Realschule 2012 - Matheverlag

Realschule 2012 

www.matheverlag.com 

. 

Mathematik 

Mathematik-Verlag

Vorwort: 

Sehr geehrte Schülerinnen und Schüler, 

mit diesem Prüfungsheft können Sie sich gezielt und systematisch auf die Realschulabschlussprüfung in 

Mathematik vorbereiten. Das Prüfungsheft enthält die Prüfungsaufgaben der letzten 12 Jahrgänge und eine 

kompakte Lösungsübersicht, mit der Sie Ihre Ergebnisse sofort überprüfen können. Die ausführlichen 

Lösungswege finden Sie auf der CD-ROM in der jeweiligen Datei. Alle Lösungen sind darin so ausführlich 

dargestellt und beschrieben, dass jeder Rechenschritt leicht nachvollzogen werden kann. Farbige 

Markierungen erleichtern zudem die Orientierung. 

Sollten Ihnen die 12 Prüfungsjahrgänge als Trainingsmaterial nicht reichen, finden Sie auf der beiliegenden CD 

weitere Übungsaufgaben zu den einzelnen Prüfungsthemen. Darüber hinaus enthält die CD wertvolle 

Rechentricks und Lösungsstrategien zu allen Prüfungsthemen, Lerntipps mit Checklisten zur 

Selbstkontrolle, einen Zeitplaner und eine kompakte Formelsammlung. 

Die Abschlussprüfung in Mathematik: 

Die Abschlussprüfung setzt sich aus einem Pflichtteil mit 8 Aufgaben und einem Wahlteil mit 4 Aufgaben 

zusammen. Von den Aufgaben des Pflichtteils müssen - wie der Name schon sagt - alle Aufgaben bearbeitet 

werden. Von den 4 Aufgaben des Wahlteils dürfen Sie sich 2 Aufgaben auswählen. Natürlich dürfen Sie auch 

mehr als 2 Wahlaufgaben bearbeiten. In die Wertung kommen dann aber nur die 2 besten Lösungen. 

Die Aufgaben des Pflichtbereichs sind zumeist weniger komplex aufgebaut. Hier sind vor allem 

Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten gefragt. Die Aufgaben des Wahlbereichs sind dagegen komplexer und 

haben einen höheren Schwierigkeitsgrad. 

Die Rechenwege müssen übersichtlich und nachvollziehbar sein. Endergebnisse sind auf mindestens eine 

Dezimale anzugeben. 

Für die gesamte Prüfung haben Sie 180 Minuten Zeit. Wie viel Sie davon für den Pflichtbereich und für den 

Wahlbereich verwenden, bleibt Ihnen überlassen. Als Hilfsmittel sind die in der Schule eingeführte 

Formelsammlung, ein nicht-programmierbarer Taschenrechner, Zeichengerät und eine Parabelschablone 

erlaubt. 

Die Themenbereiche umfassen Algebra, Trigonometrie, Stereometrie (Körperberechnung), Sachrechnen 

(Prozent- und Zinsrechnen) und seit 2008 auch Daten erfassen und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beachten 

Sie, dass das Thema „Stümpfe“ ab 2008 nicht mehr geprüft wird. Darauf brauchen Sie sich also nicht mehr 

vorzubereiten. 

Die Bewertungsskala: (Ab 2008 werden insgesamt 50 Punkte vergeben. Wenn Sie Ihre in den Prüfungen 

2008 - 2011 erreichte Punktzahl mit 0,66 multiplizieren, können Sie die Bewertungsskala auch für diese 

Jahrgänge benutzen.) 

2 

erreichte Note 

Punkte 

33,0 - 1,0 

32,5 - 1,0 

32,0 - 1,1 

31,5 - 1,2 

31,0 - 1,3 

30,5 - 1,3 

30,0 - 1,4 

29,5 - 1,5 

29,0 - 1,6 

28,5 - 1,6 

28,0 - 1,7 

27,5 - 1,8 

27,0 - 1,9 

26,5 - 1,9 

26,0 - 2,0 

25,5 - 2,1 

25,0 - 2,2 


Punkte 

24,5 - 2,2 

24,0 - 2,3 

23,5 - 2,4 

23,0 - 2,5 

22,5 - 2,5 

22,0 - 2,6 

21,5 - 2,7 

21,0 - 2,8 

20,5 - 2,8 

20,0 - 2,9 

19,5 - 3,0 

19,0 - 3,1 

18,5 - 3,1 

18,0 - 3,2 

17,5 - 3,3 

17,0 - 3,4 

16,5 - 3,5 


Punkte 

16,0 - 3,5 

15,5 - 3,6 

15,0 - 3,7 

14,5 - 3,8 

14,0 - 3,8 

13,5 - 3,9 

13,0 - 4,0 

12,5 - 4,1 

12,0 - 4,1 

11,5 - 4,2 

11,0 - 4,3 

10,5 - 4,4 

10,0 - 4,4 

9,5 - 4,5 

9,0 - 4,6 

8,5 - 4,7 

8,0 - 4,7 


Punkte 

7,5 - 4,8 

7,0 - 4,9 

6,5 - 5,0 

6,0 - 5,0 

5,5 - 5,1 

5,0 - 5,2 

4,5 - 5,3 

4,0 - 5,3 

3,5 - 5,4 

3,0 - 5,5 

2,5 - 5,6 

2,0 - 5,6 

1,5 - 5,7 

1,0 - 5,8 

0,5 - 5,9 

0,0 - 6,0

Inhalt: 

Prüfungsaufgaben 2000 ................................................................................. 4 



Prüfungsaufgaben 2003 ................................................................................ 11 









Lösungsübersicht ........................................................................................ 34 

Register .................................................................................................. 40 

CD-ROM: 

Lösungen 2000 – 2011: Übungsaufgaben zum Prüfungsstoff: 

 

 

 

Tipps und Tricks für die Prüfung: 

 

 

Lerntipps und Zeitplaner: 

 

 

 

Alle Formeln auf einen Blick: 

 

Die Dateien auf der CD-ROM haben das pdf-Format. Zum Ansehen und Ausdrucken wird der Acrobat-Reader TM 

benötigt, den man kostenlos aus dem Internet laden kann (www.adobe.com). 

3

Prüfung 2000 

Aufgabe P1: (2 Punkte) 

4 

Prüfung 2000: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 34) 

Eine quadratische Pyramide hat die Maße: 

s = 11,3 cm und γ = 52,0° 

Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. 

Aufgabe P2: (2,5 Punkte) 

Ein massiver Kegel mit dem Durchmesser 

d = 40,0 cm und der Höhe h = 15,0 cm wird durch 

einen Schnitt entlang der Höhe halbiert. Berechnen 

Sie die Oberfläche einer der Kegelhälften. 


Für die untenstehende Figur gilt: 

AB = 10,8 cm; BC = 4,5 cm und α = 54,2° 

Berechnen Sie die Länge AS . 

A 

α 

D 

. 


Vom rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: 

AC = 10,0 cm und BC = 6,0 cm 

Der Winkel ŒACD wird von w halbiert. 

Berechnen Sie die Länge von w. 

w 

A D 

B 

C 

. 

. 

S 

γ 

s 

. 

C 

B 


Lösen Sie das Gleichungssystem: 

1 

(1) 2x − y = 6 

2 

3 

(2) 3x + y = 21 

4 


Eine Parabel hat die Gleichung y = x 2 − 8x + 9. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts. 

Diese Parabel wird um 2 Einheiten nach links und um 

2,5 Einheiten nach oben verschoben. 

Geben Sie die Gleichung der verschobenen Parabel in 

der Form y = x 2 + px + q an. 


Doris zahlt drei Jahre hintereinander jeweils zum 

Anfang des Jahres einen gleichbleibenden Geldbetrag 

bei ihrer Bank ein. Der jährliche Zinssatz beträgt 

3,25 %. Zinsen werden mitverzinst. 

Nach Ablauf der drei Jahre hat sie ein Guthaben von 

5438,74 DM. 

Wie hoch war der jährlich eingezahlte Betrag ? 


Untenstehende Grafik zeigt die Prozentsätze der 

Mehrwertsteuer in einigen Ländern der Europäischen 

Union (Stand 1.1.1999). 

Zu einem Preis von 142,50 EUR kommen 28,50 EUR 

Mehrwertsteuer hinzu. 

In welchem Land ist dies der Fall ? 

Eine Ware kostet in Luxemburg einschließlich 

Mehrwertsteuer 172,50 EUR. 

Was kostet sie in Irland, wenn der Preis ohne 

Mehrwertsteuer in beiden Ländern gleich hoch ist ? 

Luxemburg 15 % 

Deutschland 16 % 

Spanien 16 % 

Portugal 17 % 

Niederlande 17,5 % 

Italien 20 % 

Frankreich 20,6 % 

Irland 21 % 

Finnland 22 %

Aufgabe W1: 

a) (4,5 Punkte) 

Prüfung 2000: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 34) 

Aus einem Kegelstumpf wurde eine Halbkugel 

herausgearbeitet. Für den Restkörper gilt: 

O = 1000 cm 2 (Oberfläche) 

d1 = 18,0 cm und d2 = 10,8 cm 

Berechnen Sie das Volumen des Restkörpers. 

b) (3,5 Punkte) 

d 2 

d 1 

Von einem quadratischen Pyramidenstumpf sind 

bekannt: 

V = 756 cm 3 ; a1 = 12,0 cm und a2 = 6,0 cm 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes ABCD. 

D 

Aufgabe W2: 

a) (5 Punkte) 

C 

a 1 

a 2 

Vom Fünfeck ABCDE sind gegeben: 

BC = 3,5 cm; DE = 6,0 cm; 

A 

EA = 2,4 cm; α = 128°; 

A = 25,2 cm 2 

Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AB 

und den Winkel δ. 

E 

. 

α 

A 

D 

δ 

B 

. 

C 

B 

Noch Aufgabe W2: 

b) (3 Punkte) 

Gegeben ist das Dreieck ABC. 

A 

30° 

D 

2e 

C 

. 

45° 

B 

Prüfung 2000 

Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass 

sich der Umfang des Teildreiecks ABD mit folgender 

Formel berechnen lässt: 

u = e (2 + 2 + 6) 

Aufgabe W3: 

a) (4 Punkte) 

Eine nach oben geöffnete Normalparabel p1 hat den 

Scheitel S(−1 | −2,5). Eine weitere Parabel p2 hat die 

Gleichung y = −x 2 + 2,5. 

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von 

p1 und p2. 

Diese Schnittpunkte liegen auf der Geraden g. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes 

der Geraden g mit der x-Achse. 

b) (4 Punkte) 

Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die 

Lösungsmenge der Gleichung: 

2 

5x + 8x + 14 x + 1 3x + 5 

= − 

2 

2x − 24x + 72 x − 6 2x − 

12 

5

Prüfung 2001 


6 


Ein Kegel und eine Halbkugel sind aus Holz gefertigt. 

Der Kegel hat die Maße: 

Grundkreisradius: r = 4,2 cm 

Körperhöhe: h = 9,5 cm 

Die Halbkugel hat die gleichgroße Oberfläche wie der 

Kegel. Berechnen Sie den Radius der Halbkugel. 


Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind 

gegeben: 

Grundkante: a = 5,8 cm 

Körperhöhe: h = 7,5 cm 

Berechnen Sie die Seitenkante s und die Höhe hs 

einer Seitenfläche. 


Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den 

Scheitelpunkt S(−3 | 2). 

Der Punkt P(−5,5 | yp) liegt auf der Parabel. 

Berechnen Sie die Länge SP . 





Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: 

x − 1 1 3 

+ = 

x + 2 x 4 

AB = 9,5 cm, α = 25,0° und AG = BG 

Wie groß ist β2 ? 

Berechnen Sie den Flächeninhalt 

des Dreiecks BCG. 

G 

C 

. 

α 

A B 

β 2 


Gegeben ist der Würfel mit der Kantenlänge a = 7,2 cm. 

Der Streckenzug PQRS hat die Länge 22,7 cm. 

Der Winkel β beträgt 37,5°. 

