Realschule 2012 - Matheverlag
Realschule 2012 - Matheverlag
Realschule 2012 - Matheverlag
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<strong>Realschule</strong> <strong>2012</strong><br />
www.matheverlag.com<br />
.<br />
Mathematik<br />
Mathematik-Verlag
Vorwort:<br />
Sehr geehrte Schülerinnen und Schüler,<br />
mit diesem Prüfungsheft können Sie sich gezielt und systematisch auf die Realschulabschlussprüfung in<br />
Mathematik vorbereiten. Das Prüfungsheft enthält die Prüfungsaufgaben der letzten 12 Jahrgänge und eine<br />
kompakte Lösungsübersicht, mit der Sie Ihre Ergebnisse sofort überprüfen können. Die ausführlichen<br />
Lösungswege finden Sie auf der CD-ROM in der jeweiligen Datei. Alle Lösungen sind darin so ausführlich<br />
dargestellt und beschrieben, dass jeder Rechenschritt leicht nachvollzogen werden kann. Farbige<br />
Markierungen erleichtern zudem die Orientierung.<br />
Sollten Ihnen die 12 Prüfungsjahrgänge als Trainingsmaterial nicht reichen, finden Sie auf der beiliegenden CD<br />
weitere Übungsaufgaben zu den einzelnen Prüfungsthemen. Darüber hinaus enthält die CD wertvolle<br />
Rechentricks und Lösungsstrategien zu allen Prüfungsthemen, Lerntipps mit Checklisten zur<br />
Selbstkontrolle, einen Zeitplaner und eine kompakte Formelsammlung.<br />
Die Abschlussprüfung in Mathematik:<br />
Die Abschlussprüfung setzt sich aus einem Pflichtteil mit 8 Aufgaben und einem Wahlteil mit 4 Aufgaben<br />
zusammen. Von den Aufgaben des Pflichtteils müssen - wie der Name schon sagt - alle Aufgaben bearbeitet<br />
werden. Von den 4 Aufgaben des Wahlteils dürfen Sie sich 2 Aufgaben auswählen. Natürlich dürfen Sie auch<br />
mehr als 2 Wahlaufgaben bearbeiten. In die Wertung kommen dann aber nur die 2 besten Lösungen.<br />
Die Aufgaben des Pflichtbereichs sind zumeist weniger komplex aufgebaut. Hier sind vor allem<br />
Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten gefragt. Die Aufgaben des Wahlbereichs sind dagegen komplexer und<br />
haben einen höheren Schwierigkeitsgrad.<br />
Die Rechenwege müssen übersichtlich und nachvollziehbar sein. Endergebnisse sind auf mindestens eine<br />
Dezimale anzugeben.<br />
Für die gesamte Prüfung haben Sie 180 Minuten Zeit. Wie viel Sie davon für den Pflichtbereich und für den<br />
Wahlbereich verwenden, bleibt Ihnen überlassen. Als Hilfsmittel sind die in der Schule eingeführte<br />
Formelsammlung, ein nicht-programmierbarer Taschenrechner, Zeichengerät und eine Parabelschablone<br />
erlaubt.<br />
Die Themenbereiche umfassen Algebra, Trigonometrie, Stereometrie (Körperberechnung), Sachrechnen<br />
(Prozent- und Zinsrechnen) und seit 2008 auch Daten erfassen und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beachten<br />
Sie, dass das Thema „Stümpfe“ ab 2008 nicht mehr geprüft wird. Darauf brauchen Sie sich also nicht mehr<br />
vorzubereiten.<br />
Die Bewertungsskala: (Ab 2008 werden insgesamt 50 Punkte vergeben. Wenn Sie Ihre in den Prüfungen<br />
2008 - 2011 erreichte Punktzahl mit 0,66 multiplizieren, können Sie die Bewertungsskala auch für diese<br />
Jahrgänge benutzen.)<br />
2<br />
erreichte Note<br />
Punkte<br />
33,0 - 1,0<br />
32,5 - 1,0<br />
32,0 - 1,1<br />
31,5 - 1,2<br />
31,0 - 1,3<br />
30,5 - 1,3<br />
30,0 - 1,4<br />
29,5 - 1,5<br />
29,0 - 1,6<br />
28,5 - 1,6<br />
28,0 - 1,7<br />
27,5 - 1,8<br />
27,0 - 1,9<br />
26,5 - 1,9<br />
26,0 - 2,0<br />
25,5 - 2,1<br />
25,0 - 2,2<br />
erreichte Note<br />
Punkte<br />
24,5 - 2,2<br />
24,0 - 2,3<br />
23,5 - 2,4<br />
23,0 - 2,5<br />
22,5 - 2,5<br />
22,0 - 2,6<br />
21,5 - 2,7<br />
21,0 - 2,8<br />
20,5 - 2,8<br />
20,0 - 2,9<br />
19,5 - 3,0<br />
19,0 - 3,1<br />
18,5 - 3,1<br />
18,0 - 3,2<br />
17,5 - 3,3<br />
17,0 - 3,4<br />
16,5 - 3,5<br />
erreichte Note<br />
Punkte<br />
16,0 - 3,5<br />
15,5 - 3,6<br />
15,0 - 3,7<br />
14,5 - 3,8<br />
14,0 - 3,8<br />
13,5 - 3,9<br />
13,0 - 4,0<br />
12,5 - 4,1<br />
12,0 - 4,1<br />
11,5 - 4,2<br />
11,0 - 4,3<br />
10,5 - 4,4<br />
10,0 - 4,4<br />
9,5 - 4,5<br />
9,0 - 4,6<br />
8,5 - 4,7<br />
8,0 - 4,7<br />
erreichte Note<br />
Punkte<br />
7,5 - 4,8<br />
7,0 - 4,9<br />
6,5 - 5,0<br />
6,0 - 5,0<br />
5,5 - 5,1<br />
5,0 - 5,2<br />
4,5 - 5,3<br />
4,0 - 5,3<br />
3,5 - 5,4<br />
3,0 - 5,5<br />
2,5 - 5,6<br />
2,0 - 5,6<br />
1,5 - 5,7<br />
1,0 - 5,8<br />
0,5 - 5,9<br />
0,0 - 6,0
Inhalt:<br />
Prüfungsaufgaben 2000 ................................................................................. 4<br />
Prüfungsaufgaben 2001 ................................................................................. 6<br />
Prüfungsaufgaben 2002 ................................................................................. 8<br />
Prüfungsaufgaben 2003 ................................................................................ 11<br />
Prüfungsaufgaben 2004 ................................................................................ 14<br />
Prüfungsaufgaben 2005 ................................................................................ 17<br />
Prüfungsaufgaben 2006 ................................................................................ 19<br />
Prüfungsaufgaben 2007 ................................................................................ 21<br />
Prüfungsaufgaben 2008 ................................................................................ 24<br />
Prüfungsaufgaben 2009 ................................................................................ 27<br />
Prüfungsaufgaben 2010 ................................................................................ 30<br />
Prüfungsaufgaben 2011 ................................................................................ 33<br />
Lösungsübersicht ........................................................................................ 34<br />
Register .................................................................................................. 40<br />
CD-ROM:<br />
Lösungen 2000 – 2011: Übungsaufgaben zum Prüfungsstoff:<br />
<br />
<br />
<br />
Tipps und Tricks für die Prüfung:<br />
<br />
<br />
Lerntipps und Zeitplaner:<br />
<br />
<br />
<br />
Alle Formeln auf einen Blick:<br />
<br />
Die Dateien auf der CD-ROM haben das pdf-Format. Zum Ansehen und Ausdrucken wird der Acrobat-Reader TM<br />
benötigt, den man kostenlos aus dem Internet laden kann (www.adobe.com).<br />
3
Prüfung 2000<br />
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
