Grundbegriffe der Geometrie
Grundbegriffe der Geometrie
Grundbegriffe der Geometrie
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<strong>Grundbegriffe</strong> <strong>der</strong> ebenen Schulgeometrie<br />
Quelle: Kratz, Zentrale Themen des <strong>Geometrie</strong>unterrichts, 1993, bsv<br />
1.) Punkte, Geraden und davon abgeleitete Begriffe:<br />
Punkte und Geraden müssen als vorgegeben“ betrachtet werden. Sie werden nur durch ihre<br />
”<br />
wechselseitigen Beziehungen implizit festgelegt.<br />
Z.B.: Durch 2 verschiedene Punkte A, B gibt es genau eine Gerade AB, 2 Geraden schneiden<br />
sich in höchstens einem Punkt, etc.<br />
Strecken: Für die Punkte je<strong>der</strong> Geraden werden 2 totale und strenge Ordnungen links“ und<br />
”<br />
” rechts“ als existent angenommen.<br />
[A; B] := {P ∈ AB|A links P links B o<strong>der</strong> A = P o<strong>der</strong> B = P }.<br />
Entsprechend werden halboffene und offene Strecken festgelegt.<br />
Halbgeraden: [AB[:= {P ∈ AB|P rechts A}.<br />
2.) Winkel: Nicht orientierter Winkel: Vereinigung zweier Halbgeraden, die vom selben Punkt<br />
(Scheitel) ausgehen.<br />
Orientierter Winkel: Paar zweier Halbgeraden, die vom selben Punkt ausgehen und die man<br />
sich durch eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn verbunden denkt.<br />
Winkelfeld: Menge <strong>der</strong> Ebene, die bei Drehung des ersten Schenkels gegen den Uhrzeigersinn<br />
hin zum zweiten Schenkel überstrichen wird. Das Maß des orientierten Winkels kann dann<br />
anschaulich als Drehmaß eingeführt werden.<br />
Vorteile des orientierten Winkels:<br />
— Viele Beispiele aus dem täglichen Leben betreffen Drehwinkel<br />
— Die Volldrehung entspricht einer natürlichen Maßeinheit <strong>der</strong> Winkelmessung<br />
— Beim nichtorientierten Winkel gibt es zu wenig Differenzierungsmöglichkeiten (spitz, stumpf,<br />
. . . )<br />
— Bei Figuren gäbe es keinen Unterschied zwischen Außen- und Innenwinkeln<br />
— Bei <strong>der</strong> Betrachtung von Achsenspiegelungen sind orientierte Winkel von Vorteil<br />
— Die Winkelabtragung mit dem Zirkel geht aus <strong>der</strong> Vorstellung des Drehwinkels hervor.<br />
Bemerkung: Es gäbe natürlich noch die Möglichkeit, die Winkeldefinition des (orientierten)<br />
Winkels so zu gestalten, daß das Winkelfeld dazugehört.<br />
3.) Parallelen: Es gibt im wesentlichen 3 Definitionsmöglichkeiten:<br />
Definition nach Euklid: Zwei Geraden einer Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden.<br />
Definition nach Poseidonos von Apameia (100 v. C.): Zwei Geraden heißen parallel, wenn alle<br />
Punkte <strong>der</strong> einen Geraden von <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Geraden denselben Abstand haben.<br />
Lot-Definition: Zwei Geraden einer Ebene heißen parallel, wenn sie ein gemeinsames Lot haben.<br />
Diskussion: Die Lot-Definition hat gegenüber den beiden an<strong>der</strong>en den Vorteil:<br />
1.) <strong>der</strong> direkten Nachprüfbarkeit<br />
2.) <strong>der</strong> Verwendung auch als Zeichenanweisung<br />
3.) <strong>der</strong> einfachen Begriffsbildung<br />
Allerdings hat die Lot-Definition gewisse systematische Nachteile im Rahmen einer streng<br />
wissenschaftlichen <strong>Geometrie</strong>.
4.) Axiome: Die <strong>Geometrie</strong> ist rein mathematisch gesehen ein Gedankengebäude, das auf<br />
plausiblen, aber nicht beweisbaren Annahmen (Hypothesen, Grundsätzen), den sogenannten<br />
Axiomen aufbaut. Das berühmteste dieser Axiome ist wohl das Parallelenaxiom, welches je<br />
nach Parallelendefinition allerdings an<strong>der</strong>s ausfällt:<br />
Fassung in <strong>der</strong> E-Definition: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau eine<br />
Parallele (Nichtschneidende!) zu dieser Geraden<br />
Fassung bei Lot-Definition: Z-Winkel an Parallelen sind gleich.<br />
5.) Winkelsumme im Dreieck: Aus dem Parallelenaxiom läßt sich <strong>der</strong> Satz über die Winkelsumme<br />
im Dreieck folgern (parallele Hilfslinie durch Spitze, Z-Winkelbetrachtung). Mögliche<br />
Zugänge zu diesem wichtigen Satz in <strong>der</strong> Hauptschule sind:<br />
— Zeichnen willkürlicher Dreiecke und Ausmessen <strong>der</strong> Innenwinkel<br />
— Abreißen zweier Ecken und Anordnen beim dritten Eck zu einem insgesamt gestreckten<br />
Winkel<br />
— Umlaufen eines beliebigen Dreiecks entspricht einer Volldrehung.