Berechnen Sie die Länge PQ und den Winkel α. 

P 

Q 


β 

a 

2 

a R 

Frau Huber legt einen Geldbetrag für drei Jahre bei 

der Bank an: 

Zinssatz im 1. Jahr: 2,75 % 



Zinsen werden mitverzinst. Am Ende des ersten 

Jahres werden 206,25 DM Zinsen gutgeschrieben. 

Wie viel DM Zinsen erhält Frau Huber in den drei 

Jahren insgesamt ? 

Um wie viel Prozent erhöht sich das Kapital im Laufe 

der drei Jahre ? 


In der Europäischen Union hat 1 Euro den Wert: 

40,3399 BEF (Belgische Franc) 

0,787564 IEP (Irisches Pfund) 

1,95583 DEM (Deutsche Mark) 

40,3399 LUF (Luxemburgische Franc) 

1936,27 ITL (Italienische Lira) 

166,386 ESP (Spanische Peseta) 

6,55957 FRF (Französische Franc) 

2,20371 NLG (Niederländische Gulden) 

Der Listenpreis für ein bestimmtes Automodell 

beträgt in Deutschland 48 900 DEM, in Frankreich 

162 900 FRF. 

In welchem Land ist das Auto günstiger zu haben ? 

Um wie viel Prozent liegt das günstigere Angebot 

unter dem ungünstigeren ? 

In Spanien ist das Auto gleich teuer wie in 

Frankreich. 

Wie viel spanische Peseten (ESP) kostet das Auto ? 

α 

S

Aufgabe W1: 

a) (4 Punkte) 


Der Diagonalschnitt eines quadratischen 

Pyramidenstumpfs hat die Maße: 

AABCD = 55,0 cm 2 (Flächeninhalt) ; 

AB = 9,8 cm und CD = 4,8 cm 

Berechnen Sie die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs. 

Welche Höhe hat die Ergänzungspyramide ? 

A 

D 

b) (4 Punkte) 

Ein Zylinder mit zwei aufgesetzten Kegeln hat als 

Achsenschnitt ein regelmäßiges Sechseck mit dem 

Flächeninhalt A = 6e 2 3 . 

Berechnen Sie die Oberfläche des zusammengesetzten 

Körpers in Abhängigkeit von e ohne 

Verwendung gerundeter Werte. 

Aufgabe W2: 

a) (4 Punkte) 

Vom Viereck ABCD sind gegeben: 

AB = 14,2 cm; AD = 6,9 cm; 

BC = 17,5 cm und β = 70,6° 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD 

sowie den Winkel ŒADC . 

D 

C 

. β 

A B 

C 

B 


b) (4 Punkte) 

Für das Trapez ABCD gilt: 

Prüfung 2001 

BC = 7,8 cm; CD = 7,0 cm und β = 61,2° 

DE liegt parallel zu BC und halbiert die Fläche des 

Trapezes. Berechnen Sie den Winkel α . 

D 

α 

β 

A 

E 

B 

Aufgabe W3: 

a) (4 Punkte) 

Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = x 2 + px + 6 und 

geht durch den Punkt P(3 | 6). 

Eine Parabel p2 hat die Gleichung y = −2x 2 + c und 

geht durch den Punkt Q(2 | −2). 

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der 

beiden Parabeln. 

Zeichnen Sie die Parabeln in ein Koordinatensystem. 

b) (4 Punkte) 

Eine nach oben geöffnete Normalparabel wird von 

der Geraden g in den Punkten P1(1 | 3) und P2(6 | 8) 

geschnitten. 

Eine zur Geraden g parallele Gerade h geht durch den 

Punkt B(3,5 | −0,75). 

Weisen Sie rechnerisch nach, dass B der einzige 

gemeinsame Punkt der Parabel und der Geraden h 

ist. 

C 

7

Prüfung 2002 


8 


Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt: 

s = 5,9 cm und β = 70,8° 



Von einem Kegel sind bekannt: 

M = 154 cm 2 (Mantelfläche) 

r = 5,0 cm 

Ein Zylinder mit gleicher Grundfläche hat das 

gleichgroße Volumen wie der Kegel. 

Berechnen Sie die Höhe des Zylinders. 



s 

β 

3(x − 2y) − 2(y − x) = 14 

8(x − y) − 2x = 16 


Gegeben sind eine nach oben geöffnete 

Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(0 | −2) 

1 

und eine Parabel mit der Gleichung y = 

2 

Zeichnen Sie die beiden Parabeln in ein gemeinsames 

Koordinatensystem und berechnen Sie die 

Koordinaten ihrer Schnittpunkte. 


− x 2 + 4. 

Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 6,8 cm. Auf ihm 

liegt der Streckenzug PQR mit der Länge 14,9 cm. 

Wie groß ist der Winkel ε ? 

a 

a 

4 

P 

R 

ε 

Q 

a 

4 


Das Viereck ABCD ist ein rechtwinkliges Trapez. 

Es gilt: 

AE = 2,1 cm; CE = 8,2 cm und β2 = 53,8° 

Berechnen Sie die Länge CD . 

D 

E 

A 

. 


C 

. 

Im Herbst 2001 betrug der Preis eines Autos 

38 900,00 DM. Nach einer Preiserhöhung im Frühjahr 

2002 kostet das Auto 20 505,82 EUR. 

(Umrechnung: 1 EUR = 1,95583 DM) 

Um wie viel Prozent hat sich der Preis des Autos 

erhöht ? 

Der Preis eines anderen Wagens wurde um den 

gleichen Prozentsatz erhöht und stieg damit um 

784,58 EUR. 

Wie viel Euro kostet dieser Wagen nach der 

Preiserhöhung ? 


Barbara zahlt jeweils zu Jahresanfang einen Betrag 

von 1 200,00 EUR auf einen Ratensparvertrag ein. 

Der Zinssatz beträgt 4,5 %. 

Zinsen werden mitverzinst. 

Berechnen Sie das Guthaben nach Ablauf von 

3 Jahren. 

Anschließend lässt sie dieses Guthaben ohne weitere 

Einzahlung bei gleichem Zinssatz so lange bei der 

Bank, bis es auf 4 000,00 EUR angewachsen ist. 

Nach wie vielen Tagen ist dies der Fall ? 

β 2 

B

Aufgabe W1: 

a) (4 Punkte) 

Vom Viereck ABCD sind gegeben: 

AB = 11,0 cm 

CD = 8,1 cm 

α1 = 31,0° 

γ = 126,0° 


Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AC sowie 

den Winkel ŒCAD. 

Auf AC liegt ein Punkt E; er ist von A und D gleich weit entfernt. 

Berechnen Sie die Länge von AE . 

b) (4 Punkte) 

Der Umfang des Trapezes (siehe Skizze) lässt sich mit der 

Formel u = e (9 + 3 + 6 ) berechnen. 

Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, 

dass gilt: tan ε = 3 

Aufgabe W2: 


4 

2e 

ε 

α . 

1 

A B 

120° 

Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = x 2 + 2x + 3. 

Eine nach oben geöffnete Normalparabel p2 hat den Scheitelpunkt S2(4 | −3). 

D 

Prüfung 2002 

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden g1, die durch die Scheitelpunkte beider Parabeln geht. 

Eine Gerade g2 ist parallel zu g1 und geht durch den Schnittpunkt der beiden Parabeln. 

Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g2. 

Zeichnen Sie die beiden Parabeln und die beiden Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem. 


Berechnen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung: 

2 

3x + 11x − 15 x − 2 x + 1 

= − 

2 

3x − 75 2x − 10 3x + 15 

Aufgabe W3: 

a) (4 Punkte) 

Von einem regelmäßigen sechsseitigen Pyramidenstumpf sind 

bekannt: 

a1 = 9,4 cm 

a2 = 4,8 cm 


Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen AB . 

Die Raumdiagonale AB schneidet die Höhe CD im Punkt T. 

Berechnen Sie die Länge von TC . 

A 

a 1 

a 2 

D 

C 

T 

B 

γ 

C 

45° 

9

Prüfung 2002 


b) (4 Punkte) 

Aus einem Rechteck mit den Seiten a = 20,0 cm und b = 15,0 cm 

wird ein Kreisausschnitt ausgeschnitten (siehe Skizze). 

Der Kreisausschnitt wird Mantel eines Kegels. 

Berechnen Sie das Volumen des Kegels. 

Aufgabe W4: 

a) (4 Punkte) 

Lineare und quadratische Funktionen: Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu 

und begründen Sie jeweils ihre Entscheidung. 

10 

-7 

(d) 

b) (4 Punkte) 

(a) 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 

1 2 3 4 5 

Ein Körper hat das dargestellte Netz. 

Skizzieren Sie den Körper im Schrägbild. 

y 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-1 

-2 

-3 

(c) 

Der Flächeninhalt des Netzes beträgt 125 cm 2 . 

Berechnen Sie im Körper die Länge der Strecke BS . 

8 

(b) 

x 

2a 

a 

a 

a 

a 

2a 

a 

2 

(1) y = 3x 2 − 3 

1 

(2) y = x + 5 

2 

(3) y = x2 1 − 3 

3 

(4) y = (x − 2) 2 + 3 

(5) y = (x − 3) 2 + 2 

(6) y = 3x 2 + 3 

a 

(7) y = x 2 + 8x + 13 

(8) y = x 2 − 8x + 13 

(9) y = 2x + 5 

2a a a a a 2a 

B 

S 

b



Ein Körper besteht aus einer Halbkugel und einem 

aufgesetzten Kegel mit α = 45° (siehe Achsenschnitt). 

Das Volumen der Halbkugel beträgt 204 cm 3 . 

Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. 


Ein quadratisches Prisma und eine quadratische 

Pyramide haben gleichgroße Grundflächen. 

Das Prisma hat die Höhe h = 5,0 cm und die 

Grundkante a = 3,0 cm. Das Volumen der Pyramide 

ist halb so groß wie das Volumen des Prismas. 

Berechnen Sie die Höhe der Pyramide. 


Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: 

BC = 3,3 cm; DC = 4,4 cm und γ2 = 18,1° 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ADC. 

A B 

D 


In der Figur ABCDE sind gegeben: 

BC = 7,0 cm; CD = 6,6 cm; 

DE = 5,4 cm und γ = 37,0° 

Berechnen Sie die Länge AE . 

E 

. 

D 

. 

A B 

α 

γ 2 

γ 

C 

. 

C 


Prüfung 2003 

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der 

Gleichung: 

2 

2x + x − 9 

= x + 5 

x − 1 



Scheitelpunkt S(2 | −3). 

Die Gerade g hat die Steigung m = 1 und schneidet die 

Parabel in P(4 | 1). 

Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten 

Schnittpunkts von Parabel und Gerade. 


Karl-Anton legt am Anfang eines Jahres einen 

bestimmten Geldbetrag bei der Bank an. 

Der jährlich gleichbleibende Zinssatz beträgt 3,5 %. 


Nach Ablauf des ersten Jahres hebt er 700,00 EUR ab, 

nach Ablauf des zweiten Jahres 500,00 EUR. 

Am Ende des dritten Jahres beträgt sein Sparguthaben 

3721,87 EUR. 

Berechnen Sie den ursprünglich angelegten Betrag. 


Das Diagramm zeigt die Aufteilung des 

Wasserverbrauchs eines Vier-Personen-Haushalts 

in den Jahren 1992 und 2002. 

Verbrauch 1992: 213 m 3 Verbrauch 2002: 185 m 3 

36 % 

32 % 

12 % 

10 % 

6 % 

4 % 

Um wie viel Prozent liegt der Wasserverbrauch 2002 

unter dem von 1992 ? 

Wie viel m 3 Wasser wurden im Jahr 2002 für die 

Toilettenspülung weniger verbraucht als 1992 ? 

Wie viel Liter Wasser wurden in dem Haushalt im Jahr 

2002 für das Geschirrspülen pro Tag durchschnittlich 

verbraucht ? 

43 % 

26 % 

15 % 

6 % 

6 % 

4 % 

11

Prüfung 2003 

Aufgabe W1: 

a) (4 Punkte) 

12 


Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 10,0 cm bzw. 7,0 cm 

werden wie skizziert aneinander gelegt. 