4<br />
Prüfung 2000: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 34)<br />
Eine quadratische Pyramide hat die Maße:<br />
s = 11,3 cm und γ = 52,0°<br />
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.<br />
Aufgabe P2: (2,5 Punkte)<br />
Ein massiver Kegel mit dem Durchmesser<br />
d = 40,0 cm und der Höhe h = 15,0 cm wird durch<br />
einen Schnitt entlang der Höhe halbiert. Berechnen<br />
Sie die Oberfläche einer der Kegelhälften.<br />
Aufgabe P3: (2 Punkte)<br />
Für die untenstehende Figur gilt:<br />
AB = 10,8 cm; BC = 4,5 cm und α = 54,2°<br />
Berechnen Sie die Länge AS .<br />
A<br />
α<br />
D<br />
.<br />
Aufgabe P4: (2,5 Punkte)<br />
Vom rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben:<br />
AC = 10,0 cm und BC = 6,0 cm<br />
Der Winkel ŒACD wird von w halbiert.<br />
Berechnen Sie die Länge von w.<br />
w<br />
A D<br />
B<br />
C<br />
.<br />
.<br />
S<br />
γ<br />
s<br />
.<br />
C<br />
B<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
Lösen Sie das Gleichungssystem:<br />
1<br />
(1) 2x − y = 6<br />
2<br />
3<br />
(2) 3x + y = 21<br />
4<br />
Aufgabe P6: (2 Punkte)<br />
Eine Parabel hat die Gleichung y = x 2 − 8x + 9.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts.<br />
Diese Parabel wird um 2 Einheiten nach links und um<br />
2,5 Einheiten nach oben verschoben.<br />
Geben Sie die Gleichung der verschobenen Parabel in<br />
der Form y = x 2 + px + q an.<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
Doris zahlt drei Jahre hintereinander jeweils zum<br />
Anfang des Jahres einen gleichbleibenden Geldbetrag<br />
bei ihrer Bank ein. Der jährliche Zinssatz beträgt<br />
3,25 %. Zinsen werden mitverzinst.<br />
Nach Ablauf der drei Jahre hat sie ein Guthaben von<br />
5438,74 DM.<br />
Wie hoch war der jährlich eingezahlte Betrag ?<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Untenstehende Grafik zeigt die Prozentsätze der<br />
Mehrwertsteuer in einigen Ländern der Europäischen<br />
Union (Stand 1.1.1999).<br />
Zu einem Preis von 142,50 EUR kommen 28,50 EUR<br />
Mehrwertsteuer hinzu.<br />
In welchem Land ist dies der Fall ?<br />
Eine Ware kostet in Luxemburg einschließlich<br />
Mehrwertsteuer 172,50 EUR.<br />
Was kostet sie in Irland, wenn der Preis ohne<br />
Mehrwertsteuer in beiden Ländern gleich hoch ist ?<br />
Luxemburg 15 %<br />
Deutschland 16 %<br />
Spanien 16 %<br />
Portugal 17 %<br />
Niederlande 17,5 %<br />
Italien 20 %<br />
Frankreich 20,6 %<br />
Irland 21 %<br />
Finnland 22 %
Aufgabe W1:<br />
a) (4,5 Punkte)<br />
Prüfung 2000: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 34)<br />
Aus einem Kegelstumpf wurde eine Halbkugel<br />
herausgearbeitet. Für den Restkörper gilt:<br />
O = 1000 cm 2 (Oberfläche)<br />
d1 = 18,0 cm und d2 = 10,8 cm<br />
Berechnen Sie das Volumen des Restkörpers.<br />
b) (3,5 Punkte)<br />
d 2<br />
d 1<br />
Von einem quadratischen Pyramidenstumpf sind<br />
bekannt:<br />
V = 756 cm 3 ; a1 = 12,0 cm und a2 = 6,0 cm<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes ABCD.<br />
D<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (5 Punkte)<br />
C<br />
a 1<br />
a 2<br />
Vom Fünfeck ABCDE sind gegeben:<br />
BC = 3,5 cm; DE = 6,0 cm;<br />
A<br />
EA = 2,4 cm; α = 128°;<br />
A = 25,2 cm 2<br />
Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AB<br />
und den Winkel δ.<br />
E<br />
.<br />
α<br />
A<br />
D<br />
δ<br />
B<br />
.<br />
C<br />
B<br />
Noch Aufgabe W2:<br />
b) (3 Punkte)<br />
Gegeben ist das Dreieck ABC.<br />
A<br />
30°<br />
D<br />
2e<br />
C<br />
.<br />
45°<br />
B<br />
Prüfung 2000<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass<br />
sich der Umfang des Teildreiecks ABD mit folgender<br />
Formel berechnen lässt:<br />
u = e (2 + 2 + 6)<br />
Aufgabe W3:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel p1 hat den<br />
Scheitel S(−1 | −2,5). Eine weitere Parabel p2 hat die<br />
Gleichung y = −x 2 + 2,5.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von<br />
p1 und p2.<br />
Diese Schnittpunkte liegen auf der Geraden g.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes<br />
der Geraden g mit der x-Achse.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die<br />
Lösungsmenge der Gleichung:<br />
2<br />
5x + 8x + 14 x + 1 3x + 5<br />
= −<br />
2<br />
2x − 24x + 72 x − 6 2x −<br />
12<br />
5
Prüfung 2001<br />
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
6<br />
Prüfung 2001: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 34)<br />
Ein Kegel und eine Halbkugel sind aus Holz gefertigt.<br />
Der Kegel hat die Maße:<br />
Grundkreisradius: r = 4,2 cm<br />
Körperhöhe: h = 9,5 cm<br />
Die Halbkugel hat die gleichgroße Oberfläche wie der<br />
Kegel. Berechnen Sie den Radius der Halbkugel.<br />
Aufgabe P2: (2 Punkte)<br />
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind<br />
gegeben:<br />
Grundkante: a = 5,8 cm<br />
Körperhöhe: h = 7,5 cm<br />
Berechnen Sie die Seitenkante s und die Höhe hs<br />
einer Seitenfläche.<br />
Aufgabe P3: (2 Punkte)<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den<br />
Scheitelpunkt S(−3 | 2).<br />
Der Punkt P(−5,5 | yp) liegt auf der Parabel.<br />
Berechnen Sie die Länge SP .<br />
Aufgabe P4: (2 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die<br />
Lösungsmenge der Gleichung:<br />
Aufgabe P5: (2,5 Punkte)<br />
Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt:<br />
x − 1 1 3<br />
+ =<br />
x + 2 x 4<br />
AB = 9,5 cm, α = 25,0° und AG = BG<br />
Wie groß ist β2 ?<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt<br />
des Dreiecks BCG.<br />
G<br />
C<br />
.<br />
α<br />
A B<br />
β 2<br />
Aufgabe P6: (2,5 Punkte)<br />
Gegeben ist der Würfel mit der Kantenlänge a = 7,2 cm.<br />
Der Streckenzug PQRS hat die Länge 22,7 cm.<br />
Der Winkel β beträgt 37,5°.<br />
Berechnen Sie die Länge PQ und den Winkel α.<br />
P<br />
Q<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
β<br />
a<br />
2<br />
a R<br />
Frau Huber legt einen Geldbetrag für drei Jahre bei<br />
der Bank an:<br />
Zinssatz im 1. Jahr: 2,75 %<br />
Zinssatz im 2. Jahr: 3,00 %<br />
Zinssatz im 3. Jahr: 3,50 %<br />
Zinsen werden mitverzinst. Am Ende des ersten<br />
Jahres werden 206,25 DM Zinsen gutgeschrieben.<br />
Wie viel DM Zinsen erhält Frau Huber in den drei<br />
Jahren insgesamt ?<br />
Um wie viel Prozent erhöht sich das Kapital im Laufe<br />
