ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV - Lehrstuhl für ...

ERGEBNISSE
TECHNISCHE MECHANIK III-IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
1. Aufgabe: (TM III: MV, BI)
y
x
A
B
SS 11, 02.08.2011
C D
Ein Kinderfahrzeug wird durch die Vertikalbewegung der geführten Stange AB angetrieben.
Diese ist mit dem momentan horizontalen Balken BCD verbunden, welcher über die Koppel
DE, die Kurbel EO und somit die Hinterräder mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0
antreibt.
a) Skizzieren Sie in der Aufgabenstellung für die dargestellte Lage die Geschwindigkeitsvektoren
in den Punkten A und E. Markieren Sie zusätzlich den Momentanpol der Koppel
DE auf einem der Hilfsgitterpunkte. Lösungen die nicht auf einem Hilfsgitterpunkt
liegen, werden nicht gewertet.
Berechnen Sie für die dargestellte Lage:
b) die GeschwindigkeitvE und die BeschleunigungaE des Punktes E;
c) die Geschwindigkeit vD des Punktes D sowie die Winkelgeschwindigkeiten ωDE der
KoppelDE undωBCD des Balkens BCD;
d) die Winkelbeschleunigung ˙ ωDE der KoppelDE.
Gegeben: r, ω0.
ω0
O
r
E
r

a) Geschwindigkeitsvektoren in A undE skizzieren,
Momentanpol der KoppelDE einzeichnen
y
z
⎛ ⎞
0
b) vE = ⎝ω0r
⎠
0
⎛
−ω
aE = ⎝
2 0r ⎞
0 ⎠
0
c) ωBCD = 3
10 ω0
ωDE = ω0
x
10
vD = ω0r
⎛ ⎞
−3
⎝ 9 ⎠
10
0
d) ˙ωDE = − 21
100 ˙ω2 0
Π1
A
B C D
ω0
O
r
E

2. Aufgabe: (TM III: MV, BI)
x
000 111
000 111
µ
m g
000 111
000 111 M
0000000000000000
1111111111111111
r
000 111 00000000
11111111
r m
0000000000000000
1111111111111111
000 111 00000000
11111111
0000000000000000
1111111111111111
000 111 α 00000000
11111111
0000000000000000
1111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
Ein dünnwandiger Hohlzylinder und ein Vollzylinder (Masse jeweils m, Radius jeweils r) liegen
wie skizziert auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und befinden sich anfangs in
Ruhe. Der Reibungskoeffizient an der Berührstelle der beiden Zylinder beträgt µ und am unteren
Zylinder greift wie abgebildet ein Moment M an. Ab einem bestimmten Wert M0 des
Moments setzen sich die Zylinder in Bewegung und rollen die schiefe Ebene hinauf.
a) Ermitteln Sie die Beschleunigung ¨x des Vollzylinders.
b) Bei welchem Wert M = M0 setzen sich die Zylinder in Bewegung?
Gegeben: m, r, g, α, µ, M.

a) ¨x = 2(1−µ) 4gsinα
M −
mr(7+µ) (7+µ)
b) M0 = 2mgsinα
1−µ

3. Aufgabe: (TM III: MV, BI)
C
m2
B
l l
4
An einem inAgelenkig gelagerten masselosen horizontalen Stab ist die Punktmassem1
befestigt. Durch die Drehbewegung des Stabes um den Punkt A stößt (Stoßzahl e) die Punktmasse
m1 gegen einen horizontalen Balken BC der Masse m2, welcher in Punkt B gelenkig
gelagert ist und im Punkt C auf einer Ebene aufliegt. Die Anfangsgeschwindigkeit der Punktmasse
istv0.
Bestimmen Sie:
A
a) die Geschwindigkeit der Punktmassem1 unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Stoß,
sowie die Winkelgeschwindigkeit des Stabes BC unmittelbar nach dem Stoß,
b) den Energieverlust∆E während des Stoßes,
c) die Winkelgeschwindigkeit des Stabes BC, in der skizzierten aufrechten Lage.
d) Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit v0 mindestens sein, damit der Stab BC die
aufrechte Lage erreicht?
Gegeben: m1 = 2m, m2 = m, l, v0 = √ gl, e = 3
, g.
4
l
m1
g
v0

a) ¯ωB = 9vA0
5l
¯vA = 3vA0
5
b) △E = mv2 A0
10
6 g
c) ¯ωB2 =
25 l
25
d) v0 = vA0 =
27 gl