P und R sind die Mittelpunkte der Diagonalen, 

Q ist der Mittelpunkt der Strecke AB . 

Berechnen Sie die Länge des Streckenzuges APQRB und die 

Größe des Winkels ŒRQP. A 

b) (4 Punkte) 

Die Punkte A(− 4 | 0) und B(0 | yB) bilden mit dem Koordinatenursprung ein rechtwinkliges Dreieck. 

Der Punkt B ist auf der y-Achse beweglich. Der Innenwinkel des Dreiecks bei A wird mit α bezeichnet. 

Der Winkel α ist von yB abhängig. 

Tabellieren Sie diese Abhängigkeit des Winkels α für yB von 0 bis 7 Einerschritten. 

Zeichnen Sie das zugehörige Schaubild. 

Wie groß ist jeweils yB, wenn α die Werte 30° bzw. 60° annimmt ? 

Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck jeweils, wenn α die Werte 30° bzw. 60° annimmt ? 

Aufgabe W2: 

a) (4 Punkte) 

Gegeben ist ein Kegelstumpf mit: 

r1 = 8,8 cm 

h = 7,4 cm 

s = 7,8 cm 

Aus diesem Kegelstumpf wird bis zur halben Höhe 

ein weiterer Kegelstumpf herausgearbeitet 

(siehe Skizze). 

Um wie viel cm 2 vergrößert sich dadurch die 

Oberfläche des Körpers ? 

b) (4 Punkte) 

Die vier dunkel eingefärbten Teilflächen eines 

regelmäßigen Fünfecks mit der Seitenlänge a = 7,6 cm 

bilden den Mantel einer quadratischen Pyramide. 


Der Punkt M liegt auf der Mitte von CS . 

Berechnen Sie die Länge von AM im Körper. 

s 

A 

P 

S 

a 

Q 

M x 

r 1 

R 

C 

B 

h

Aufgabe W3: 


Die Normalparabel p1 hat die Gleichung y = x 2 − 4x + 6. Die Normalparabel p2 ist nach unten geöffnet 

und hat den Scheitel S2(0 | 6). Durch die Schnittpunkte beider Parabeln verläuft die Gerade g. 

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden. 

Die Gerade bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. 

Berechnen Sie die restlichen Innenwinkel und den Umfang dieses Dreiecks. 


Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung: 

Aufgabe W4: 

a) (5 Punkte) 

2 

2x + 1 x + 2 x + 2x − 1 

− = 

3x − 9 2x + 6 2 

x − 9 

Vom gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: 

AB = 5,6 cm 

AD = 7,8 cm 

γ = 64,2° 

Berechnen Sie die Länge AE . 

Welchen Abstand hat E von BC ? 

b) (3 Punkte) 

Im nebenstehenden Dreieck ABC ist M der Mittel- 

punkt von CF . 


dass gilt: 

tan ε = 2 

3 3 

Prüfung 2003 

D C 

γ 

A 

ε 

A 

E 

. 

C 

M 

60° 

F 

. 

5e 

B 

45° 

B 

13

Prüfung 2004 


Im Viereck ABCD sind gegeben: 

14 


AC = 10,7 cm; AD = 5,5 cm; 

BC = 9,6 cm und β = 48,2° 

Berechnen Sie den Winkel α1. 

Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ACD ? 

D 

. 

α 1 

C 

A B 


Das rechtwinklige Dreieck ABD und das gleichschenklige 

Dreieck ABC haben die Seite AB gemeinsam. 

Es gilt: 

AD = 3,1 cm; AC = BC = 5,9 cm und β1 = 31,7° 

Berechnen Sie den Winkel ε. 

D 

. 

A 


Lösen Sie das Geichungssystem: 

ε 

C 

β 1 

(1) x + 2(y + 2) = 12 

1 

(2) (x + 4) − 3(y − 1) = −3 

2 


Eine Parabel hat die Funktionsgleichung y = 

Zeichnen Sie das Schaubild der Parabel in ein 

Koordinatensystem. 

Die drei Schnittpunkte der Parabel mit den 

Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. 

Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. 

B 

β 

1 

− x 

4 

2 + 4. 



gegeben: a = 6,4 cm und M = 170 cm 2 (Mantelfläche) 

Berechnen Sie die Höhe hs der Seitenfläche und den 

Winkel ε. 


a 

Eine Kugel und ein Zylinder werden miteinander 

verglichen: 

− die Kugel hat das Volumen 268 cm 3 , 

− der Radius der Kugel und der Grundkreisradius 

des Zylinders sind gleich lang, 

− die Oberfläche der Kugel und die Mantelfläche 

des Zylinders sind gleich groß. 

Berechnen Sie die Differenz der beiden Rauminhalte. 


Corinna legt 4500,00 EUR zu folgenden Zinssätzen auf 

drei Jahre an: 1. Jahr: 1,50 % 

. 

h s 

2. Jahr: 2,25 % 

3. Jahr: 2,75 % 


Hans legt ebenfalls 4500,00 EUR auf drei Jahre an. 

Nach Ablauf des ersten Jahres erhält er 45,00 EUR 

Zinsen, nach Ablauf des zweiten Jahres 91,43 EUR. 


Welchen Zinssatz muss seine Bank im dritten Jahr 

gewähren, damit er nach den drei Jahren das gleiche 

Guthaben wie Corinna hat ? 


Eine Schule nutzt das untenstehende Angebot und 

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ε

Aufgabe W1: 

a) (4 Punkte) 


Ein Körper besteht aus zwei quadratischen Pyramiden mit gemeinsamer 

Grundfläche. 

Die Skizze zeigt den Diagonalschnitt des Körpers. 

Gegeben sind: 

s1 = 12,4 cm 

ε = 52,8° 

Das Volumen der unteren Pyramide ist doppelt so groß wie das der oberen. 

Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. 

b) (4 Punkte) 

Die Zeichnung stellt das Netz eines Würfels mit der Kantenlänge a dar. 

3 

Es gilt: BC = a. 

4 

Zeichnen Sie ein Schrägbild des Körpers mit dem Dreieck ABC maßgerecht 

für a = 6 cm. 

Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von 

3 

a mit der Formel berechnen lässt: A = a 2 

8 

2 

Berechnen Sie die Länge der Strecke AC im Körper in Abhängigkeit von a 

ohne Verwendung gerundeter Werte. 

Aufgabe W2: 


Die Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y = x 2 + 4x + 6. 

Verschiebt man diese Parabel um drei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten, 

entsteht die Parabel p2 mit dem Scheitelpunkt S2. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts Q der beiden Parabeln. 

Durch S2 und Q verläuft eine Gerade g. Die Gerade h verläuft parallel zur Geraden g und geht 

durch den Scheitelpunkt S1 der Parabel p1. 

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden h. 


Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung: 

2 

x + 25x + 100 2x + 3 x − 6 

= − 

2 

2x + 20x + 50 x + 5 2x + 

10 

B 

. 

C 

ε 

Prüfung 2004 

s 1 

A 

15

Prüfung 2004 

Aufgabe W3: 

a) (5 Punkte) 

Das Fünfeck ABCDE besteht aus einem Quadrat und einem rechtwinkligen 

Dreieck. Gegeben sind: 

CD = 4,1 cm und γ = 33,4° 

Berechnen Sie die Länge BD und den Flächeninhalt des Vierecks 

ABDE. 

b) (3 Punkte) 

Im Rechteck ABCD gilt: AD = 2e und β1 = 30° 

Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt der Vierecks ASED 

mit der Formel berechnen lässt: A = 11 2 

e 3 

6 

Aufgabe W4: 

a) (4 Punkte) 

16 

D 

D . 

γ 

E C 

A B 

A B 

Das Bild zeigt Parabeln und Geraden. Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu. 

Begründen Sie Ihre Entscheidungen. 

-7 

(a) 

(b) 

7 

6 

5 

4 

2 

1 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x 

b) (4 Punkte) 

y 

8 

-1 

-2 

-3 

-4 

Ein massiver Körper hat die Form eines Kegelstumpfs. 

Aus ihm wird ein Teilkörper herausgearbeitet (siehe Skizze). 

Die Maße des Kegelstumpfs sind: 

(c) 

(d) 

V = 2311 cm 3 ; r1 = 9,4 cm und r2 = 5,8 cm 

Um wie viel Prozent hat sich die Oberfläche verändert ? 

(1) y = − x2 1 + 3 

2 

(2) y = − x2 1 + 3 

4 

(3) y = (x − 4) 2 − 3 

(4) y = (x + 4) 2 − 3 

(5) y = x 2 − 2x − 1 

(6) y = − 1 x + 2 

3 

(7) y = x 2 − 4x + 5 

(8) y = − 2x − 3 

(9) y = −3x + 2 

(10) y = −2x + 3 

(11) y = −0,5x + 3 

(12) y = − 1 x + 3 

5 

. 

. 

E 

r 2 

r 1 

S 

β 1 

C



Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt: 

M = 54,9 cm 2 (Mantelfläche) 

hS = 6,1 cm (Höhe einer Seitenfläche) 



Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem 

Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Für den Kegel gilt: 

VKe = 115 cm 3 (Volumen) und hKe = 9,0 cm (Höhe) 

Die Höhe des Zylinders ist gleich lang wie die 

Mantellinie des Kegels. Berechnen Sie die Oberfläche 

des zusammengesetzten Körpers. 


Lösen Sie die Gleichung: 

. 

2(2x − 5) (3x + 4) − (2 − 3x) 2 = (x + 3) 2 + 67 


Eine Gerade g1 hat die Gleichung y = −2x − 2. 

Eine zweite Gerade g2 hat die Steigung m = 

2 

und schneidet die y-Achse im Punkt P(0 | 3). 

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der 

Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten 

Normalparabel p. 

Berechnen Sie die Gleichung der Parabel. 


Das Viereck ABCD ist ein Quadrat. 

Es gilt: AE = 8,0 cm und α1 = 57,0° 

Berechnen Sie die Länge BE . 

D E 

α 1 

A B 

C 

1 


Prüfung 2005 

Auf der Geraden AD liegen die Dreiecke ABC und BDE. 

Es gilt: AB = 5,4 cm; α = 48,0°; 

BE = 10,3 cm; δ = 74,0° 

Berechnen Sie die Länge CE . 

A 

C 

α α 


B 

δ 

Ulrike legt bei ihrer Bank einen Betrag von 8000 EUR 

für drei Jahre an. Zinsen werden mitverzinst. 

Bis zum Ende der drei Jahre wächst ihr Guthaben um 

insgesamt 8,73 % an. 

Im ersten Jahr beträgt der Zinssatz 2,0 %. Im zweiten 

Jahr werden 204,00 EUR Zinsen gutgeschrieben. 

Wie hoch ist der Zinssatz im dritten Jahr ? 


Die Mietpreise für Wohnungen in einer Großstadt und 

in einer Kleinstadt werden verglichen. 

Bei den aufgeführten Wohnungen sind die Mieten in 

der Kleinstadt stets um den gleichen Prozentsatz 

niedriger als in der Großstadt. 

750 EUR 

Großstadt Kleinstadt 

E 

4-Zimmer-Wohnung 



δ 

D 

369 EUR 

615 EUR 

Um wie viel Prozent ist die Miete für die 4-Zimmer- 

Wohnung in der Kleinstadt niedriger als in der 

Großstadt ? 

Wie hoch ist die Miete der 2-Zimmer-Wohnung in der 

Großstadt ? 

Die Miete der 1-Zimmer-Wohnung ist in der Kleinstadt 

um 54 EUR niedriger als in der Großstadt. 

Berechnen Sie beide Mietpreise. 

17

Prüfung 2005 

Aufgabe W1: 

a) (5 Punkte) 

Für die quadratische Pyramide gilt: 

18 


AB = 5,6 cm; β = 65,0°; AE = BF = 3,0 cm 

E 

β 

A B 

S 

. G 

F 

Berechnen Sie die Länge GF sowie den Flächeninhalt 

des Vierecks BCGF. 

b) (3 Punkte) 

Gegeben ist ein rechtwinkliges Trapez. 


dass gilt: tan α1 = 1 

3 

α 1 

e 

5 

Aufgabe W2: 


C 

135° 

Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = x 2 + 4x + 1. 