der drei Jahre ?<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
In der Europäischen Union hat 1 Euro den Wert:<br />
40,3399 BEF (Belgische Franc)<br />
0,787564 IEP (Irisches Pfund)<br />
1,95583 DEM (Deutsche Mark)<br />
40,3399 LUF (Luxemburgische Franc)<br />
1936,27 ITL (Italienische Lira)<br />
166,386 ESP (Spanische Peseta)<br />
6,55957 FRF (Französische Franc)<br />
2,20371 NLG (Niederländische Gulden)<br />
Der Listenpreis für ein bestimmtes Automodell<br />
beträgt in Deutschland 48 900 DEM, in Frankreich<br />
162 900 FRF.<br />
In welchem Land ist das Auto günstiger zu haben ?<br />
Um wie viel Prozent liegt das günstigere Angebot<br />
unter dem ungünstigeren ?<br />
In Spanien ist das Auto gleich teuer wie in<br />
Frankreich.<br />
Wie viel spanische Peseten (ESP) kostet das Auto ?<br />
α<br />
S
Aufgabe W1:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Prüfung 2001: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 34)<br />
Der Diagonalschnitt eines quadratischen<br />
Pyramidenstumpfs hat die Maße:<br />
AABCD = 55,0 cm 2 (Flächeninhalt) ;<br />
AB = 9,8 cm und CD = 4,8 cm<br />
Berechnen Sie die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs.<br />
Welche Höhe hat die Ergänzungspyramide ?<br />
A<br />
D<br />
b) (4 Punkte)<br />
Ein Zylinder mit zwei aufgesetzten Kegeln hat als<br />
Achsenschnitt ein regelmäßiges Sechseck mit dem<br />
Flächeninhalt A = 6e 2 3 .<br />
Berechnen Sie die Oberfläche des zusammengesetzten<br />
Körpers in Abhängigkeit von e ohne<br />
Verwendung gerundeter Werte.<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Vom Viereck ABCD sind gegeben:<br />
AB = 14,2 cm; AD = 6,9 cm;<br />
BC = 17,5 cm und β = 70,6°<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD<br />
sowie den Winkel ŒADC .<br />
D<br />
C<br />
. β<br />
A B<br />
C<br />
B<br />
Noch Aufgabe W2:<br />
b) (4 Punkte)<br />
Für das Trapez ABCD gilt:<br />
Prüfung 2001<br />
BC = 7,8 cm; CD = 7,0 cm und β = 61,2°<br />
DE liegt parallel zu BC und halbiert die Fläche des<br />
Trapezes. Berechnen Sie den Winkel α .<br />
D<br />
α<br />
β<br />
A<br />
E<br />
B<br />
Aufgabe W3:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = x 2 + px + 6 und<br />
geht durch den Punkt P(3 | 6).<br />
Eine Parabel p2 hat die Gleichung y = −2x 2 + c und<br />
geht durch den Punkt Q(2 | −2).<br />
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der<br />
beiden Parabeln.<br />
Zeichnen Sie die Parabeln in ein Koordinatensystem.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel wird von<br />
der Geraden g in den Punkten P1(1 | 3) und P2(6 | 8)<br />
geschnitten.<br />
Eine zur Geraden g parallele Gerade h geht durch den<br />
Punkt B(3,5 | −0,75).<br />
Weisen Sie rechnerisch nach, dass B der einzige<br />
gemeinsame Punkt der Parabel und der Geraden h<br />
ist.<br />
C<br />
7
Prüfung 2002<br />
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
8<br />
Prüfung 2002: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 35)<br />
Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt:<br />
s = 5,9 cm und β = 70,8°<br />
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.<br />
Aufgabe P2: (2 Punkte)<br />
Von einem Kegel sind bekannt:<br />
M = 154 cm 2 (Mantelfläche)<br />
r = 5,0 cm<br />
Ein Zylinder mit gleicher Grundfläche hat das<br />
gleichgroße Volumen wie der Kegel.<br />
Berechnen Sie die Höhe des Zylinders.<br />
Aufgabe P3: (2 Punkte)<br />
Lösen Sie das Gleichungssystem:<br />
s<br />
β<br />
3(x − 2y) − 2(y − x) = 14<br />
8(x − y) − 2x = 16<br />
Aufgabe P4: (2,5 Punkte)<br />
Gegeben sind eine nach oben geöffnete<br />
Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(0 | −2)<br />
1<br />
und eine Parabel mit der Gleichung y =<br />
2<br />
Zeichnen Sie die beiden Parabeln in ein gemeinsames<br />
Koordinatensystem und berechnen Sie die<br />
Koordinaten ihrer Schnittpunkte.<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
− x 2 + 4.<br />
Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 6,8 cm. Auf ihm<br />
liegt der Streckenzug PQR mit der Länge 14,9 cm.<br />
Wie groß ist der Winkel ε ?<br />
a<br />
a<br />
4<br />
P<br />
R<br />
ε<br />
Q<br />
a<br />
4<br />
Aufgabe P6: (2,5 Punkte)<br />
Das Viereck ABCD ist ein rechtwinkliges Trapez.<br />
Es gilt:<br />
AE = 2,1 cm; CE = 8,2 cm und β2 = 53,8°<br />
Berechnen Sie die Länge CD .<br />
D<br />
E<br />
A<br />
.<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
C<br />
.<br />
Im Herbst 2001 betrug der Preis eines Autos<br />
38 900,00 DM. Nach einer Preiserhöhung im Frühjahr<br />
2002 kostet das Auto 20 505,82 EUR.<br />
(Umrechnung: 1 EUR = 1,95583 DM)<br />
Um wie viel Prozent hat sich der Preis des Autos<br />
erhöht ?<br />
Der Preis eines anderen Wagens wurde um den<br />
gleichen Prozentsatz erhöht und stieg damit um<br />
784,58 EUR.<br />
Wie viel Euro kostet dieser Wagen nach der<br />
Preiserhöhung ?<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Barbara zahlt jeweils zu Jahresanfang einen Betrag<br />
von 1 200,00 EUR auf einen Ratensparvertrag ein.<br />
Der Zinssatz beträgt 4,5 %.<br />
Zinsen werden mitverzinst.<br />
Berechnen Sie das Guthaben nach Ablauf von<br />
3 Jahren.<br />
Anschließend lässt sie dieses Guthaben ohne weitere<br />
Einzahlung bei gleichem Zinssatz so lange bei der<br />
Bank, bis es auf 4 000,00 EUR angewachsen ist.<br />
Nach wie vielen Tagen ist dies der Fall ?<br />
β 2<br />
B
Aufgabe W1:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Vom Viereck ABCD sind gegeben:<br />
AB = 11,0 cm<br />
CD = 8,1 cm<br />
α1 = 31,0°<br />
γ = 126,0°<br />
Prüfung 2002: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 35)<br />
Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AC sowie<br />
den Winkel ŒCAD.<br />
Auf AC liegt ein Punkt E; er ist von A und D gleich weit entfernt.<br />
Berechnen Sie die Länge von AE .<br />
b) (4 Punkte)<br />
Der Umfang des Trapezes (siehe Skizze) lässt sich mit der<br />
Formel u = e (9 + 3 + 6 ) berechnen.<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte,<br />
dass gilt: tan ε = 3<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (4,5 Punkte)<br />
4<br />
2e<br />
ε<br />
α .<br />
1<br />
A B<br />
120°<br />
Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = x 2 + 2x + 3.<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel p2 hat den Scheitelpunkt S2(4 | −3).<br />
D<br />
Prüfung 2002<br />
Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden g1, die durch die Scheitelpunkte beider Parabeln geht.<br />
Eine Gerade g2 ist parallel zu g1 und geht durch den Schnittpunkt der beiden Parabeln.<br />
Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g2.<br />
Zeichnen Sie die beiden Parabeln und die beiden Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem.<br />
b) (3,5 Punkte)<br />
Berechnen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung:<br />
2<br />
3x + 11x − 15 x − 2 x + 1<br />
= −<br />
2<br />
3x − 75 2x − 10 3x + 15<br />
Aufgabe W3:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Von einem regelmäßigen sechsseitigen Pyramidenstumpf sind<br />
bekannt:<br />
a1 = 9,4 cm<br />
a2 = 4,8 cm<br />
M = 426 cm 2 (Mantelfläche)<br />
Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen AB .<br />
Die Raumdiagonale AB schneidet die Höhe CD im Punkt T.<br />
Berechnen Sie die Länge von TC .<br />
A<br />
a 1<br />
a 2<br />
D<br />
C<br />
T<br />
B<br />
γ<br />
C<br />
45°<br />
9
Prüfung 2002<br />
Noch Aufgabe W3:<br />
b) (4 Punkte)<br />
Aus einem Rechteck mit den Seiten a = 20,0 cm und b = 15,0 cm<br />
wird ein Kreisausschnitt ausgeschnitten (siehe Skizze).<br />
Der Kreisausschnitt wird Mantel eines Kegels.<br />
Berechnen Sie das Volumen des Kegels.<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Lineare und quadratische Funktionen: Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu<br />
und begründen Sie jeweils ihre Entscheidung.<br />
10<br />
-7<br />
(d)<br />
b) (4 Punkte)<br />
(a)<br />
-6 -5 -4 -3 -2 -1<br />
1 2 3 4 5<br />
Ein Körper hat das dargestellte Netz.<br />
Skizzieren Sie den Körper im Schrägbild.<br />
y<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
(c)<br />
Der Flächeninhalt des Netzes beträgt 125 cm 2 .<br />
Berechnen Sie im Körper die Länge der Strecke BS .<br />
8<br />
(b)<br />
x<br />
2a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
2a<br />
a<br />
2<br />
(1) y = 3x 2 − 3<br />
1<br />
(2) y = x + 5<br />
2<br />
(3) y = x2 1 − 3<br />
3<br />
(4) y = (x − 2) 2 + 3<br />
(5) y = (x − 3) 2 + 2<br />
(6) y = 3x 2 + 3<br />
a<br />
(7) y = x 2 + 8x + 13<br />
(8) y = x 2 − 8x + 13<br />
(9) y = 2x + 5<br />
2a a a a a 2a<br />
B<br />
S<br />
b
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
Prüfung 2003: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 35)<br />
Ein Körper besteht aus einer Halbkugel und einem<br />
aufgesetzten Kegel mit α = 45° (siehe Achsenschnitt).<br />
Das Volumen der Halbkugel beträgt 204 cm 3 .<br />
Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers.<br />
Aufgabe P2: (2 Punkte)<br />
Ein quadratisches Prisma und eine quadratische<br />
Pyramide haben gleichgroße Grundflächen.<br />
Das Prisma hat die Höhe h = 5,0 cm und die<br />
Grundkante a = 3,0 cm. Das Volumen der Pyramide<br />
ist halb so groß wie das Volumen des Prismas.<br />
Berechnen Sie die Höhe der Pyramide.<br />
Aufgabe P3: (2,5 Punkte)<br />
Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben:<br />
BC = 3,3 cm; DC = 4,4 cm und γ2 = 18,1°<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ADC.<br />
A B<br />
D<br />
Aufgabe P4: (2,5 Punkte)<br />
In der Figur ABCDE sind gegeben:<br />
BC = 7,0 cm; CD = 6,6 cm;<br />
DE = 5,4 cm und γ = 37,0°<br />
Berechnen Sie die Länge AE .<br />
E<br />
.<br />
D<br />
.<br />
A B<br />
α<br />
γ 2<br />
γ<br />
C<br />
.<br />
C<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
Prüfung 2003<br />
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der<br />
Gleichung:<br />
2<br />
2x + x − 9<br />
= x + 5<br />
x − 1<br />
Aufgabe P6: (2 Punkte)<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den<br />
Scheitelpunkt S(2 | −3).<br />
Die Gerade g hat die Steigung m = 1 und schneidet die<br />
Parabel in P(4 | 1).<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten<br />
Schnittpunkts von Parabel und Gerade.<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
Karl-Anton legt am Anfang eines Jahres einen<br />
bestimmten Geldbetrag bei der Bank an.<br />
Der jährlich gleichbleibende Zinssatz beträgt 3,5 %.<br />
Zinsen werden mitverzinst.<br />
Nach Ablauf des ersten Jahres hebt er 700,00 EUR ab,<br />
nach Ablauf des zweiten Jahres 500,00 EUR.<br />
Am Ende des dritten Jahres beträgt sein Sparguthaben<br />
3721,87 EUR.<br />
Berechnen Sie den ursprünglich angelegten Betrag.<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Das Diagramm zeigt die Aufteilung des<br />
Wasserverbrauchs eines Vier-Personen-Haushalts<br />
in den Jahren 1992 und 2002.<br />
Verbrauch 1992: 213 m 3 Verbrauch 2002: 185 m 3<br />
36 %<br />
32 %<br />
12 %<br />
10 %<br />
6 %<br />
4 %<br />
Um wie viel Prozent liegt der Wasserverbrauch 2002<br />
unter dem von 1992 ?<br />
Wie viel m 3 Wasser wurden im Jahr 2002 für die<br />
Toilettenspülung weniger verbraucht als 1992 ?<br />
Wie viel Liter Wasser wurden in dem Haushalt im Jahr<br />
2002 für das Geschirrspülen pro Tag durchschnittlich<br />
verbraucht ?<br />
43 %<br />
26 %<br />
15 %<br />
6 %<br />
6 %<br />
4 %<br />
11
Prüfung 2003<br />
Aufgabe W1:<br />
a) (4 Punkte)<br />
12<br />
Prüfung 2003: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 35)<br />
Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 10,0 cm bzw. 7,0 cm<br />
werden wie skizziert aneinander gelegt.<br />
P und R sind die Mittelpunkte der Diagonalen,<br />
Q ist der Mittelpunkt der Strecke AB .<br />
Berechnen Sie die Länge des Streckenzuges APQRB und die<br />
Größe des Winkels ŒRQP. A<br />
b) (4 Punkte)<br />
Die Punkte A(− 4 | 0) und B(0 | yB) bilden mit dem Koordinatenursprung ein rechtwinkliges Dreieck.<br />
Der Punkt B ist auf der y-Achse beweglich. Der Innenwinkel des Dreiecks bei A wird mit α bezeichnet.<br />
Der Winkel α ist von yB abhängig.<br />
Tabellieren Sie diese Abhängigkeit des Winkels α für yB von 0 bis 7 Einerschritten.<br />
Zeichnen Sie das zugehörige Schaubild.<br />
Wie groß ist jeweils yB, wenn α die Werte 30° bzw. 60° annimmt ?<br />
Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck jeweils, wenn α die Werte 30° bzw. 60° annimmt ?<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Gegeben ist ein Kegelstumpf mit:<br />
r1 = 8,8 cm<br />
h = 7,4 cm<br />
s = 7,8 cm<br />
Aus diesem Kegelstumpf wird bis zur halben Höhe<br />
ein weiterer Kegelstumpf herausgearbeitet<br />
(siehe Skizze).<br />
Um wie viel cm 2 vergrößert sich dadurch die<br />
Oberfläche des Körpers ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