4. Aufgabe: (TM IV: MV, BI)
g
13a,m
z
A
x(t)
M = 4m
10a
ϕ
13a, m
m ∗ = 2m
Die skizzierte Schaukel besteht aus zwei gleichen starren Stangen (jeweils Länge 13a, Masse
m) und einem ebenfalls starren Balken (Länge 10a, Masse M). Die Schaukel wird durch
eine Massem ∗ , die sich gemäßx(t) = ˆx sin(Ωt) auf dem Balken bewegt, angetrieben.
a) Berechnen Sie für die Schaukel ohne die Antriebsmassem ∗ :
– die SchwerpunktskoordinatezS,
– das MassenträgheitsmomentΘA bezüglich des Lagers A.
b) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung des Systems in der Koordinate ϕ. Linearisieren
Sie die Differentialgleichung um die Gleichgewichtslageϕ = 0. Es gelte ˆx ≪ h.
c) Berechnen Sie die Resonanzfrequenz Ωres des Systems.
Gegeben: a, m, M = 4m, m ∗ = 2m, g, Ω.
h

a) zS = 10a
ΘA = 722ma 2
b) 1010ma 2 +2mˆx 2 sin 2 (Ωt) ¨ϕ+84mgasinϕ = −2mgˆxsin(Ωt)cosϕ
Linearisierung:
¨ϕ+ 42 g
505a
=ω 2
42 g
c) Ωres = ω =
505a
ϕ = − 1
505
gˆx
sin(Ωt)
a2

5. Aufgabe: (TM IV: MV, BI)
y
x
y ′
Der skizzierte Wagen fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit auf ebener Strecke. Als
der Fahrer bemerkt, dass ein loses Gepäckstück (Masse m) die Windschutzscheibe hinunter
rutscht, bremst er den Wagen mit konstanter Verzögerungaab.
m
x ′
Wie groß darfahöchstens sein, damit das Gepäckstück nicht von der Windschutzscheibe
abhebt?
Gegeben: m, g, α.
α
g

a ≤ g
tanα

6. Aufgabe: (TM IV: MV, BI)
x1
M, R M, R
c
00 11
00 11
x2
Zwei homogene Walzen (M, R) sind durch eine Feder c miteinander verbunden. Im Schwerpunkt
der zweiten Walze ist ein mathematisches Pendel (m, l) angebracht. Die Walzen rollen
ohne zu gleiten.
Bestimmen Sie:
a) die kinetische und die potentielle Energie des Systems in Abhängigkeit der gegebenen
Koordinatenx1, x2 undϕ;
b) die Lagrange FunktionL;
c) das Differentialgleichungsystem mit Hilfe der Lagrange Gleichungen zweiter Art;
d) das linearisierte Differentialgleichungsystem für kleine Winkelausschlägeϕ;
e) die Eigenfrequenz des Systems fürm = 0.
Gegeben: m, M, l, R, c, g.
00 11
00 11
ϕ
l
m
g

a) Kinetische Energie
T = 3
4 M ˙x 2 1 + ˙x2 2
+ 1
2 m ˙x 2 2 +2 ˙x2 ˙ϕlcosϕ+ ˙ϕ 2 l 2
Potentiale Energie
Π = 1
2 c (x2 −x1) 2 +mgl(1−cosϕ)
b) L = 3
4 M ˙x 2 1 + ˙x2 1
2 +
2 m ˙x 2 2 +2 ˙x2 ˙ϕlcosϕ+ ˙ϕ 2 l 2 − 1
2 c (x2 −x1) 2 −mgl(1−cosϕ)
c) Bewegungsgleichungen
3
2 M¨x1 −c (x2 −x1) = 0
3
M +m ¨x2 +ml ¨ϕcosϕ−ml ˙ϕ
2 2sinϕ+c (x2 −x1) = 0
ml ¨x2cosϕ−ml ˙x2 ˙ϕsinϕ+m ¨ϕl 2 +mglsinϕ+m ˙x2 ˙ϕlsinϕ = 0
d) Linearisierung
3
2 M¨x1 −c (x2 −x1) = 0
3
M +m ¨x2 +ml ¨ϕ+c (x2 −x1) = 0
2
m¨x2 +ml ¨ϕ+mgϕ = 0
e) ω =
4
3
c
M