Durch den Scheitelpunkt der Parabel und durch den 

Punkt P(6 | 5) geht die Gerade g1. 

Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g1. 

Eine zweite nach oben geöffnete Normalparabel p2 

hat den Scheitelpunkt S2(3 | yS). 

Er liegt auf der Geraden g1. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts A 

beider Parabeln. 

Durch den Schnittpunkt A verläuft eine zu g1 

parallele Gerade g2. Die Gerade g2 schneidet die 

Parabel p2 in einem weiteren Punkt. Berechnen Sie 

dessen Koordinaten. 




2x 57x 21 2x 1 3x 1 

2 

− + − + − 

6(x − 4)(x 

+ 3) 

= − 

3x − 12 2x + 6 

e 

Aufgabe W3: 

a) (4 Punkte) 

Von einer regelmäßigen neunseitigen Pyramide sind 

bekannt: 


a = 6,4 cm (Grundkante) 


b) (4 Punkte) 

Ein Kreis wird in zwei Kreisausschnitte geteilt. Die 

Ausschnitte bilden jeweils den Mantel eines Kegels. 

Kegel 1 

K1 K2 

Für Kegel 1 gilt: V1 = 12 π e 3 ; h1 = 4e 

Kegel 2 


für den Radius von Kegel 2 gilt: r2 = 2e 

Aufgabe W4: 

a) (4 Punkte) 

Von einem quadratischen Pyramidenstumpf sind 

bekannt: a1 = 10, 8 cm; a2 = 6,2 cm; s = 7,5 cm 

A 

a 1 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 

b) (4 Punkte) 

Im Dreieck ABC liegt das Trapez ADEF. Gegeben sind: 

AF = 7,1 cm; FE = 5,0 cm; BC = 14,0 cm; α = 44,0° 

C 

A 

α 

F 

Berechen Sie den Flächeninhalt des Trapezes ADEF. 

a 2 

D 

C 

E 

s 

. 

B 

B



Im Quadrat ABCD liegt der Streckenzug AEF. 

Es gilt: AE = 5,6 cm; EF = 4,7 cm und ϕ = 57,0° 

Berechnen Sie die Länge einer Quadratseite. 

D 

A 

F 

ϕ 


Die Figur besteht aus den Dreiecken ABC und DFC. 

Bekannt sind: 

AB = 4,0 cm; BC = 7,4 cm und AE = 2,7 cm; 

AC ist die Winkelhalbierende von γ. 

Berechnen Sie die Länge DF . 

D 

. 

E 

. 

A B 


E 

C 

. 

F 


Kegel und einer Halbkugel. Er hat die Oberfläche 

Oges = 149 cm 2 . 

Das Volumen der Halbkugel beträgt VHK = 97,7 cm 3 . 

Wie groß ist die Höhe des Kegels ? 

γ 

C 

B 


Für ein regelmäßiges fünfseitiges Prisma gilt: 

Prüfung 2006 

M = 100 cm 2 (Mantelfläche); h = 8,0 cm (Körperhöhe) 

Berechnen Sie das Volumen des Prismas. 



(I) 5(y − 1) − 3(x − 7) = 1 

(II) 

2 

y + 

3 

20 + x 


3 

= 1 

Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat den 

Scheitel S(0 | 4). 

Eine Gerade mit der Steigung m = 2 geht durch den 

Punkt P(0 | 1). 


Parabel und Gerade. 

Wie weit sind diese Schnittpunkte voneinander 

entfernt ? 


Markus zahlt dreimal hintereinander jeweils zu 

Jahresbeginn 1500,00 EUR auf ein Konto ein. 

Der Zinssatz beträgt 2,25 %. 


Wie hoch ist das Guthaben von Markus am Ende der 

drei Jahre ? 

Bettina möchte dieses Guthaben bei gleichen 

Zinsbedingungen bereits nach zwei Jahren erreichen. 

Welche gleiche Rate muss sie jeweils zu Jahresanfang 

einzahlen ? 


Die Mehrwertsteuersätze in Europa sind unterschiedlich: 

Dänemark: 25 % Deutschland: 16 % 

Finnland: 22 % Irland: 21 % 

Ein Unternehmen bietet in seinen europäischen 

Filialen Nordic-Walking-Stöcke zum gleichen 

Nettopreis an. Auf diesen Nettopreis kommen je nach 

Land unterschiedliche Mehrwertsteuerbeträge. 

In Finnland kostet ein Paar dieser Stöcke 

einschließlich Mehrwertsteuer 41,48 EUR. 

Was bezahlt man dafür in den dänischen Filialen 

einschließlich Mehrwertsteuer ? 

Wie viel Euro sind diese Stöcke in Deutschland 

billiger als in Dänemark ? 

In Luxemburg ist ein Paar der Stöcke um 2,04 EUR 

günstiger als in Irland. 

Berechnen Sie den Mehrwertsteuersatz in Luxemburg. 

19

Prüfung 2006 

Aufgabe W1: 

a) (5 Punkte) 

In der Figur ABCDE sind gegeben: 

20 


AB = 12,2 cm; AE = 8,5 cm; BC = 4,7 cm; 

β = 59,0° und ε = 41,0° 

ε 

E 

D 

. 

F 

. 

β 

A B 

Berechnen Sie die Länge DF . 

b) (3 Punkte) 

Die Figur zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit 

Katheten- und Hypotenusenquadrat. 

Zeigen Sie ohne Verwendung 

gerundeter Werte: 

Der Abstand des Punktes F 

von der Geraden DE 

beträgt 

7 

e. 

2 

Aufgabe W2: 

a) (5 Punkte) 

e 

60° 

. 

C 

D E 

Eine nach oben geöffnete Normalparabel p und eine 

Gerade g1 schneiden sich in den Punkten A(2 | 5) und 

B(6 | −3). Berechnen Sie die Gleichungen von Parabel 

und Gerade. 

Die Gerade g2 ist parallel zur Geraden g1 und geht 

durch den Scheitelpunkt der Parabel. 

Die Koordinatenachsen bilden mit g2 ein Dreieck. 

Berechnen Sie den Umfang und die Innenwinkel dieses 

Dreiecks. 

b) (3 Punkte) 

Geben Sie Definitionsmenge und die Lösungsmenge 

der Gleichung an: 

2 

4(2x − 4x − 1) x + 1 2x − 3 

= − 

2 

3x − 12 x + 2 3x − 6 

F 

Aufgabe W3: 

Aufgabe zu Stümpfen, kein Prüfungsthema mehr ! 

Aufgabe W4: 

a) (5 Punkte) 

Mit den Einzelteilen des Rechtecks ABCD wird die 

Oberfläche der quadratischen Pyramide vollständig 

beklebt. 

Es gilt: 

AABCD = 96 cm 2 (Flächeninhalt des Vierecks ABCD) 

DE = e = 3,0 cm 

D 

E 

A 

e 

e 

Berechnen Sie die Länge AE , das Volumen der 

quadratischen Pyramide und den Neigungswinkel einer 

Seitenkante zur Grundfläche. 

b) (3 Punkte) 

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit dem 

Flächeninhalt 34,5 cm 2 . 

Weiterhin gilt: AC = 5,8 cm und AM = MB 

A 

C 

. 

D 

M 

Das Dreieck MBD nimmt ein Drittel der Fläche des 

Dreiecks ABC ein. 

Berechnen Sie die Länge BD . 

C 

B 

e 

. 

B



Von einer quadratischen Pyramide sind gegeben: 

M = 63,0 cm 2 (Mantelfläche) 

a = 4,2 cm 

Berechnen Sie den Winkel ε zwischen der Seitenkante 

und der Grundfläche der Pyramide. 


a 

Die Skizze zeigt den Achsenschnitt eines Kegels. 

Es gilt: 

s = 6,2 cm und γ = 48,0° 

Eine Kugel hat das gleiche Volumen wie der Kegel. 

Berechnen Sie den Radius der Kugel. 


γ 

. 

Gegeben sind das gleichschenklige Trapez ABCD und 

das rechtwinklige Dreieck ABE. Es gilt: 

AB = 18,0 cm; α = 36,0° und CD = 10,0 cm 

Berechnen Sie die Länge CE . 

A 

α 

D 

s 

ε 

E 

. 

C 

B 


Prüfung 2007 

Auf dem Prisma liegt der Streckenzug PQR mit der 

Länge 9,1 cm. Es gilt: a = 2,8 cm und α = 47,9° 

Berechnen Sie den Winkel ε. 


Lösen Sie die Gleichung: 

P 

. 

a 

α 

. 

a 

Q 

2a 

2 

2 

x + x + 4 (x − 2)(x + 3) (x − 1) 

+ 

= 

3 

2 

3 


Eine Parabel hat die Gleichung y = ax 2 − 4,5 und geht 

durch den Punkt P(−2 | −2,5). Berechnen Sie a. 

Zeichnen Sie das Schaubild der Parabel in ein 

Koordinatensystem. 


Parabel und x-Achse. 


Der Mehrwertsteuersatz wurde in Deutschland am 

1.1.2007 von 16 % auf 19 % angehoben. 

Der Endpreis eines Mountainbikes hat sich dadurch 

um 40,50 EUR erhöht. 

Wie viel Euro kostet jetzt das Mountainbike 

einschließlich der Mehrwertsteuer ? 

Guido behauptet: Der Endpreis hat sich durch die 

Erhöhung der Mehrwertsteuer um 3 % erhöht. 

Überprüfen Sie diese Behauptung. 


Ein Guthaben von 5 000,00 EUR wird für drei Jahre 

angelegt. Zinsen werden mitverzinst. 

Die Zinssätze der ersten beiden Jahre sind: 



Für die drei Jahre werden insgesamt 503,23 EUR 

Zinsen gutgeschrieben. 

Wie hoch ist der Zinssatz im dritten Jahr ? 

Bei welchem gleichbleibenden Zinssatz wäre nach 

drei Jahren das gleiche Endkapital erzielt worden ? 

ε 

R 

21

Prüfung 2007 

Aufgabe W1: 

a) (5 Punkte) 

22 


Gegeben sind das gleichschenklige Dreieck ABC und 

das rechtwinklige Dreieck CDE. Es gilt: 

AC = BC 

AB = 10,0 cm 

AD = 3,6 cm 

α = 58,0° 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BFE. 

b) (3 Punkte) 

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist D der Mittelpunkt 

der Seite AC . 


der Flächeninhalt des Vierecks EBCD mit der Formel 

13 2 

A = e 3 

6 

berechnet werden kann. 

Aufgabe W2: 

a) (5 Punkte) 

Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden 

verschobenen Normalparabeln (entnehmen Sie 

die erforderlichen Werte der Zeichnung). 

Berechnen Sie die Koordinaten des 

Schnittpunkts P der beiden Parabeln. 

Die Gerade g geht durch die Punkte P und S1. 

Die Gerade h verläuft parallel zu g und geht 

durch S2. 

Berechnen Sie die Gleichung von h. 

Die Gerade h bildet mit der x-Achse und 

der y-Achse ein Dreieck. 

Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. 

b) ( 3 Punkte) 

Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung an: 

24x 5x 26 4x 5 2x 3 

(6x 4)(3x 2) 3x 2 2(3x 2) 

2 

− 

− − + 

= − 

+ − − + 

r 

A 

S 1 

A 

30° 

D 

. α 

D 

e 

. 

E 

y 

4 

2 

C 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-2 

-4 

F 

C 

. 

S 2 

B 

E 

B 

x 

v 

r

Aufgabe W3: 

a) (5 Punkte) 

Ein regelmäßiges Fünfeck hat die Seitenlänge 

a = 3,6 cm. 

Verlängert man alle Fünfeckseiten, so entsteht das 

Netz einer regelmäßigen Pyramide. 

