PR ¨UFUNG TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik

1. Aufgabe: (TM, ETM)
2a
PSfrag replacements
ERGEBNISSE
PRÜFUNG TM I,II UND ETM I,II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
a
x1
C
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
I
SS 2005 03.09.2005
2a
B
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
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£
Gegeben ist ein System aus zwei masselosen Rahmen. Die Rahmen sind in C gelenkig miteinander
verbunden. Der obere Rahmen ist in A verschieblich gelagert und durch eine konstante
Streckenlast belastet. Der untere Rahmen ist in D gelenkig und in E verschieblich gelagert.
Bestimmen Sie:
a) die Auflagerkräfte in A, D und E sowie die Gelenkkräfte in C,
b) die Funktionen der Schnittgrößen N, Q und M für die Bereiche I und II bzgl. der eingezeichneten
Koordinaten x1 und x2,
c) Ort und Größe des maximalen Biegemomentes im Bereich II.
d) Stellen Sie die Funktionen mit den Funktionswerten an den Bereichsgrenzen graphisch
dar.
Gegeben: qo, a, α = 45 ◦
¥
¥
D
¤
¤
a
x2
α
2a
II
E
£
£
q
A

a) A = 3
2 qa; Cx = 0; Cy = 1
2 qa; Dx = − 1
2 qa; Dy = qa; E = − 1
√ 2 qa
PSfrag b) replacements
0 ≤ x1 ≤ 2a √ 2a2
PSfrag replacements
0 ≤ x2 ≤ 2a
45 ◦
Cy
Cy
M
N
x1
c) x2 = 1
2 a; Mmax = 9
8 qa2
d)
PSfrag replacements
Cy
x2
qa 2
N(x)
Q(x)
M(x)
0
+
Q
§
§
−
+
q
¦
¦
x2
N
Q
M
1
2 √ 2 qa
1
2 √ 2 qa
qa 2
1
2 qa
+
qa 2
N(x1) = − 1
2 √ 2 qa
Q(x1) =
M(x1) =
N(x2) = 0
1
2 √ 2 qa
1
2 √ 2
qa x1
Q(x2) = 1
qa − qx2
2
M(x2) = qa 2 + 1
2 qax2 − 1
2 qx22 +
0
1, 125qa 2
−
0
3
2 qa

acements
2. Aufgabe: (TM, ETM)
b
b
b
c
c
2a
2a
¨©¨
¨©¨
¨©¨
Seil µ = 0
α
Gegeben ist die dargestellte Struktur mit einem Gesamtgewicht G. Die Struktur wird an einer
Wand mit µ = 0 geführt und von einem Seil gehalten.
Bestimmen Sie:
a) die Seitenlänge c der Aussparung, so dass die x-Koordinate des Schwerpunkts der gesamten
Struktur (bezüglich des dargestellten Koordinatensystems) bei x = a liegt;
b) die Seilkraft S und die Führungskraft der Wand sowie deren Angriffspunkt;
c) den oberen und unteren Grenzwinkel α, bei dem sich das System gerade noch im Gleichgewicht
befindet.
Gegeben: a, b, α und G
a) c =
b 2 − 2
3 a2
b) A = −S cos α
S = G
sin α
ya = 2a − a tanα
Die Angriffsrichtung der Seilkraft ist abhängig vom Winkelα.
Der Angriffspunkt befindet sich bei M.
c) Grenzwerte für α ergeben sich zu:
α > 0: Für α ≤ 0 kann G nicht aufgenommen werden.
α ≤ tan −1 (2) ≈ 63.4349 o : α ist durch die Struktur begrenzt (ya = 0).
x
y
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3. Aufgabe: (TM)
PSfrag replacements
a
z
g
y
x
➁
➀
➃
➂
A B C
2a 2a
Der dargestellte Träger ist mit sechs Stäben an den Punkten A, B und D aufgehängt.
Der Stab ➅ befindet sich in der x-z-Ebene. Der Träger wird zusätzlich zu seinem Eigengewicht
G = 6 a m g durch eine Kraft P belastet, die in der x-y-Ebene unter dem Winkel ϕ zur x-Achse
angreift.
a) Berechnen Sie die Stabkräfte in den Stäben ➀ - ➅.
b) Für welche Winkel ϕ ist Stab ➃ ein Zugstab?
c) Bestimmen Sie die Schnittgrößenverläufe N, Q¯y, Q¯z, M¯x, M¯y und M¯z in dem Bereich
D - C des Trägers, wobei das eingezeichnete ¯x-¯y-¯z-Koordinatensystem zu benutzen ist.
Gegeben: a, ϕ, P , m, g
a) Stabkräfte
S1 = −a mg S2 = Px − Py S3 = 6a mg
S4 = 2Py − Px S5 = a mg − Px S6 = √ 2 Px
b) ➃ ist Zugstab, wenn ϕ < 26, 6 ◦
c) Schnittgrößenverläufe
P
➅
¯y
¯x
N(¯x) = 0 Q¯y(¯x) = Px Q¯z(¯x) = mg [a − ¯x]
ϕ
45 ◦
M¯x(¯x) = 0 M¯y(¯x) = amg ¯x − 0.5 mg ¯x 2 M¯z(¯x) = Px ¯x
¯z
➄
D
2a

4. Aufgabe: (TM, ETM)
PSfrag replacements
y
Q
z
S
h
a a
Gegeben ist ein dünnwandiges Profil der Wandstärke h, welches durch die Querkraft Q belastet
wird. Die Achsen x und y gehen durch den Schwerpunkt S.
Bestimmen Sie:
a) das Flächenträgheitsmoment Iyy
b) den Schubflußverlauf t infolge Querkraft. Stellen Sie den Schubflußverlauf t graphisch
dar.
c) die maximale Schubspannung infolge Querkraft
d) den Schubmittelpunkt
Gegeben: Q, a, h
a) Iyy = 7.647ha 3 b) Schubfluß t
c) τQ,max = Q
ah 0.397
d) y A SM
= −0.598 a
PSfrag replacements
Q
a
y
S
z
0.196
a
a
a
symmetrisch
0.397
0.289 0.381