Die vier dunkel eingefärbten Teilflächen eines<br />
regelmäßigen Fünfecks mit der Seitenlänge a = 7,6 cm<br />
bilden den Mantel einer quadratischen Pyramide.<br />
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.<br />
Der Punkt M liegt auf der Mitte von CS .<br />
Berechnen Sie die Länge von AM im Körper.<br />
s<br />
A<br />
P<br />
S<br />
a<br />
Q<br />
M x<br />
r 1<br />
R<br />
C<br />
B<br />
h
Aufgabe W3:<br />
a) (4,5 Punkte)<br />
Die Normalparabel p1 hat die Gleichung y = x 2 − 4x + 6. Die Normalparabel p2 ist nach unten geöffnet<br />
und hat den Scheitel S2(0 | 6). Durch die Schnittpunkte beider Parabeln verläuft die Gerade g.<br />
Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden.<br />
Die Gerade bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck.<br />
Berechnen Sie die restlichen Innenwinkel und den Umfang dieses Dreiecks.<br />
b) (3,5 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung:<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (5 Punkte)<br />
2<br />
2x + 1 x + 2 x + 2x − 1<br />
− =<br />
3x − 9 2x + 6 2<br />
x − 9<br />
Vom gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben:<br />
AB = 5,6 cm<br />
AD = 7,8 cm<br />
γ = 64,2°<br />
Berechnen Sie die Länge AE .<br />
Welchen Abstand hat E von BC ?<br />
b) (3 Punkte)<br />
Im nebenstehenden Dreieck ABC ist M der Mittel-<br />
punkt von CF .<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte,<br />
dass gilt:<br />
tan ε = 2<br />
3 3<br />
Prüfung 2003<br />
D C<br />
γ<br />
A<br />
ε<br />
A<br />
E<br />
.<br />
C<br />
M<br />
60°<br />
F<br />
.<br />
5e<br />
B<br />
45°<br />
B<br />
13
Prüfung 2004<br />
Aufgabe P1: (2,5 Punkte)<br />
Im Viereck ABCD sind gegeben:<br />
14<br />
Prüfung 2004: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 36)<br />
AC = 10,7 cm; AD = 5,5 cm;<br />
BC = 9,6 cm und β = 48,2°<br />
Berechnen Sie den Winkel α1.<br />
Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ACD ?<br />
D<br />
.<br />
α 1<br />
C<br />
A B<br />
Aufgabe P2: (2,5 Punkte)<br />
Das rechtwinklige Dreieck ABD und das gleichschenklige<br />
Dreieck ABC haben die Seite AB gemeinsam.<br />
Es gilt:<br />
AD = 3,1 cm; AC = BC = 5,9 cm und β1 = 31,7°<br />
Berechnen Sie den Winkel ε.<br />
D<br />
.<br />
A<br />
Aufgabe P3: (2 Punkte)<br />
Lösen Sie das Geichungssystem:<br />
ε<br />
C<br />
β 1<br />
(1) x + 2(y + 2) = 12<br />
1<br />
(2) (x + 4) − 3(y − 1) = −3<br />
2<br />
Aufgabe P4: (2 Punkte)<br />
Eine Parabel hat die Funktionsgleichung y =<br />
Zeichnen Sie das Schaubild der Parabel in ein<br />
Koordinatensystem.<br />
Die drei Schnittpunkte der Parabel mit den<br />
Koordinatenachsen bilden ein Dreieck.<br />
Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks.<br />
B<br />
β<br />
1<br />
− x<br />
4<br />
2 + 4.<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind<br />
gegeben: a = 6,4 cm und M = 170 cm 2 (Mantelfläche)<br />
Berechnen Sie die Höhe hs der Seitenfläche und den<br />
Winkel ε.<br />
Aufgabe P6: (2 Punkte)<br />
a<br />
Eine Kugel und ein Zylinder werden miteinander<br />
verglichen:<br />
− die Kugel hat das Volumen 268 cm 3 ,<br />
− der Radius der Kugel und der Grundkreisradius<br />
des Zylinders sind gleich lang,<br />
− die Oberfläche der Kugel und die Mantelfläche<br />
des Zylinders sind gleich groß.<br />
Berechnen Sie die Differenz der beiden Rauminhalte.<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
Corinna legt 4500,00 EUR zu folgenden Zinssätzen auf<br />
drei Jahre an: 1. Jahr: 1,50 %<br />
.<br />
h s<br />
2. Jahr: 2,25 %<br />
3. Jahr: 2,75 %<br />
Zinsen werden mitverzinst.<br />
Hans legt ebenfalls 4500,00 EUR auf drei Jahre an.<br />
Nach Ablauf des ersten Jahres erhält er 45,00 EUR<br />
Zinsen, nach Ablauf des zweiten Jahres 91,43 EUR.<br />
Zinsen werden mitverzinst.<br />
Welchen Zinssatz muss seine Bank im dritten Jahr<br />
gewähren, damit er nach den drei Jahren das gleiche<br />
Guthaben wie Corinna hat ?<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Eine Schule nutzt das untenstehende Angebot und<br />
kauft fünf Druckerpatronen. Vom Preis einschließlich<br />
16 % Mehrwertsteuer dürfen 2 % Skonto abgezogen<br />
werden. Es sind dann 205,20 EUR zu überweisen.<br />
Wie hoch ist der Katalogpreis für eine Einzelpatrone<br />
ohne den Mengenrabatt ?<br />
Angebot<br />
Bei Abnahme von mindestens<br />
5 Druckerpatronen erhalten Sie 5 % Rabatt !<br />
Die Katalogpreise enthalten keine<br />
Mehrwertsteuer !<br />
ε
Aufgabe W1:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Prüfung 2004: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 36)<br />
Ein Körper besteht aus zwei quadratischen Pyramiden mit gemeinsamer<br />
Grundfläche.<br />
Die Skizze zeigt den Diagonalschnitt des Körpers.<br />
Gegeben sind:<br />
s1 = 12,4 cm<br />
ε = 52,8°<br />
Das Volumen der unteren Pyramide ist doppelt so groß wie das der oberen.<br />
Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Die Zeichnung stellt das Netz eines Würfels mit der Kantenlänge a dar.<br />
3<br />
Es gilt: BC = a.<br />
4<br />
Zeichnen Sie ein Schrägbild des Körpers mit dem Dreieck ABC maßgerecht<br />
für a = 6 cm.<br />
Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von<br />
3<br />
a mit der Formel berechnen lässt: A = a 2<br />
8<br />
2<br />
Berechnen Sie die Länge der Strecke AC im Körper in Abhängigkeit von a<br />
ohne Verwendung gerundeter Werte.<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (4,5 Punkte)<br />
Die Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y = x 2 + 4x + 6.<br />
Verschiebt man diese Parabel um drei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten,<br />
entsteht die Parabel p2 mit dem Scheitelpunkt S2.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts Q der beiden Parabeln.<br />
Durch S2 und Q verläuft eine Gerade g. Die Gerade h verläuft parallel zur Geraden g und geht<br />
durch den Scheitelpunkt S1 der Parabel p1.<br />
Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden h.<br />
b) (3,5 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung:<br />
2<br />
x + 25x + 100 2x + 3 x − 6<br />
= −<br />
2<br />
2x + 20x + 50 x + 5 2x +<br />
10<br />
B<br />
.<br />
C<br />
ε<br />
Prüfung 2004<br />
s 1<br />
A<br />
15
Prüfung 2004<br />
Aufgabe W3:<br />
a) (5 Punkte)<br />
Das Fünfeck ABCDE besteht aus einem Quadrat und einem rechtwinkligen<br />
Dreieck. Gegeben sind:<br />
