TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik ...

ERGEBNISSE
TM I,II UND ETM I,II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, Universität Kaiserslautern
1. Aufgabe: (TM, ETM)
PSfrag replacements
g
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
A B
SS 2003 06.09.2003
l
C
D
l
E
Der Balken A-B-C-D hat die gleichm äßig über seine L änge verteilte Masse M und ist in der dargestellten
Weise gelagert. Das Gewicht des Rahmens ist zu vernachl ässigen.
Berechnen Sie die aus dem Eigengewicht resultierenden
a) Auflagerkr äfte in den Punkten E und F,
b) Gelenkkr äfte in den Punkten C und D und
c) Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverl äufe des Balkens in den Bereichen von Punkt A
bis Punkt C und skizzieren Sie diese.
Gegeben: m, l, M = 5m
a) FV = 5 mg FH = 11
4 mg EH = 11
4 mg
b) CH = 31
8 mg DH = − 9
8 mg CV = 31
8 mg DH = − 9
8 mg.
F
l
l
l
l

c)
Bereich 1: 0 ≤ x1 ≤ l
N(x1) = 0
Q(x1) = − mg
l x1
M(x1) = − 1 mg
2 l x21 Bereich 2: 0 ≤ x2 ≤ l
N(x2) = −mg − mg
l x2
Q(x2) = 0
M(x2) = − 1
2 mgl
Bereich 3: 0 ≤ x3 ≤ l
N(x3) = −2mg − mg
l x3
Q(x3) = 11
4 mg
M(x3) = − 1 11
mgl + mg x3
2 4

2. Aufgabe: (TM, ETM)
PSfrag replacements
2a
3a
A µ0 B
µ0
a
C
Eine homogene Walze (Masse m, Radius a) wird auf einer schiefen Ebene durch einen reibungsfrei
gelenkig gelagerten homogenen Balken (Masse M, L änge 3a) gehalten. Alle Oberfl ächen sind rauh
und haben den Haftreibungskoeffizient µ0.
Bestimmen Sie:
a) die Kr äfte in den Punkten A, B und C;
b) in welchem Punkt zuerst Gleiten auftritt, wenn µ0 abnimmt;
c) wie groß µ0 mindestens sein muss, damit das System im Gleichgewicht bleibt;
d) wie groß µ0 ist, wenn M = 3m.
Gegeben: m, M, a, α = 30 ◦
3
Mg + mg
a) Ax = − 4 √
3 + 2
3
Mg + mg
RC = 4 √ ; NC =
3 + 2
3
Mg + mg
4
α
m
; Ay = 1
4 Mg ; NB = 3
4 Mg ; RB =
b) im Punkt B, weil RB = RC und NB < NC
c) µ0 ≥
3M + 4m
3M( √ 3 + 2)
d) µ0 ≥ 0, 3274
M
g
3
Mg + mg
4 √
3 + 2
;

frag replacements
3. Aufgabe: (TM)
x
G
z
a
y
F
a
C D
A B
a
Die in der Abbildung dargestellte L–f örmige Platte sei in negative z–Richtung durch ihr Eigengewicht
q = G / a 2 sowie in negative y–Richtung durch die Einzellast F belastet
a) Tragen Sie die Kr äfte in den sechs Pendelst ützen so ein, dass Zugkr äfte positive Werte annehmen.
b) Bestimmen Sie die Kr äfte in den sechs Pendelst ützen.
c) Geben Sie den Wertebereich von F in Abh ängigkeit von G an, f ür den die Pendelst ützen in C
und D durch Seile ersetzt werden k önnten.
Gegeben: a , F , q = G / a 2
a) Zugkr äfte in Auflagerrichtung positiv
b) Ax = −3/2 G
Cx = +9/2 G − F = Cz → C = +9 √ 2/2 G − √ 2 F
Dx = −3 G + F = Dz → D = −3 √ 2 G + √ 2 F
Az = −1/6 G − 1/3 F
Bz = −7/3 G + 1/3 F
By = F
c) 3 G ≤ F ≤ 4.5 G
a
a
a
a