5. Aufgabe: (TM)
PSfrag replacements
l
q0
A G B
EI
EI
x1
1 1
Zwei in G gelenkig miteinander verbundene masselose Balken sind wie abgebildet in A und B
gelagert. Das System wird durch eine linear verteilte Streckenlast und ein Einzelmoment M0
belastet.
Bestimmen Sie:
a) die Auflagerreaktion in B sowie die Gelenkkräfte,
b) die Gleichungen der Biegelinie für beide Balken,
c) die Absenkung des Gelenkes.
Gegeben: q0, l, M0 = q0 l 2 , EI
a) Gx = 0 ; Gy = q0 l ; B = q0 l
b) Biegelinie für den Bereich 1:
E I w1 = q0
120 l x51 − q0 l
6 x3 11
1 +
24 q0 l 3 x1 − 3
10 q0 l 4
Biegelinie für den Bereich 2:
E I w2 = q0 l
6 x32 + q0 l2 2 x2 29
2 −
30 q0 l 3 x2
c) Absenkung des Gelenkes
wG = w1(x1 = 0) = w2(x2 = l) = − 3
10 q0 l 4
x2
M0

6. Aufgabe: (ETM, TMII)
PSfrag replacements
3 a
4 a
C
EI, EA
A B
Das dargestellte System besteht aus einem masselosen Balken (Dehnsteifigkeit EA, Biegesteifigkeit
EI), der in A und B jeweils unverschieblich gelagert ist. Das System wird in Punkt C
durch eine vertikale Kraft F belastet.
Bestimmen Sie:
a) die Auflagerreaktionen in A und B,
b) die Verschiebung des Lastangriffspunktes,
c) für den Fall EA → ∞: die Auflagerreaktionen und die Verschiebung des Lastangriffspunktes,
d) für den Fall EI → ∞: die Auflagerreaktionen und die Verschiebung des Lastangriffspunktes.
Gegeben: F, a, EI, EA
Anmerkung: Die Energieanteile aus Querkraft sind zu vernachlässigen.
a) By = 0.5 F ; Ay = 0.5 F ; Ax = −Bx =
b) uF = (0.9 F − 2.4 Ax) a
E A
c) Ax = 2
3 F ; uF = 0
+ ( 40
d) Ax = 0.375 F ; uF = 0
F
3 F − 20 Ax) a 3
E I
4 a
1.2 − 10 E A a2
3.2 − 15
E I
E A a2
E I
F

7. Aufgabe: (ETM)
PSfrag replacements
A
➀
ω1
B
α
➁
In dem skizzierten System aus den starren Stäben ➀, ➁, ➂ der Längen l1, l2, l3 wird Stab ➀
mit der Winkelgeschwindigkeit ω1 in der angegebenen Richtung gedreht. Die Muffen C und
D gleiten reibungsfrei. Bearbeiten Sie folgende Aufgaben:
a) Zeichnen Sie die Richtungen der Geschwindigkeiten vB , vC , vD ein!
b) Bestimmen Sie graphisch die Momentanpole Π1 , Π2 , Π3 der Stäbe ➀, ➁, ➂!
c) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
➂
d) Bestimmen Sie für den bei α = 30˚ , ϕ = 45˚ vorliegenden Systemzustand die Beträge
der Geschwindigkeiten vB , vC , vD!
e) Bestimmen Sie unter den Voraussetzungen von d) die Beträge der Winkelgeschwindigkeiten
ω2 , ω3 der Stäbe ➁, ➂!
Gegeben: l1 = 0, 2 m , l2 = l3 = 0, 15 m , ω1 = 1, 2 s −1
a) graphisch
b) graphisch
c) Einen.
d) vB = 0, 24 ms −1 , vC = 0, 088 ms −1 , vD = 0, 328 ms −1
e) ω2 = ω3 = 1, 96 s −1
ϕ
ϕ
C
D

8. Aufgabe: (ETM I)
r
m2, Θ
PSfrag replacements m1
x4
R
x1
µ
m3
m2, Θ
Zwei Massen m1 und m3 sowie zwei Walzen mit der Masse m2 und Trägheitsmoment Θ sind
über dehnstarre Seile miteinander verbunden. Die Masse m1 rutscht auf einer Ebene mit dem
Reibkoeffizient µ.
a) Schneiden Sie das System vollständig frei und stellen Sie die kinematischen Beziehungen
auf. Verwenden Sie die eingezeichneten Koordinaten.
b) Bestimmen Sie die Beschleunigung ¨x3, wenn sich das System in Bewegung befindet.
c) Bestimmen Sie die Seilkräfte während der Bewegung und für den Fall, dass das System
in Ruhe ist
Gegeben: m1, m2, m3
R, r = 1
R , Θ , g , µ
2
a) Masse 1: S1 − µN = m1 ¨x1, N = m1g
S1 − µm1g = m1 ¨x1
Walze links: 2S2 − S1 = 2m2 ¨x1
Walze rechts: S3 − S2 = 1
2 m2 ¨x2
S4 + m2g − S3 − S2 = m2 ¨x2
Masse 3: m3g − S4 = m3 ¨x3
R
b) ¨x3 = m3g + m2g − µm1g
7
2 m2 + m3 + m1
c) S4 = m3g
S3 = S2 = m3g + m2
2
S1 = 2S2
g
x2
x3