CD = 4,1 cm und γ = 33,4°<br />
Berechnen Sie die Länge BD und den Flächeninhalt des Vierecks<br />
ABDE.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Im Rechteck ABCD gilt: AD = 2e und β1 = 30°<br />
Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt der Vierecks ASED<br />
mit der Formel berechnen lässt: A = 11 2<br />
e 3<br />
6<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (4 Punkte)<br />
16<br />
D<br />
D .<br />
γ<br />
E C<br />
A B<br />
A B<br />
Das Bild zeigt Parabeln und Geraden. Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu.<br />
Begründen Sie Ihre Entscheidungen.<br />
-7<br />
(a)<br />
(b)<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
2<br />
1<br />
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x<br />
b) (4 Punkte)<br />
y<br />
8<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
Ein massiver Körper hat die Form eines Kegelstumpfs.<br />
Aus ihm wird ein Teilkörper herausgearbeitet (siehe Skizze).<br />
Die Maße des Kegelstumpfs sind:<br />
(c)<br />
(d)<br />
V = 2311 cm 3 ; r1 = 9,4 cm und r2 = 5,8 cm<br />
Um wie viel Prozent hat sich die Oberfläche verändert ?<br />
(1) y = − x2 1 + 3<br />
2<br />
(2) y = − x2 1 + 3<br />
4<br />
(3) y = (x − 4) 2 − 3<br />
(4) y = (x + 4) 2 − 3<br />
(5) y = x 2 − 2x − 1<br />
(6) y = − 1 x + 2<br />
3<br />
(7) y = x 2 − 4x + 5<br />
(8) y = − 2x − 3<br />
(9) y = −3x + 2<br />
(10) y = −2x + 3<br />
(11) y = −0,5x + 3<br />
(12) y = − 1 x + 3<br />
5<br />
.<br />
.<br />
E<br />
r 2<br />
r 1<br />
S<br />
β 1<br />
C
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
Prüfung 2005: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 36)<br />
Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt:<br />
M = 54,9 cm 2 (Mantelfläche)<br />
hS = 6,1 cm (Höhe einer Seitenfläche)<br />
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.<br />
Aufgabe P2: (2,5 Punkte)<br />
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem<br />
Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Für den Kegel gilt:<br />
VKe = 115 cm 3 (Volumen) und hKe = 9,0 cm (Höhe)<br />
Die Höhe des Zylinders ist gleich lang wie die<br />
Mantellinie des Kegels. Berechnen Sie die Oberfläche<br />
des zusammengesetzten Körpers.<br />
Aufgabe P3: (2 Punkte)<br />
Lösen Sie die Gleichung:<br />
.<br />
2(2x − 5) (3x + 4) − (2 − 3x) 2 = (x + 3) 2 + 67<br />
Aufgabe P4: (2 Punkte)<br />
Eine Gerade g1 hat die Gleichung y = −2x − 2.<br />
Eine zweite Gerade g2 hat die Steigung m =<br />
2<br />
und schneidet die y-Achse im Punkt P(0 | 3).<br />
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der<br />
Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten<br />
Normalparabel p.<br />
Berechnen Sie die Gleichung der Parabel.<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
Das Viereck ABCD ist ein Quadrat.<br />
Es gilt: AE = 8,0 cm und α1 = 57,0°<br />
Berechnen Sie die Länge BE .<br />
D E<br />
α 1<br />
A B<br />
C<br />
1<br />
Aufgabe P6: (2,5 Punkte)<br />
Prüfung 2005<br />
Auf der Geraden AD liegen die Dreiecke ABC und BDE.<br />
Es gilt: AB = 5,4 cm; α = 48,0°;<br />
BE = 10,3 cm; δ = 74,0°<br />
Berechnen Sie die Länge CE .<br />
A<br />
C<br />
α α<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
B<br />
δ<br />
Ulrike legt bei ihrer Bank einen Betrag von 8000 EUR<br />
für drei Jahre an. Zinsen werden mitverzinst.<br />
Bis zum Ende der drei Jahre wächst ihr Guthaben um<br />
insgesamt 8,73 % an.<br />
Im ersten Jahr beträgt der Zinssatz 2,0 %. Im zweiten<br />
Jahr werden 204,00 EUR Zinsen gutgeschrieben.<br />
Wie hoch ist der Zinssatz im dritten Jahr ?<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Die Mietpreise für Wohnungen in einer Großstadt und<br />
in einer Kleinstadt werden verglichen.<br />
Bei den aufgeführten Wohnungen sind die Mieten in<br />
der Kleinstadt stets um den gleichen Prozentsatz<br />
niedriger als in der Großstadt.<br />
750 EUR<br />
Großstadt Kleinstadt<br />
E<br />
4-Zimmer-Wohnung<br />
2-Zimmer-Wohnung<br />
1-Zimmer-Wohnung<br />
δ<br />
D<br />
369 EUR<br />
615 EUR<br />
Um wie viel Prozent ist die Miete für die 4-Zimmer-<br />
Wohnung in der Kleinstadt niedriger als in der<br />
Großstadt ?<br />
Wie hoch ist die Miete der 2-Zimmer-Wohnung in der<br />
Großstadt ?<br />
Die Miete der 1-Zimmer-Wohnung ist in der Kleinstadt<br />
um 54 EUR niedriger als in der Großstadt.<br />
Berechnen Sie beide Mietpreise.<br />
17
Prüfung 2005<br />
Aufgabe W1:<br />
a) (5 Punkte)<br />
Für die quadratische Pyramide gilt:<br />
18<br />
Prüfung 2005: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 36)<br />
AB = 5,6 cm; β = 65,0°; AE = BF = 3,0 cm<br />
E<br />
β<br />
A B<br />
S<br />
. G<br />
F<br />
Berechnen Sie die Länge GF sowie den Flächeninhalt<br />
des Vierecks BCGF.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Gegeben ist ein rechtwinkliges Trapez.<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte,<br />
dass gilt: tan α1 = 1<br />
3<br />
α 1<br />
e<br />
5<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (4,5 Punkte)<br />
C<br />
135°<br />
Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = x 2 + 4x + 1.<br />
Durch den Scheitelpunkt der Parabel und durch den<br />
Punkt P(6 | 5) geht die Gerade g1.<br />
Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g1.<br />
Eine zweite nach oben geöffnete Normalparabel p2<br />
hat den Scheitelpunkt S2(3 | yS).<br />
Er liegt auf der Geraden g1.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts A<br />
beider Parabeln.<br />
Durch den Schnittpunkt A verläuft eine zu g1<br />
parallele Gerade g2. Die Gerade g2 schneidet die<br />
Parabel p2 in einem weiteren Punkt. Berechnen Sie<br />
dessen Koordinaten.<br />
b) (3,5 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die<br />
Lösungsmenge der Gleichung:<br />
2x 57x 21 2x 1 3x 1<br />
2<br />
− + − + −<br />
6(x − 4)(x<br />
+ 3)<br />
= −<br />
3x − 12 2x + 6<br />
e<br />
Aufgabe W3:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Von einer regelmäßigen neunseitigen Pyramide sind<br />
bekannt:<br />
M = 300 cm 2 (Mantelfläche)<br />
a = 6,4 cm (Grundkante)<br />
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Ein Kreis wird in zwei Kreisausschnitte geteilt. Die<br />
Ausschnitte bilden jeweils den Mantel eines Kegels.<br />
Kegel 1<br />
K1 K2<br />
Für Kegel 1 gilt: V1 = 12 π e 3 ; h1 = 4e<br />
Kegel 2<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass<br />