Berechnen Sie die Mantelfläche und das Volumen der 

Pyramide. 

b) (3 Punkte) 

Der Achsenschnitt eines Zylinders ist ein Quadrat 

mit der Seitenlänge e. 

Aus dem Zylinder wird ein Kegel mit halber 

Zylinderhöhe herausgearbeitet und oben aufgesetzt. 

Weisen Sie nach, dass die Oberfläche des neu 

e 

entstandenen Körpers um 2 1) 

2 

2 

π 

( − 

größer ist als die des Zylinders. 

Aufgabe W4: 

a) (4 Punkte) 

Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen 

AB = 6,0 cm und BC = 3,0 cm. 

Von seiner Fläche werden 80 % durch das 

gleichschenklige Dreieck ABE überdeckt. 

Berechnen Sie den Abstand des Punktes E von der 

Strecke AB . 

b) (4 Punkte) 

Ein kegelförmiges Gefäß ist gegeben durch: 

h = 8,0 cm 

r = 3,5 cm 

7 

Es ist zu seiner Höhe mit Wasser gefüllt. 

8 

Eine Kugel taucht vollständig in das Gefäß ein. 

Dadurch steigt der Wasserspiegel genau bis zum 

Rand des Gefäßes. 

Bestimmen Sie den Radius der Kugel. 

e e 

D 

E 

A B 

r 

a 

C 

h 

Prüfung 2007 

r 

23

Prüfung 2008 


24 


Gegeben sind das Rechteck ABCD und das 

gleichschenklige Dreieck AEF. Es gilt: 

ϕ = 38,0°; AD = 5,4 cm; 

FG = 4,2 cm; AF = EF 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BEG. 

D F C 

ϕ . 

A B E 


Vom Viereck ABCD sind bekannt: 

BC = 6,6 cm; AD = 10,8 cm; 

α = 47,0° und γ = 132,0° 

Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AB . 

Berechnen Sie die Länge AC . 

α 

A B 



bekannt: h = 8,4 cm und s = 10,2 cm 


s 

h 

. 

D 

γ 

C 

G 



Zylinder und einem Kegel. 

Der Achsenschnitt des Zylinders 

ist ein Quadrat. 

Es gilt: 

A ges = 67,0 cm 2 

(Flächeninhalt der abgebildeten 

Achsenschnittfläche) 

a = 6,2 cm 

Berechnen Sie die Oberfläche 

des zusammengesetzten 

Körpers. 


Geben Sie die Definitionsmenge und die 

Lösungsmenge der Gleichung an: 

2 

4x + 3x − 6 4 + x 1− 

3x 

+ = 

2 

x + 2x x + 2 x 



3y − 7 

− 5 = x 

2 

x + 3 

y − 6 = 

5 


Gabi legt bei ihrer Bank 2500,00 EUR zu folgenden 

Zinssätzen auf drei Jahre an. Zinsen werden 

mitverzinst: 1. Jahr: 3,50 % 

2. Jahr: 3,75 % 

3. Jahr: 4,25 % 

Das angesparte Geld lässt sie nach Ablauf der drei 

Jahre ein weiteres Jahr bei der Bank. Für dieses 

vierte Jahr erhält sie 132,93 EUR Zinsen. 

Wie hoch ist der Zinssatz im vierten Jahr ? 


In einem Behälter liegen fünf blaue, drei weiße und 

zwei rote Kugeln. Mona zieht eine Kugel, notiert die 

Farbe und legt die Kugel wieder zurück. Danach zieht 

sie eine zweite Kugel. 

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei 

gleichfarbige Kugeln gezogen werden ? 

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 

beiden gezogenen Kugeln eine rot und eine weiß ist ? 

a

Aufgabe W1: 


a) Gegeben ist das Trapez ABCD. Es gilt: 

AB = 8,0 cm 

BC = 4,2 cm 

β = 41,0° 

AD = CD 

Berechnen Sie den Winkel α. 

b) Gegeben ist das Dreieck ABC. 

Der Punkt M halbiert die Strecke BC . 

Weisen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte nach, 

dass für den Flächeninhalt des Dreiecks ABM gilt: 

e 

AABM = ( 1 3) 

2 

+ 

4 

Aufgabe W2: 

a) Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt: 

a = 7,6 cm und s = 10,2 cm 

Der Punkt G halbiert die Seitenkante s. 

Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks AFG. 

b) Aus einem massiven Kegel wurde ein Teil 

ausgeschnitten. 

Es gilt: h = 4e 

r = 3e 

α = 120° 


die Oberfläche des neu entstandenen Körpers um 

kleiner ist. 

4e 2 (2π − 3) 

D C 

Prüfung 2008 

(5,5 Punkte) 

α 

β 

A B 

30° 

A B 

A 

e 

2 

r 

a 

C 

105° 

G 

α 

h 

r 

s 

M 

F 

(4,5 Punkte) 

(5,5 Punkte) 

(4,5 Punkte) 

25

Prüfung 2008 

Aufgabe W3: 

26 


a) Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = −x 2 + 5. (5,5 Punkte) 

Eine nach oben geöffnete Normalparabel p2 hat den Scheitel S2(2 | −5). 

Durch die gemeinsamen Punkte der beiden Parabeln verläuft eine Gerade. 

Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden rechnerisch. 

Berechnen Sie die Winkel, unter denen die Gerade die x-Achse schneidet. 

b) Von einer nach oben geöffneten Normalparabel p1 sind die Schnittpunkte (4,5 Punkte) 

mit der x-Achse bekannt: 

N1(1 | 0) und N2(5 | 0) 

Durch den Scheitelpunkt der Parabel p1 verläuft die Gerade g mit der Steigung m = −1. 

Auf dieser Geraden liegt der Scheitelpunkt einer zweiten nach oben geöffneten Normalparabel, 

die mit der x-Achse nur einen gemeinsamen Punkt hat. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Parabeln. 

Aufgabe W4: 

a) Ein Glücksrad mit den Mittelpunktswinkeln 60°; 

120°; und 180° ist mit den Zahlen 20; 10 und 6 

beschriftet. 

Es wird zweimal gedreht. 

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 

Summe der erhaltenen Zahlen genau 30 ergibt ? 

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 

Summe größer als 12 ist ? 

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe 

kleiner als 30 ? 

3 

b) Das regelmäßige Sechseck hat die Seitenlänge e. 

2 

Die vier grau eingefärbten Dreiecke bilden die 

Mantelfläche einer quadratischen Pyramide. 

• Berechen Sie ohne Verwendung gerundeter 

Werte das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit 

von e. 

• Der Neigungswinkel zwischen einer Seitenfläche 

und der Grundfläche der Pyramide wird mit ϕ 

bezeichnet. 

Zeigen Sie, dass gilt: tan ϕ = 2 

3 

e 

2 

6 

20 

10 

(6 Punkte) 

(4 Punkte)



Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit 

einem einbeschriebenen Rechteck DEFG. 

Es gilt: = 51,3°; AG = 3,1 cm; 

AB = 7,2 cm; AC = BC 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks GFC. 

A 

α 

G 

C 

D E 


Die Dreiecke ABC und ABD haben die Seite AB 

gemeinsam. Es gilt: 

AB = 6,8 cm; = 57,7° und DE = 3,9 cm 

F 

Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AB. 

A 

D 


E 

. 

γ 


Zylinder und einem Kegel. Es gilt: 

VK = 223 cm 3 (Volumen des Kegels) 

hK = 8,5 cm (Höhe des Kegels) 

Oges = 344 cm 2 (Oberfläche des zusammen- 

gesetzten Körpers) 

Berechnen Sie die Höhe des Zylinders. 

C 

B 

B 


Prüfung 2009 

Eine Gerade hat die Gleichung y = 2x − 5. 


Scheitelpunkt S(3|−2). 


Gerade und Parabel. 

Bestimmen Sie die Entfernung der Schnittpunkte 

rechnerisch. 





x + 4 5 

− 

3x 

= 

+ x − 7 

x − 1 x x(x − 1) 

Frau Schön legt einen Betrag von 10 000,00 EUR für 

die Dauer von vier Jahren zu einem Zinssatz von 

4,2 % an. Zinsen werden mitverzinst. 

Frau Reiche will ebenfalls 10 000,00 EUR anlegen. Die 

Zinsen sollen mitverzinst werden. Sie möchte jedoch 

schon nach drei Jahren das gleiche Endkapital wie 

Frau Schön angespart haben. 

Welchen jährlich gleichbleibenden Zinssatz müsste 

Frau Reiche vereinbaren ? 


Die Jungen der Klassen 8a und 8b werden gemeinsam 

in einer Sportgruppe unterricht. Beim Ballwurf werden 

von den 10 Schülern der 8a und den 13 Schülern 

der 8b folgende Weiten erzielt (Angaben in Meter): 

Klasse 8a: 

Klasse 8b: 

2 

41,5 27,5 32 39,5 32 29 27 42 

51 22,5 

33 19 26 36 25,5 41,5 36,5 30 

39,5 29,5 29 45,5 25 

Bestimmen Sie jeweils den Zentralwert und den 

Mittelwert (arithmetisches Mittel) der 8a und der 8b. 

Paul aus der Klasse 8a, der am weitesten geworfen 

hat, wird aus der Wertung genommen, weil er einen 

zu leichten Ball verwendet hat. 

Welche Auswirkungen hat dies auf den Zentralwert 

und das arithmetische Mittel der 8a ? 


In einem Gefäß befinden sich eine weiße, vier rote 

und fünf blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei 

Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei 

verschiedenfarbige Kugeln gezogen ? 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 

eine der gezogenen Kugeln rot ist ? 

27

Prüfung 2009 

Aufgabe W1: 

a) (6 Punkte) 

28 


Auf einem Würfel liegt der Streckenzug RSTU mit der Länge 21,7 cm. 

Es gilt: 

a = 6,4 cm 

= 55,5° 

AT = FS = HR 

Berechnen Sie die Länge von BU . 

b) (4 Punkte) 

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC. 

Es gilt: AC = e 6 und CF = FB 


dass der Umfang des Dreiecks ABC mit der Formel 

u = 3e ( 2 + 6 ) 


Aufgabe W2: 


Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben: 


hs = 8,4 cm (Höhe einer Seitenfläche) 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AFS. 


Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einer Halbkugel und aus 

einem Kegel. Es gilt: 

Ages = 60,0 cm 2 (Flächeninhalt der gesamten Achsenschnittfläche) 

r = 5,4 cm (Radius der Halbkugel) 

h = 13,6 cm 

Berechnen Sie die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers. 

A 

a 

H 

R 

α S F 

A T 

B 

C 

30° 

. 

A 

h 

F 

S 

. 

h s 

U 

F 

B

Aufgabe W3: 



Eine nach oben geöffnete Normalparabel p1 verläuft durch die Punkte A(3|6) und B(4|11). 

Diese Parabel wird um 5 Einheiten nach links und um 5 Einheiten nach unten verschoben. 

Dadurch entsteht die Parabel p2 mit dem Scheitelpunkt S2. 

Prüfung 2009 

Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt P. Berechnen Sie die Entfernung der Punkte P und S2. 


• Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel hat die Koordinaten S(4| −2). 

Der Punkt P(2|yp) liegt auf der Parabel. Er bildet mit den Punkten A(−3|0) und B(1|0) ein Dreieck. 

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABP. 

• Der Punkt P wird auf der Parabel verschoben. 

Es gibt zwei Dreiecke ABP1 und ABP2, deren Flächeninhalt jeweils 20,5 FE (Flächeneinheiten) beträgt. 

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte P1 und P2. 

Aufgabe W4: 

a) (6 Punkte) 

Zwei Spielwürfel werden geworfen. 

• Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme). 

Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis „Augensumme kleiner als 5“ ? 

• Bei einem Pasch sind die Augenzahlen gleich. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Pasch zu werfen ? 

• Nennen Sie zwei Ereignisse, für die sich die Wahrscheinlichkeit 12 

b) (4 Punkte) 

Aus einem Würfel wurde eine quadratische Pyramide 

herausgearbeitet. 

