0, 98
m
· A1 − cN · A2 = 0
µ1 = −0, 09 µ2 = +0, 68
d) ω = ω1
A1 = 1 ⇒ A2 = −0, 09
ω = ω2
A1 = 1 ⇒ A2 = +0, 68
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11