für den Radius von Kegel 2 gilt: r2 = 2e<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Von einem quadratischen Pyramidenstumpf sind<br />
bekannt: a1 = 10, 8 cm; a2 = 6,2 cm; s = 7,5 cm<br />
A<br />
a 1<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Im Dreieck ABC liegt das Trapez ADEF. Gegeben sind:<br />
AF = 7,1 cm; FE = 5,0 cm; BC = 14,0 cm; α = 44,0°<br />
C<br />
A<br />
α<br />
F<br />
Berechen Sie den Flächeninhalt des Trapezes ADEF.<br />
a 2<br />
D<br />
C<br />
E<br />
s<br />
.<br />
B<br />
B
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
Prüfung 2006: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 37)<br />
Im Quadrat ABCD liegt der Streckenzug AEF.<br />
Es gilt: AE = 5,6 cm; EF = 4,7 cm und ϕ = 57,0°<br />
Berechnen Sie die Länge einer Quadratseite.<br />
D<br />
A<br />
F<br />
ϕ<br />
Aufgabe P2: (2,5 Punkte)<br />
Die Figur besteht aus den Dreiecken ABC und DFC.<br />
Bekannt sind:<br />
AB = 4,0 cm; BC = 7,4 cm und AE = 2,7 cm;<br />
AC ist die Winkelhalbierende von γ.<br />
Berechnen Sie die Länge DF .<br />
D<br />
.<br />
E<br />
.<br />
A B<br />
Aufgabe P3: (2 Punkte)<br />
E<br />
C<br />
.<br />
F<br />
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem<br />
Kegel und einer Halbkugel. Er hat die Oberfläche<br />
Oges = 149 cm 2 .<br />
Das Volumen der Halbkugel beträgt VHK = 97,7 cm 3 .<br />
Wie groß ist die Höhe des Kegels ?<br />
γ<br />
C<br />
B<br />
Aufgabe P4: (2 Punkte)<br />
Für ein regelmäßiges fünfseitiges Prisma gilt:<br />
Prüfung 2006<br />
M = 100 cm 2 (Mantelfläche); h = 8,0 cm (Körperhöhe)<br />
Berechnen Sie das Volumen des Prismas.<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
Lösen Sie das Gleichungssystem:<br />
(I) 5(y − 1) − 3(x − 7) = 1<br />
(II)<br />
2<br />
y +<br />
3<br />
20 + x<br />
Aufgabe P6: (2 Punkte)<br />
3<br />
= 1<br />
Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat den<br />
Scheitel S(0 | 4).<br />
Eine Gerade mit der Steigung m = 2 geht durch den<br />
Punkt P(0 | 1).<br />
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von<br />
Parabel und Gerade.<br />
Wie weit sind diese Schnittpunkte voneinander<br />
entfernt ?<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
Markus zahlt dreimal hintereinander jeweils zu<br />
Jahresbeginn 1500,00 EUR auf ein Konto ein.<br />
Der Zinssatz beträgt 2,25 %.<br />
Zinsen werden mitverzinst.<br />
Wie hoch ist das Guthaben von Markus am Ende der<br />
drei Jahre ?<br />
Bettina möchte dieses Guthaben bei gleichen<br />
Zinsbedingungen bereits nach zwei Jahren erreichen.<br />
Welche gleiche Rate muss sie jeweils zu Jahresanfang<br />
einzahlen ?<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Die Mehrwertsteuersätze in Europa sind unterschiedlich:<br />
Dänemark: 25 % Deutschland: 16 %<br />
Finnland: 22 % Irland: 21 %<br />
Ein Unternehmen bietet in seinen europäischen<br />
Filialen Nordic-Walking-Stöcke zum gleichen<br />
Nettopreis an. Auf diesen Nettopreis kommen je nach<br />
Land unterschiedliche Mehrwertsteuerbeträge.<br />
In Finnland kostet ein Paar dieser Stöcke<br />
einschließlich Mehrwertsteuer 41,48 EUR.<br />
Was bezahlt man dafür in den dänischen Filialen<br />
einschließlich Mehrwertsteuer ?<br />
Wie viel Euro sind diese Stöcke in Deutschland<br />
billiger als in Dänemark ?<br />
In Luxemburg ist ein Paar der Stöcke um 2,04 EUR<br />
günstiger als in Irland.<br />
Berechnen Sie den Mehrwertsteuersatz in Luxemburg.<br />
19
Prüfung 2006<br />
Aufgabe W1:<br />
a) (5 Punkte)<br />
In der Figur ABCDE sind gegeben:<br />
20<br />
Prüfung 2006: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 37)<br />
AB = 12,2 cm; AE = 8,5 cm; BC = 4,7 cm;<br />
β = 59,0° und ε = 41,0°<br />
ε<br />
E<br />
D<br />
.<br />
F<br />
.<br />
β<br />
A B<br />
Berechnen Sie die Länge DF .<br />
b) (3 Punkte)<br />
Die Figur zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit<br />
Katheten- und Hypotenusenquadrat.<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung<br />
gerundeter Werte:<br />
Der Abstand des Punktes F<br />
von der Geraden DE<br />
beträgt<br />
7<br />
e.<br />
2<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (5 Punkte)<br />
e<br />
60°<br />
.<br />
C<br />
D E<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel p und eine<br />
Gerade g1 schneiden sich in den Punkten A(2 | 5) und<br />
B(6 | −3). Berechnen Sie die Gleichungen von Parabel<br />
und Gerade.<br />
Die Gerade g2 ist parallel zur Geraden g1 und geht<br />
durch den Scheitelpunkt der Parabel.<br />
Die Koordinatenachsen bilden mit g2 ein Dreieck.<br />
Berechnen Sie den Umfang und die Innenwinkel dieses<br />
Dreiecks.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Geben Sie Definitionsmenge und die Lösungsmenge<br />
der Gleichung an:<br />
2<br />
4(2x − 4x − 1) x + 1 2x − 3<br />
= −<br />
2<br />
3x − 12 x + 2 3x − 6<br />
F<br />
Aufgabe W3:<br />
Aufgabe zu Stümpfen, kein Prüfungsthema mehr !<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (5 Punkte)<br />
Mit den Einzelteilen des Rechtecks ABCD wird die<br />
Oberfläche der quadratischen Pyramide vollständig<br />
beklebt.<br />
Es gilt:<br />
AABCD = 96 cm 2 (Flächeninhalt des Vierecks ABCD)<br />
DE = e = 3,0 cm<br />
D<br />
E<br />
A<br />
e<br />
e<br />
Berechnen Sie die Länge AE , das Volumen der<br />
quadratischen Pyramide und den Neigungswinkel einer<br />
Seitenkante zur Grundfläche.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit dem<br />
Flächeninhalt 34,5 cm 2 .<br />
Weiterhin gilt: AC = 5,8 cm und AM = MB<br />
A<br />
C<br />
.<br />
D<br />
M<br />
Das Dreieck MBD nimmt ein Drittel der Fläche des<br />
Dreiecks ABC ein.<br />
Berechnen Sie die Länge BD .<br />
C<br />
B<br />
e<br />
.<br />
B
Aufgabe P1: (2 Punkte)<br />
Prüfung 2007: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 37)<br />
Von einer quadratischen Pyramide sind gegeben:<br />
M = 63,0 cm 2 (Mantelfläche)<br />
a = 4,2 cm<br />
Berechnen Sie den Winkel ε zwischen der Seitenkante<br />
und der Grundfläche der Pyramide.<br />
Aufgabe P2: (2 Punkte)<br />
a<br />
Die Skizze zeigt den Achsenschnitt eines Kegels.<br />
Es gilt:<br />
s = 6,2 cm und γ = 48,0°<br />
Eine Kugel hat das gleiche Volumen wie der Kegel.<br />
Berechnen Sie den Radius der Kugel.<br />
Aufgabe P3: (2,5 Punkte)<br />
γ<br />
.<br />
Gegeben sind das gleichschenklige Trapez ABCD und<br />
das rechtwinklige Dreieck ABE. Es gilt:<br />