PSfrag replacements
4. Aufgabe: (TM, ETM)
z
A B
x
L1
L
L2
l
C
G
∆Θ
s
∆ϑ(s)
Ein gelenkig gelagerter, schubstarrer Balken (L änge L, Biegesteifigkeit EIy) ist in G gelenkig mit
einem Stab (L änge l, Dehnsteifigkeit EA, Temperaturausdehnungskoeffizient α) verbunden. Der Stab
wird von einem Temperaturfeld ∆ϑ(s) mit linearem Verlauf und Maximalwert ∆Θ erw ärmt.
Berechnen Sie
a) die Auflager- und Gelenkreaktionen in A, B, C und G,
b) die Verl ängerung ∆l des Stabes.
Gegeben: L, L1, L2, l, EIy, EA, α, ∆Θ.
L2
a) Ax = 0 Az = Gz
L1
Gz = 1
2
L 2 2
3
b) ∆l = α
l ∆Θ
2
α EA ∆Θ
EA L
+ 1
EIy l
⎡
⎢
⎣1 −
L 2 2
3
1
EA
EIy
L
l
Bz = −Gz
⎤
⎥
⎦
+ 1
L
L1
Cz = Gz

5. Aufgabe: (TM)
PSfrag replacements
a
a
a
ˆy
ˆz
b c
Der dargestellte d ünnwandige Querschnitt wird in z−Richtung, rechts, am oberen Flansch mit der
Querkraft Qz belastet.
Bestimmen Sie
a) das Fl ächentr ägheitsmoment Iyy;
b) den Schubfluss t infolge Querkraft. Stellen Sie den (zh)-Verlauf, den Verlauf des statischen
Momentes Sy und den Schubflußverlauf graphisch dar und ermitteln sie die maximale Schub-
.;
spannung infolge Querkraft τ max
Q
c) den Schubmittelpunkt;
d) die Schubspannung infolge Torsion τM sowie Ort und Betrag der maximalen Schubspannung
τ max
Q+M infolge Querkraft Qy und Torsion MT .
Gegeben: Qz, h, a, b = 4 1 a, c = 3 3a a) Iyy = 217
36 a3 h
b) • Verlauf des Schubflusses t:
A : t = 0 B : t = 6 Qz 66 Qz 213
C : t = D : t =
217 a 217 a 434
• maximale Schubspannung infolge Querkraft bei D:
τ max 213 Qz
Q =
434 ah
S
h
z
Qz
y
Qz
a

PSfrag replacements
c)
PSfrag replacements
zh-Linie
a
1
2 a
−
D
C
Qz
T3
+
−
+
B
+
yM
−
A
T2
PSfrag replacements
b d
T2
T1
T1
d) Schubspannungen infolge Torsion τ max = MT
h
τ max
M
=
1460
651 aQzh
7
P
= 1460 Qz
≈ 0, 96Qz
1519 h2 h2 IT
S- / t-Verlauf
D
C
Schubmittelpunkt
yM = 559
a ≈ 2, 58a
217
3 ah3
Die maximale Schubspannung τ max
Q+M tritt auf, in der Stegmitte (D), rechts. Am Punkt D ist die
Schubspannung aus Querkraft, τQ, maximal. Die Schubspannungsverteilung aus Torsion, τM,
ist überall im Profil gleich.
τ max
Q+M =
0, 49 0, 96 Qz
+
a h h
B
A

6. Aufgabe: (TM, ETM)
PSfrag replacements
45 ◦
c
A B
l
EA2
EI, EA
F
a
ϕ
x y
Das dargestellte System aus einem Viertelkreisbogentr äger (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA)
und einem horizontalen Stab (Dehnsteifigkeit EA2) sei in der skizzierten Weise durch die Kraft F
belastet. Der Bogentr äger ist im Punkt C fest eingespannt und durch den Stab AB gegen die Wand
abgest ützt.
Bestimmen Sie
a) die Auflagerreaktionen in C und die Stabkraft X;
b) die horizontale Verschiebung des Punktes B, d.h. die L ängen änderung des Stabes;
c) die horizontale Verschiebung des Punktes B, wenn kein Stab vorhanden ist.
Hinweis: Energieanteile aus Querkraft sind zu vernachl ässigen.
2 1 1
sin xdx = x − sin 2x
2 4
Gegeben: F, l, a, EI, EA, EA2
a) Cx = F − X, Cz = 0, MC = a(F − X)
1
X =
1 + 4l
EA2 EA2
+
EA EI a2
F
πa
b) ∆l = Xl
EA2
lF
=
EA2 + 4l
1 a2
+ πa
EA EI
c) EA2 → 0 ∆l = πa
1 a2
+ F
4 EA EI
z
C