Es gilt: a = 2e 

• Zeigen Sie, dass die Oberfläche des Restkörpers mit 

der Formel O = 4e 2 (5 + 5 ) 


• Weisen Sie nach, dass gilt: 

1 

cos α = 6 

3 

1 ergibt. 

α 

a 

29

Prüfung 2010 


Ein zusammengesetzter Körper 

besteht aus einem Zylinder mit 

aufgesetztem Kegel. Aus diesem 

Körper wird eine Halbkugel 

herausgearbeitet (siehe Achsenschnitt). 

Es gilt: 

r = 3,0 cm (Radius des Zylinders) 

h = 8,6 cm (Höhe des Zylinders) 

s = 3,8 cm (Mantellinie des Kegels) 


Berechnen Sie das Volumen des Restkörpers. 


Ein Quadrat und ein Rechteck haben die Punkte B 

und C gemeinsam. Es gilt: 

G 

F 

CD = 4,8 cm 

FH = 10,0 cm 

α = 57,0° 

Berechnen Sie 

den Umfang des 

Vierecks BEFC. 


Das Schrägbild zeigt 

eine Pyramide in 

einem Würfel. 

E 

Es gilt: 

a = 8,0 cm 

und ε = 58,0° 

Wie groß ist 

das Volumen 

der Pyramide ? 

Berechnen Sie die 

Länge ES . 



x − 3 

(I) = y + 1 

2 

2x − 5 

(II) − 10 (y − 1) = 16 

3 


D 

H 

A 

α 

1 

Die Gerade g hat die Steigung m = und schneidet 

2 

die y-Achse im Punkt P(0|3). Berechnen Sie die 

Koordinaten der Schnittpunkte von p und g. 

30 

a 

C 

S 

B 

M 2 

ε 

M 1 

Die nach unten geöffnete Parabel p hat die 

1 2 

Gleichung y = − x + 5. 

4 

Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. 

r 

s 

h 

E 


In einem Behälter befinden sich drei blaue und drei 

rote Kugeln. Viola führt zwei Zufallsexperimente 

durch: 

Experiment 1: Sie zieht zwei Kugeln mit Zurücklegen. 

Experiment 2: Sie zieht zwei Kugeln ohne Zurücklegen. 

Sie vermutet: „In beiden Experimenten ist die 

Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln 

zu ziehen, fünfzig Prozent.“ 

Überprüfen Sie diese Vermutung. 


Die Klasse 10c wurde über die Anzahl der im letzten 

Monat versandten SMS befragt. Die Angaben der 

12 Jungen und 15 Mädchen sind: 

Jungen: 5 0 39 21 77 14 46 25 128 24 35 66 

Mädchen: 

37 29 67 36 10 47 34 177 56 116 28 51 80 0 132 

Um wie viel Prozent liegt das arithmetische Mittel der 

versandten SMS der 15 Mädchen über dem der 12 Jungen? 

Geben Sie die Zentralwerte der beiden Datenreihen an. 

Florian (20 SMS), Eva (15 SMS) und Laura (170 SMS) 

können ihre Werte erst nachträglich mitteilen. 

Welchen Einfluss hat dies auf die bereits ermittelten 

Zentralwerte? Begründen Sie Ihre Aussage. 


Die Grafik veranschaulicht die Zuschauerentwicklung 

eines Fußballvereins von der Spielzeit 03/04 bis zur 

Spielzeit 08/09. 

Zuschauerzahlen 

470.000 

460.000 

450.000 

440.000 

430.000 

420.000 

410.000 

400.000 

03/04 04/05 05/06 06/07 07/08 08/09 

Spielzeiten 

Zwischen welchen Spielzeiten liegt die größte 

Steigung vor ? Wie viel Prozent beträgt sie ? 

(Entnehmen Sie der Zeichnung die notwendigen Werte 

so genau wie möglich.) 

Um die Zuschauerzahl für 09/10 vorhersagen zu 

können, wird die prozentuale Veränderung zwischen 

07/08 und 08/09 ermittelt. Diese prozentuale 

Veränderung verwendet der Verein für die Prognose. 

Mit welcher Zuschauerzahl kann er für 09/10 planen ?

Aufgabe W1: 

a) (6 Punkte) 

Im Quadrat ABCD gilt: 

δ = 66,0° 

= 97,0° 

AD = 6,3 cm 

DE = 4,1 cm 


Berechnen Sie den Umfang des Vierecks DEFC. 

b) (4 Punkte) 

Im Dreieck ABC liegt das gleichseitige Dreieck DBC. 

Der Mittelpunkt der Strecke AC wird mit M bezeichnet. 

Weisen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte nach, dass gilt: 

e 

MB = 2 

7 

Aufgabe W2: 

a) (6 Punkte) 

Ein zylinderförmiger Behälter hat eine kegelförmige 

Vertiefung. 

Er liegt waagerecht und ist zur Hälfte mit Wasser gefüllt. 

Die Maße sind: 

s = 8,0 cm 

d = 10,0 cm 

h = 20,0 cm 

Der Behälter wird senkrecht aufgestellt (siehe Skizze). 

Wie hoch steht das Wasser im aufgestellten Behälter ? 

b) (4 Punkte) 

Aus einem rechteckigen Stück Papier wird der 

Mantel einer sechsseitigen Pyramide gefertigt. 

Der Punkt M ist Mittelpunkt der Seitenkante. 

Bestimmen Sie die Länge der Strecke MN in der 

Pyramide. 

D 

δ 

E 

ε 

Prüfung 2010 

A B 

30° 

. 

A D E 

s 

M x 

h 

70 cm 

d 

C 

N 

e 

C 

F 

31 

B

Prüfung 2010 

Aufgabe W3: 

a) (6 Punkte) 

32 


Im Schaubild sind die Geraden g1 und g2 

dargestellt. 

Entnehmen Sie zur Bestimmung ihrer 

Gleichungen geeignete Werte. 


Schnittpunkts P von g1 und g2. 

Die Punkte P und Q(2|−4) liegen auf einer 

nach oben geöffneten Normalparabel. 


Scheitelpunkts der Parabel. 

b) (4 Punkte) 

Gegeben sind die beiden Parabeln: p1: y = − 2 

Die beiden Parabeln schneiden sich in den Punkten P und Q. 

-1 

y 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

O 

g 1 

1 2 

1 x 2 + 5 und p2: y = x 2 − 1 

3 

4 5 

Die Punkte P und Q bilden zusammen mit den Scheitelpunkten S1 und S2 das Viereck S1PS2Q. 

Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. 

Begründen Sie, weshalb das Viereck S1PS2Q ein Drachenviereck ist. 

Aufgabe W4: 

a) (6 Punkte) 

Die beiden Glücksräder werden gedreht. Die 

Ergebnisse beider Glücksräder werden addiert. 

Es werden zwei Gewinnsituationen angeboten: 

Gewinnsituation A: „ Summe 8 oder 9“ 

Gewinnsituation B: „alle anderen Summen“ 

Für welche würden Sie sich entscheiden ? 

3 

135° 90° 

135° 

2 

1 

g 2 

5 

6 7 8 

4 

x 

60° 

180° 

120° 6 

Anschließend wird das rechte Glücksrad so verändert, dass die Sektoren der Zahlen 4 und 5 jeweils den 

Mittelpunktswinkel 90° erhalten. 

Für welche Gewinnsituation würden Sie sich jetzt entscheiden ? 

b) (4 Punkte) 

Ein quadratisches Blatt Papier 

(Format 10,0 cm x 10,0 cm) wird 

entlang von EB gefaltet. 

Die Strecke AE hat eine Länge von 4,0 cm. 

Berechnen Sie die Länge A' C nach der Faltung. 

D 

C 

E 

. 

A B 

D 

E 

A' 

. 

C 

B

Prüfung 2011: 

Die aktualisierte Auflage erscheint 

Anfang September 2011. 


Prüfung 2011 

33

Lösungsübersicht 2000/2001 

Pflichtteil 2000: 

Aufgabe P1: Vp = 290,37 cm 3 

Aufgabe P2: 

Oberfläche einer Kegelhälfte: O = 1713,82 cm 2 

Aufgabe P3: AS = 7,42 cm 

Aufgabe P4: w = 5,92 cm 

Aufgabe P5: IL = { 5; 8 } 

Aufgabe P6: Scheitelpunkt S(4 | −7); 

verschobene Parabel p: y = x 2 − 4x − 0,5 

Aufgabe P7: 

Jährlich eingezahlter Betrag = 1700 DM 

Aufgabe P8: 

In Italien ist dies der Fall. 

Preis in Irland = 181,50 Euro. 


Aufgabe P1: Radius der Halbkugel: R = 4,52 cm 

Aufgabe P2: s = 8,97 cm; hs = 8,49 cm 

Aufgabe P3: SP = 6,73 LE 

Aufgabe P4: ID = IR \ { −2 ; 0 }; IL = { 2 ; 4 } 

Aufgabe P5: β2 = 40°; ABCG = 6,74 cm 2 

Aufgabe P6: PQ = 5,91 cm; α = 34,5° 

Aufgabe P7: Zges = 715,25 DM; pges % = 9,5 % 

Aufgabe P8: 

In Frankreich ist das Auto günstiger − und zwar um 

p % = 0,67 %. 

In Spanien kostet es 4,1 Mio. spanische Peseten. 

34 

Lösungsübersicht 2000 (ausführliche Lösungen auf der CD) 

Wahlteil 2000: 

Aufgabe W1: 

a) Volumen des Restkörpers: VR = 1648,61 cm 3 

b) Trapezfläche AT = 114,57 cm 2 

Aufgabe W2: 

a) Abstand von D zu AB: 5,6 cm ; Winkel δ = 95° 

b) Es ist u = AB + BD + AD . 

Mit AB = 2e 2 , BD = 2e und AD = e 6 − e 2 

ergibt sich die gesuchte Formel. 

(Details siehe ausführliche Lösungen.) 

Aufgabe W3: 

a) Schnittpunkte zwischen p1 und p2: 

A(1|1,5) und B(−2|−1,5) 

Gerade g: y = x + 0,5 

Schnittpunkt von g mit der x-Achse: N(−0,5 | 0) 

b) ID = IR \ { 6 } , IL = { − 

4 

; 

1 

} 

3 2 



Aufgabe W1: 

a) M = 159,75 cm 2 ; hE = 7,23 cm 

b) Oges = 8π 3 e 2 

Aufgabe W2: 

a) AABCD = 146,2 cm 2 ; Winkel ŒADC = 138,9° 

b) Winkel α = 33,7° 

Aufgabe W3: 

a) Schnitt der beiden Parabeln: A(0 | 6) ; B(1 | 4) 

Scheitel der Parabeln: S1(1,5 | 3,75) ; S2(0 | 6) 

(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.) 

b) Parabel p: y = x 2 − 6x + 8 

Gerade h: y = x − 4,25 

Gleichsetzen von h und p und lösen der Gleichung 

ergibt nur einen Schnittpunkt: B(3,5| −0,75) 

(Details siehe ausführliche Lösungen.)



Aufgabe P2: hZ = 2,81 cm 

Aufgabe P3: IL = { 2 ; − 1 

} 

2 

Aufgabe P4: Schnittpunkte A(2 | 2) und B(−2 | 2); 


Aufgabe P5: ε = 68,7° 

Aufgabe P6: CD = 7,48 cm 

Aufgabe P7: 

Die prozentuale Erhöhung beträgt 3,1 %. 

Preis des anderen Wagens nach der Preiserhöhung: 

26 093,61 EUR. 

Aufgabe P8: 

Guthaben nach drei Jahren: K3 = 3 933,83 EUR 

Nach weiteren 135 Tagen ist das Guthaben 

auf 4000 EUR angewachsen. 


Aufgabe P1: Oges = 227 cm 2 

Aufgabe P2: hpyr = 7,5 cm 

Aufgabe P3: AADC = 4,4 cm 2 

Aufgabe P4: AE = 5 cm 

Aufgabe P5: ID = IR \ { 1 }, IL = { −1 ; 4} 

Aufgabe P6: Der zweite Schnittpunkt ist S2(1|−2). 

Aufgabe P7: 

Ursprünglich angelegter Betrag: 4500 EUR 

Aufgabe P8: 

Rückgang von 1992 zu 2002 um 13,1 %; 

20,06 m 3 Wasser weniger für Toilettenspülung; 

30,4 Liter für Geschirrspülen pro Tag. 




Aufgabe W1: 

a) Abstand von D zu AC: 7,46 cm 

b) 

Winkel ŒCAD = 37,6°; AE = 7,7 cm 

2e 

ε 

x 

120° 

z 

. 

y 

45° 

y 

tan ε = 

x + z 

Die Formel ergibt sich mit x = e, y = e 3 , z = 3e. 


Aufgabe W2: 

a) g1: y = −x + 1; g2: y = −x + 7; 


b) ID = IR \ { −5 ; 5 } , IL = { −2 ; 1} 

Aufgabe W3: 

a) AB = 16,9 cm; TC = 6,07 cm 

b) Kugelvolumen: Vk = 185,03 cm 3 

Aufgabe W4: 

a) (a) → (3) , (b) → (2) , (c) → (5) , (d) → (7) 

(Begründung siehe ausführliche Lösungen.) 

b) BS = 7,7 cm 



Aufgabe W1: 

a) APQRB = 24,22 cm; Winkel ŒRQP = 90°. 

b) 

y b 

α 

0 1 2 3 4 5 6 7 

0° 14° 26,6° 36,9° 45° 51,3° 56,3° 60,3° 


Bei 30° ist yB = 2,31 LE, bei 60° ist yB = 6,93 LE. 

Flächeninhalte: A30° = 4,62 FE und A60° = 13,86 FE 

Aufgabe W2: 

a) Die Oberfläche vergrößert sich um 50,68 cm 2 . 

b) Vp = 69,12 cm 3 ; AM = 8,26 cm 

Aufgabe W3: a) Gerade g: y = −2x + 6 ; 

Innenwinkel: α = 63,4°; β = 26,6°; u = 15,71 cm 

b) ID = IR \ { −3 ; 3 } , IL = { −2 } 

Aufgabe W4: 

a) AE = 4,37 cm ; Abstand von E zu BC: 6,94 cm 

CF 

b) Ansatz: tan ε = (Details siehe ausführliche Lösungen.) 

AF 

35



Aufgabe P1: α 1 = 42,0°; A ACD = 21,9 cm 2 


Aufgabe P3: IL = { 2; 3 } 

Aufgabe P4: Scheitelpunkt: S(0|4) 


Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht. 

Der Umfang beträgt u = 19,32 LE. 

Aufgabe P5: hs = 10,63 cm; ε = 65,5° 

Aufgabe P6: Differenz der Rauminhalte: 134,1 cm 3 

Aufgabe P7: p % = 3,5 % 

Aufgabe P8: 

Der Katalogpreis für eine Patrone ohne Mengenrabatt 

beträgt 38,00 EUR. 



Aufgabe P2: Oges = 357,13 cm 2 

Aufgabe P3: IL = { −6 ; 10 } 

Aufgabe P4: S(−2|2); p: y = x 2 + 4x + 6 

Aufgabe P5: BE = 7,11 cm 

Aufgabe P6: CE = 8,85 cm 

Aufgabe P7: Zinssatz im 3. Jahr = 4 % 

Aufgabe P8: 

Die Miete für eine 4-Zimmerwohnung ist in der 

Kleinstadt um p % = 18 % günstiger. 

Die Miete für eine 2-Zimmerwohnung in der Großstadt 

beträgt 450 EUR. 

Miete für eine 1-Zimmerwohnung: 

In der Großstadt: 300 EUR 

In der Kleinstadt: 246 EUR 

36 



Aufgabe W1: a) Oges = 748,8 cm 2 

b) Es ist: A ABC = 

Mit BC = a und d = a 

ergibt sich die Formel für A ABC. 

a 

AC = 

4 

3 

4 

33 

BC . d 

2 


Aufgabe W2: 

a) Q(−1 | 3), Gerade h: y = −2x − 2 

b) ID = IR \ { −5 } , IL = { 4 } 

Aufgabe W3: 

a) BD = 7,94 cm; A ABDE = 21,3 cm 2 

2 

b) A ASED = A Rechteck − A ASB − A BCE . Mit AS = 3e, BS = e 3 , 

AB = 6e 

und CE = 2e 

3 

3 

erhält man die Formel. 

3 


Aufgabe W4: 

a) (a) → (4), (b) → (12), (c) → (9), (d) → (7), (e) → (1) 

(Begründungen siehe ausführliche Lösungen.) 

b) Die Oberfläche nimmt um 6,08 % ab. 



Aufgabe W1: 

a) GF = 2,77 cm ; A = 13,6 cm 2 

b) Es gilt tan α1 = 

x 

y . Mit x = e 

2 

ergibt sich die gesuchte Formel. 


Aufgabe W2: 

. 

C 

B 

a 

d 

. 

A 

a 

2 und y = 3e 2 

a) Gerade g1: y = x − 1; Schnittpunkt A(1 | 6); 

zweiter Schnittpunkt zwischen g2 und p2: B(6 | 11) 

b) ID = IR \ { −3 ; 4 } , IL = { 5 

Aufgabe W3: 

a) Vp = 472,6 cm 3 

b) r2 = 2e ergibt sich aus der Gleichung K2 = M2 und 

den Werten s = 5e und α2 = 144°. 


Aufgabe W4: 

a) AABC = 61,46 cm 2 

b) AT = 31,35 cm 2 

3 

} 

2 

.


Aufgabe P1: Quadratseite = 7,0 cm 

Aufgabe P2: DF = 7,7 cm 

Aufgabe P3: h = 4,8 cm (Kegelhöhe) 

Aufgabe P4: V = 86,0 cm 3 (Volumen des Prismas) 

Aufgabe P5: IL = { −5; −6 } 

Aufgabe P6: 

Schnittpunkte: A(1|3) und B(−3|−5) 

Abstand AB = 8,94 LE 

Aufgabe P7: 

Guthaben von Markus nach drei Jahren: 4705,55 EUR 

Rate von Bettina: 2275,41 EUR 

Aufgabe P8: 

In Dänemark kosten die Stöcke 42,50 EUR. 

In Deutschland sind die Stöcke um 3,06 EUR billiger. 

Mehrwertsteuersatz in Luxemburg: 15 % 



Aufgabe P2: Radius der Kugel: rKu = 2,08 cm 

Aufgabe P3: CE = 3,77 cm 


Aufgabe P5: IL = { − 4; 1 } 

Aufgabe P6: 

a = 0,5 (Schaubild siehe ausführliche Lösungen.) 

Schnitt mit x-Achse: N1(−3| 0) und N2(3| 0) 

Aufgabe P7: 

Der Preis einschließlich 19 % MwSt. ist 1606,50 EUR. 

Guidos Behauptung ist falsch. 

Der Preis mit 16 % MwSt. war 1566,00 EUR und erhöht 

sich nur um ca. 2,6 % auf 1606,50 EUR. 

Aufgabe P8: 

Zinssatz im dritten Jahr: p3 % = 4 % 

Gleichbleibender Zinssatz: p % = 3,25 % 




Aufgabe W1: 

a) DF = 1,7 cm 

b) Beweis siehe ausführliche Lösungen. 

Aufgabe W2: 

a) Parabel p: y = x 2 − 10x + 21; 

Scheitelpunkt: S(5|−4) 

Gerade g1: y = −2x + 9 

Umfang des Dreiecks: u = 36,7 LE 

Innenwinkel: 90°; 63,4°; 26,6° 

2 

b) ID = IR \ { −2; 2 } , IL = { − } 

7 

Aufgabe W3: 

a) h = 16,1 cm ; M = 600,2 cm 2 ; ε = 60,6° 

b) Nachweis mithilfe der Kegelradien r1 = 2e, 

r2 = 3e und dem Satz des Pythagoras. 


Aufgabe W4: 

a) AE = 5,0 cm ; V = 48,0 cm 3 ; 

Neigungswinkel α = 43,3° 

b) BD = 7,93 cm 



Aufgabe W1: a) ABFE = 5,32 cm 2 

b) AEBCD = AABC − AAED (Details siehe ausführliche Lösungen.) 

Aufgabe W2: 

a) p 1: y = x 2 + 8x + 19 ; p 2: y = x 2 − 6x + 5 ; 

Schnittpunkt P(−1 | 12) ; Gerade h: y = 3x − 13 

Dreiecksfläche = 

169 2 2 

cm ≈ 28,17 cm 

6 

b) ID = IR \ { 

2 

− ; 

2 

} , IL = { −3 } 

3 3 

Aufgabe W3: 

a) Mantel M = 49,86 cm 2 ; Volumen V = 36,83 cm 3 

b) Oberfläche des Zylinders = 

e 

2 

2 π 

+ MZyl ; 

Oberfläche des neuen Körpers = 

e 

2 

2 π 

2 + MZyl. Die Differenz ergibt die gesuchte Formel. 


Aufgabe W4: 

a) Der Abstand des Punktes E von AB ist 7,5 cm. 

b) Der Kugelradius beträgt r K = 2,0 cm. 

Sowohl in a) als auch in b) benötigt man den 2. Strahlensatz ! 

37



Aufgabe P1: ABEG = 5,06 cm 2 

Aufgabe P2: 

Abstand von D zu AB: 7,90 cm 

Länge AC = 11,01 cm 

Aufgabe P3: V = 223 cm 3 

Aufgabe P4: O = 245,61 cm 2 

Aufgabe P5: ID = IR \ { −2; 0 } , IL = { 0,5 } 

Aufgabe P6: IL = { 2; 7 } 

Aufgabe P7: 

Zinssatz im vierten Jahr: p % = 4,75 % 

Aufgabe P8: 

p(gleiche Farbe) = 0,38 = 38 % 

p(eine rote, eine weiße Kugel) = 0,12 = 12 % 


Aufgabe P1: AGFC = 3,44 cm 2 

Aufgabe P2: 

Abstand von D zur Strecke AB: 6,36 cm 

Aufgabe P3: Höhe des Zylinders: hz = 3,49 cm 

Aufgabe P4: Schnittpunkte: A(6|7) und B(2|−1) 

Entfernung beider Schnittpunkte: AB = 4 5 ≈ 8,94 LE 

Aufgabe P5: ID = IR \ { 0 ; 1 } , IL = { −3 ; 2 } 

Aufgabe P6: p % = 5,6 % 

Aufgabe P7: 

Klasse 8a: Zentralwert = 32 m; Durchschnitt = 34,4 m 

Klasse 8b: Zentralwert = 30 m; Durchschnitt = 32,0 m 

Klasse 8a ohne Paul: 

Zentralwert = 32 m; Durchschnitt = 32,56 m 

Aufgabe P8: 

P(zwei verschiedenfarbige Kugeln) = 64,4 % 

P(höchstens eine rote Kugel) = 86,7 % 

38 



Aufgabe W1: a) Winkel α = 59,5° 

b) Beweis siehe ausführliche Lösungen 

Aufgabe W2: a) Umfang u = 25,57 cm 

b) Man muss die Oberfläche des ursprünglichen Kegels 

von der Oberfläche O neu des neuen Körpers abziehen. 

2 2 

Oneu besteht aus des Kegelmantels, des Grund- 

3 

3 

kreises und zwei Dreiecken. 


Aufgabe W3: 

a) Gerade g: y = −2x + 2 

Schnittwinkel: α = 63,4° und β = 116,6° 

b) Schnittpunkt der Parabeln: P(0,5 | 2,25) 

1 

Aufgabe W4: a) P(Summe = 30) = ; 

9 

3 31 

P(Summe größer 12) = ; P(Summe < 30) = 

4 

36 

b) Volumen V = 16 

9 ⋅ 2 e 3 

Beweis für tan ϕ = 2 siehe ausführliche Lösungen. 



Aufgabe W1: 

a) BU = 2,96 cm 

b) Beweis siehe ausführliche Lösungen. 