7. Aufgabe: (ETM)
PSfrag replacements
y
A
x2
x1
ω
m1, r
Auf einem horizontal verschieblich gelagerten Brett (Masse m2) befindet sich eine homogene Walze
(Masse m1, Raduis r). Zum Zeitpunkt t = 0 sind beide K örper in Ruhe.
Die Walze dreht sich f ür t > 0 mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Zwischen Walze und Brett
findet reines Rollen statt.
Bestimmen Sie:
a) den Gesamtimpuls des Systems f ür t > 0;
b) die Geschwindigkeiten der Walze v1 und des Bretts v2 in Abh ängigkeit von ω;
c) die Geschwindigkeiten von Walze und Brett f ür die Sonderf älle m2 → ∞ und m2 → 0;
d) die kinetische Energie des Gesamtsystems f ür t > 0;
e) den Drehimpuls des Gesamtsystems bez üglich des raumfesten Punktes A f ür t > 0.
Gegeben: m1, m2, r, ω
a) m1v1 + m2v2 = 0
b) v1 =
m2
m1 + m2
rω = (1 −
m1
m1 + m2
)rω, v2 = − m1
m1 + m2
c) m2 → ∞ =⇒ v1 = rω, v2 = 0; m2 → 0 =⇒ v1 = 0, v2 = −rω.
d) T = 1
2
e) L(A) =
m1m2
+ m1
m1 + m2
1
2 −
m2
m1 + m2
r 2 ω 2 .
m1r 2 ω.
rω.
m2

8. Aufgabe: (ETM)
PSfrag replacements
α
x1
m1
µ
Das dargestellte System besteht aus einer Masse m1, einer im Punkt A gelagerten homogenen Walze
(m2, R2) und einer zweiten homogenen Walze (m3, R3). Die Masse m1 gleitet auf einer schiefen
Ebene (Winkel α) mit dem Reibkoeffizient µ und ist mittels eines dehnstarren Seils, das im Punkt B
befestigt ist, mit den beiden Walzen verbunden. Das System sei zun ächst in Ruhe und beginne sich
unter Einwirkung der Schwerkraft g zu bewegen. Die Massen m1, m2, m3, der Winkel alpha und der
Reibkoeffizient µ seien so gew ählt, daß sich das System in positive x1-Richtung bewegt. Haft- und
Gleitreibungskoeffizient seien hierbei gleich µ = µH = µG.
Bestimmen Sie:
a) die potentielle Energie des Systems in Abh ängigkeit von x3.
b) die vom System geleistete Reibarbeit in Abh ängigkeit von x3.
c) die kinetische Energie des Systems in Abh ängigkeit von x3.
d) die Geschwindigkeit v3 der Walze (m3, R3) in Abh ängigkeit von x3.
Gegeben: α, m = 1/2 m1 = 1/4 m2 = 1/16 m3,
R = R1 = R2, µ = µH = µG, g
a) A p
ab = 2m1g sin αx3 − m3gx3
b) A d ab = 2µm1g cos α x3
c) Tb − Ta = 1
2 m1v 2 1
1 +
2 Θ2ω 2 1
2 +
2 Θ3ω 2 1
3 +
2 m3v 2 3
d) v3 =
mit Θ2 = 1
2 m2R 2 2 = 2mR 2
1
5 gx3(4 − sin α − µ cos α)
A
R2
m2
x3
Θ3 = 1
2 m3R 2 3 = 8mR 2
R3
m3
B
g