Aufgabe W2: 

a) Flächeninhalt: AAFS = 33,74 cm 2 

b) Oberfläche des Körpers: Oges = 311 cm 2 

Aufgabe W3: 

a) Scheitelpunkt S2(− 4|−3); Schnittpunkt P(−1|6) 

Entfernung der Punkte P und S2: d = 3 10 ≈ 9,5 LE 

b) Flächeninhalt AABP = 4 FE 

P1(7,5 | 10,25) und P2(0,5 | 10,25) 

Aufgabe W4: 

a) P(Augensumme kleiner als 5) = 

5 

P(kein Pasch) = ≈ 83,3 % 

6 

Mögliche Ereignisse für P = 

6 

≈ 16,7 % ; 

36 

1 

sind unter anderem 

12 

C: „Augensumme < 4“ ; D: „Augensumme = 10“. 

b) Beweise siehe ausführliche Lösungen.


Aufgabe P1: VRest = 208,56 cm 3 

Aufgabe P2: Umfang u = 19,8 cm 

Aufgabe P3: VPyr = 128,21 cm 3 ; ES = 6,0 cm 

Aufgabe P4: IL = { 4 ; −0,5 } 

Aufgabe P5: Schnittpunkte: A(2|4) und B(− 4|1) 

Aufgabe P6: In Experiment 1 ist p = 50 %. 

In Experiment 2 ist p = 60 %. Die Vermutung ist falsch. 

Aufgabe P7: Das arithmetische Mittel der Mädchen 

(60 SMS) liegt um 50 % über dem der Jungen (40 SMS). 

Zentralwert der Jungen: zJu = 30 

Zentralwert der Mädchen: zMä = 47 

Der neue Zentralwert der Jungen ist 25. 

Der Zentralwert der Mädchen bleibt gleich, da sowohl 

in der unteren als auch in der oberen Hälfte der 

Datenreihe ein Wert dazukommt. 

Aufgabe P8: Die größte Steigung ist zwischen 05/06 

und 06/07. Ergebnis zwischen 8,4 % und 8,9 %. 

Rückgang zwischen 07/08 und 08/09 um ca. 1,5 %. 

Prognose für 09/10: 

Ergebnis zwischen 445 000 und 450 000 Zuschauer. 





Aufgabe W1: 

a) Umfang des Vierecks DEFC: u = 17,57 cm 

b) MB kann im rechtwinkligen Dreieck MBC mit 

dem Satz des Pythagoras berechnet werden. 


Aufgabe W2: 

a) Wasservolumen VW = 703,72 cm 3 ; 

Wasserhöhe: 11,04 cm über dem Boden bzw. 

4,8 cm über der Kegelspitze 

b) MN = 31,03 cm 

Aufgabe W3: 

a) g1: y = 0,5x + 7; g2: y = 2x − 8; P(10|12) 

Parabel p: y = x 2 − 10x + 12; Scheitelpunkt S(5|−13) 

b) Schnittpunkte: P(2|3) und Q(−2|3) 

Flächeninhalt A = 12 cm 2 . PQ steht senkrecht auf 

S1S2 und wird von S1S2 halbiert. 

Aufgabe W4: 

a) Zunächst ist P(A) = P(B) = 50 %. Mit den neuen 

Sektoren ist P(A) = 46,9 % und P(B) = 53,1 %. 

b) A' C = 7,88 cm 



Die aktualisierte Auflage erscheint 

Anfang September 2011. 


39

Register 

Beweise: 99-W1b, 2000-W2b, 2001-W3b, 2002-W1b, 

2003-W4b, 2004-W1b, 2004-W3b, 2005-W1b, 2005-W3b, 

2006-W1b, 2006-W3b, 2007-W1b, 2007-W3b, 2008-W1b, 

2008-W2b, 2008-W4b, 2009-W4b, 2009-W1b, 2010-W1b 

Bruchgleichungen: 99-W2b, 2000-W3b, 2001-P4, 2002-W2b, 

2003-P5, 2003-W3b, 2004-W2b, 2005-W2b, 2006-W2b, 2007-P5, 

2007-W2b, 2008-P5, 2009-P5 

Definitionsmenge: 99-W2b, 2000-W3b, 2001-P4, 2002-W2b, 

2003-P5, 2003-W3b, 2004-W2b, 2005-W2b, 2006-W2b, 

2007-W2b, 2008-P5, 2009-P5 

Dreisatzrechnung: 2001-P8, 2002-P7 

Durchschnitt: 2009-P7, 2010-P7 

Entfernung zweier Punkte: siehe Punktabstände 

Erhöhter und verringerter Grundwert: 2000-P8, 2001-P8, 

2002-P7, 2003-P8, 2004-P8, 2004-W4b, 2005-P8, 2010-P7+P8 

Geradengleichung: 2000-W3a, 2001-W3b, 2002-W2a, 

2003-P6, 2003-W3a, 2004-W2a, 2005-P4, 2005-W2a, 2006-P6, 

2006-W2a, 2007-W2a, 2008-W3a, 2008-W3b, 2010-W3a 

Gleichungssysteme: 2000-P5, 2002-P3, 2004-P3, 2006-P5, 

2008-P5, 2010-P4 

Kegel: 2000-P2, 2001-P1, 2002-P2, 2002-W2b, 

2003-P1, 2005-P2, 2006-P3, 2007-P2, 2007-W3b, 2008-P4, 

2009-P3, 2009-W2b, 2010-P1, 2010-W2a 

Kugel und Halbkugel: 99-P1, 99-W3a, 2000-P1, 2003-P1, 

2004-P6, 2006-P3, 2007-P2, 2007-W4b, 2009-W2b, 2010-P1 

Lösungsmenge: siehe Bruchgleichungen 

Mantelfläche: 99-P2, 2007-W3b, 2008-W2b, 2008-W4b 

Mehrwertsteuer: 2000-P8, 2004-P8, 2006-P8, 2007-P7 

Oberflächenberechnungen: 99-P1, 99-P2, 2000-P2, 

2001-W1b, 2003-W2a, 2004-W1a, 2004-W4b, 2005-P2, 

2007-W3b, 2008-P4, 2008-W2b, 2009-W2b, 2009-W4b 

Parabelgleichungen aufstellen: 

99-W2a, 2000-P6, 2001-W3a, 2001-W3b, 2004-W2a, 2004-W4a, 

2005-P4, 2006-P6, 2006-W2a, 2007-P6, 2007-W2a, 

2008-W3a+b, 2009-P4, 2009-W3a, 2009-W3b, 2010-W3a 

Parabelschaubild: 2001-W3a, 2002-P4, 2002-W2a, 

2002-W4a,2004-P4, 2004-W4a, 2007-P6 

Prisma: 2003-P2, 2006-P4, 2007-P4 

Prozentrechnung: 99-P8, 2001-P8, 2002-P7, 2003-P8, 

2004-P8, 2004-W4b, 2005-P8, 2006-P8, 2007-P7, 2010-P7+P8 

Punktabstände: 99-P4, 2001-P3, 2006-P6, 2009-P4, 2009-W3a 

Pyramide (quadratische): 99-P2, 2000-P1, 2002-P1, 

2003-W2b, 2004-W1a, 2005-P1, 2005-W1a, 2006-W4a, 2003-P2, 

2007-P1, 2008-W4b, 2009-W4b, 2010-P3 

Pyramide (fünfseitige): 2001-P2, 2004-P5, 2007-W3a, 

2008-P3, 2009-W2a 

Pyramide (sechsseitige): 2010-W2b 

Pyramide (mehrseitige): 2005-W3a 

Quadratische Gleichungen: 99-P3, 2005-P3, 2007-P5 

40 

Register 

Ratensparen: 2000-P7, 2002-P8, 2006-P7 

Schaubilder von Geraden: 99-W2a, 2002-W2a, 2010-W3a 

Schaubilder von Parabeln: 99-W2a, 2001-W3a, 2002-P4, 

2002-W2a, 2004-P4, 2007-P6 

Schaubilder von sonstigen Funktionen: 2003-W1b 

Schaubilder zuordnen: 2002-W4a, 2004-W4a 

Scheitelform: 99-P4, 99-W2a, 2000-P6, 2000-W3a, 2001-P3, 

2001-W3a, 2002-P4, 2002-W2a, 2002-W4a, 2003-P6, 

2003-W3a, 2004-W2a, 2004-W4a, 2005-P4, 2005-W2a, 

2006-P6, 2006-W2a, 2007-W2a, 2008-W3a+b, 2009-P4, 

2009-W3b 

Scheitelpunkt: 99-P4, 99-W2a, 2000-P6, 2005-P4, 

2005-W2a, 2006-W2a, 2007-P6, 2009-P4, 2010-W3a 

Schnittpunkt: 99-W2a, 2000-W3a, 2001-W3a, 2002-P4, 

2002-W2a, 2003-P6, 2004-P4, 2004-W2a, 2005-P4, 2005-W2a, 

2006-P6, 2007-P6; 2007-W2a, 2008-W3a, 2008-W3b, 2009-P4, 

2009-W3a, 2010-W3a+b 

Schrägbild: 2002-W4b, 2004-W1b 

Strahlensätze: 99-W3b, 2005-W4b, 2007-W4a+b, 2008-W1b, 

2008-W2a, 2010-W2b 

Trigonometrische Berechnungen in der Ebene: 

99-P5, 99-P6, 99-W1a, 99-W1b, 2000-P3, 2000-P4, 2000-W2a, 

2000-W2b, 2001-P5, 2001-W2a, 2001-W2b, 2002-P6, 

2002-W1a, 2002-W1b, 2003-P3, 2003-P4, 2003-W1a, 

2003-W4a, 2003-W4b, 2004-P1, 2004-P2, 2004-W3a, 

2004-W3b, 2005-P5, 2005-P6, 2005-W1b, 2005-W4b, 

2006-P1, 2006-P2, 2006-W1a, 2006-W4b, 2007-P3, 2007-P4, 

2007-W1a+b, 2007-W3, 2008-P1, 2008-P2, 2008-W1a, 

2009-P1, 2009-P2, 2010-P2, 2010-W1a, 2010-W4b 

Trigonometrische Berechnungen in Körpern: 

99-P1, 2000-P1, 2001-P6, 2002-P1, 2002-P5, 2003-P1, 

2004-P5, 2004-W1a, 2005-W1a, 2007-P1, 2007-P2, 2007-P4, 

2007-W3a, 2008-P3, 2008-W4b, 2009-W1a, 2009-W4b, 

2010-P3, 2010-W2b 

Trigonometrische Berechnungen mit Variablen: 

99-W1b, 99-W3b, 2000-W2b, 2001-W1b, 2002-W1b, 

2003-W4b, 2004-W1b, 2004-W3b, 2007-W1b, 2007-W3b, 

2008-W1b, 2008-W4b, 2009-W1b, 2009-W4b, 2010-W1b 

Volumenberechnungen: 99-W3a, 2000-P1, 2000-W1a, 

2002-P1, 2002-W2b, 2003-W2b, 2005-P1, 2005-W3a, 

2007-W3a, 2008-W4b, 2010-P1, 2010-P3, 2010-W2a 

Wahrscheinlichkeit: 2008-P8; 2008-W4a, 2009-P8, 

2009-W4a, 2010-W4a 

Würfel: 2001-P6, 2002-P5, 2004-W1b, 2009-W1a, 2010-P3 

Zentralwert: 2009-P7, 2010-P7 

Zinsrechnung, Zinseszins: 99-P7, 2000-P7, 2001-P7, 

2002-P8, 2003-P7, 2004-P7, 2005-P7, 2006-P7, 2007-P8, 

2008-P7, 2009-P6 

Zusammengesetzte Körper: 99-W3a, 2001-W1b, 2003-P1, 

2004-W1a, 2005-P2, 2006-P3, 2007-W3b, 2008-P4, 2009-W2b, 

2010-P1, 2010-W2a 

Zylinder: 2001-W1b, 2002-P2, 2004-P6, 2005-P2, 2007-W3b, 

2008-P4, 2009-P3, 2010-P1, 2010-W2a

Realschule 2012 - Matheverlag

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