AB = 18,0 cm; α = 36,0° und CD = 10,0 cm<br />
Berechnen Sie die Länge CE .<br />
A<br />
α<br />
D<br />
s<br />
ε<br />
E<br />
.<br />
C<br />
B<br />
Aufgabe P4: (2 Punkte)<br />
Prüfung 2007<br />
Auf dem Prisma liegt der Streckenzug PQR mit der<br />
Länge 9,1 cm. Es gilt: a = 2,8 cm und α = 47,9°<br />
Berechnen Sie den Winkel ε.<br />
Aufgabe P5: (2 Punkte)<br />
Lösen Sie die Gleichung:<br />
P<br />
.<br />
a<br />
α<br />
.<br />
a<br />
Q<br />
2a<br />
2<br />
2<br />
x + x + 4 (x − 2)(x + 3) (x − 1)<br />
+<br />
=<br />
3<br />
2<br />
3<br />
Aufgabe P6: (2,5 Punkte)<br />
Eine Parabel hat die Gleichung y = ax 2 − 4,5 und geht<br />
durch den Punkt P(−2 | −2,5). Berechnen Sie a.<br />
Zeichnen Sie das Schaubild der Parabel in ein<br />
Koordinatensystem.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von<br />
Parabel und x-Achse.<br />
Aufgabe P7: (2 Punkte)<br />
Der Mehrwertsteuersatz wurde in Deutschland am<br />
1.1.2007 von 16 % auf 19 % angehoben.<br />
Der Endpreis eines Mountainbikes hat sich dadurch<br />
um 40,50 EUR erhöht.<br />
Wie viel Euro kostet jetzt das Mountainbike<br />
einschließlich der Mehrwertsteuer ?<br />
Guido behauptet: Der Endpreis hat sich durch die<br />
Erhöhung der Mehrwertsteuer um 3 % erhöht.<br />
Überprüfen Sie diese Behauptung.<br />
Aufgabe P8: (2 Punkte)<br />
Ein Guthaben von 5 000,00 EUR wird für drei Jahre<br />
angelegt. Zinsen werden mitverzinst.<br />
Die Zinssätze der ersten beiden Jahre sind:<br />
Zinssatz im 1. Jahr: 2,5 %<br />
Zinssatz im 2. Jahr: 3,25 %<br />
Für die drei Jahre werden insgesamt 503,23 EUR<br />
Zinsen gutgeschrieben.<br />
Wie hoch ist der Zinssatz im dritten Jahr ?<br />
Bei welchem gleichbleibenden Zinssatz wäre nach<br />
drei Jahren das gleiche Endkapital erzielt worden ?<br />
ε<br />
R<br />
21
Prüfung 2007<br />
Aufgabe W1:<br />
a) (5 Punkte)<br />
22<br />
Prüfung 2007: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 37)<br />
Gegeben sind das gleichschenklige Dreieck ABC und<br />
das rechtwinklige Dreieck CDE. Es gilt:<br />
AC = BC<br />
AB = 10,0 cm<br />
AD = 3,6 cm<br />
α = 58,0°<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BFE.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist D der Mittelpunkt<br />
der Seite AC .<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass<br />
der Flächeninhalt des Vierecks EBCD mit der Formel<br />
13 2<br />
A = e 3<br />
6<br />
berechnet werden kann.<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (5 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden<br />
verschobenen Normalparabeln (entnehmen Sie<br />
die erforderlichen Werte der Zeichnung).<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des<br />
Schnittpunkts P der beiden Parabeln.<br />
Die Gerade g geht durch die Punkte P und S1.<br />
Die Gerade h verläuft parallel zu g und geht<br />
durch S2.<br />
Berechnen Sie die Gleichung von h.<br />
Die Gerade h bildet mit der x-Achse und<br />
der y-Achse ein Dreieck.<br />
Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.<br />
b) ( 3 Punkte)<br />
Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung an:<br />
24x 5x 26 4x 5 2x 3<br />
(6x 4)(3x 2) 3x 2 2(3x 2)<br />
2<br />
−<br />
− − +<br />
= −<br />
+ − − +<br />
r<br />
A<br />
S 1<br />
A<br />
30°<br />
D<br />
. α<br />
D<br />
e<br />
.<br />
E<br />
y<br />
4<br />
2<br />
C<br />
-6 -4 -2 0 2 4 6<br />
-2<br />
-4<br />
F<br />
C<br />
.<br />
S 2<br />
B<br />
E<br />
B<br />
x<br />
v<br />
r
Aufgabe W3:<br />
a) (5 Punkte)<br />
Ein regelmäßiges Fünfeck hat die Seitenlänge<br />
a = 3,6 cm.<br />
Verlängert man alle Fünfeckseiten, so entsteht das<br />
Netz einer regelmäßigen Pyramide.<br />
Berechnen Sie die Mantelfläche und das Volumen der<br />
Pyramide.<br />
b) (3 Punkte)<br />
Der Achsenschnitt eines Zylinders ist ein Quadrat<br />
mit der Seitenlänge e.<br />
Aus dem Zylinder wird ein Kegel mit halber<br />
Zylinderhöhe herausgearbeitet und oben aufgesetzt.<br />
Weisen Sie nach, dass die Oberfläche des neu<br />
e<br />
entstandenen Körpers um 2 1)<br />
2<br />
2<br />
π<br />
( −<br />
größer ist als die des Zylinders.<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (4 Punkte)<br />
Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen<br />
AB = 6,0 cm und BC = 3,0 cm.<br />
Von seiner Fläche werden 80 % durch das<br />
gleichschenklige Dreieck ABE überdeckt.<br />
Berechnen Sie den Abstand des Punktes E von der<br />
Strecke AB .<br />
b) (4 Punkte)<br />
Ein kegelförmiges Gefäß ist gegeben durch:<br />
h = 8,0 cm<br />
r = 3,5 cm<br />
7<br />
Es ist zu seiner Höhe mit Wasser gefüllt.<br />
8<br />
Eine Kugel taucht vollständig in das Gefäß ein.<br />
Dadurch steigt der Wasserspiegel genau bis zum<br />
Rand des Gefäßes.<br />
Bestimmen Sie den Radius der Kugel.<br />
e e<br />
D<br />
E<br />
A B<br />
r<br />
a<br />
C<br />
h<br />
Prüfung 2007<br />
r<br />
23
Prüfung 2008<br />
Aufgabe P1: (4,5 Punkte)<br />
24<br />
Prüfung 2008: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Gegeben sind das Rechteck ABCD und das<br />
gleichschenklige Dreieck AEF. Es gilt:<br />
ϕ = 38,0°; AD = 5,4 cm;<br />
FG = 4,2 cm; AF = EF<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BEG.<br />
D F C<br />
ϕ .<br />
A B E<br />
Aufgabe P2: (4 Punkte)<br />
Vom Viereck ABCD sind bekannt:<br />
BC = 6,6 cm; AD = 10,8 cm;<br />
α = 47,0° und γ = 132,0°<br />
Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AB .<br />
Berechnen Sie die Länge AC .<br />
α<br />
A B<br />
Aufgabe P3: (4 Punkte)<br />
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind<br />
bekannt: h = 8,4 cm und s = 10,2 cm<br />
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.<br />
s<br />
h<br />
.<br />
D<br />
γ<br />
C<br />
G<br />
Aufgabe P4: (4 Punkte)<br />
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem<br />
Zylinder und einem Kegel.<br />
Der Achsenschnitt des Zylinders<br />
ist ein Quadrat.<br />
Es gilt:<br />
A ges = 67,0 cm 2<br />
(Flächeninhalt der abgebildeten<br />
Achsenschnittfläche)<br />
a = 6,2 cm<br />
Berechnen Sie die Oberfläche<br />
des zusammengesetzten<br />
Körpers.<br />
Aufgabe P5: (3,5 Punkte)<br />
Geben Sie die Definitionsmenge und die<br />
Lösungsmenge der Gleichung an:<br />
2<br />
4x + 3x − 6 4 + x 1−<br />
3x<br />
+ =<br />
2<br />
x + 2x x + 2 x<br />
Aufgabe P6: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie das Gleichungssystem:<br />
3y − 7<br />
− 5 = x<br />
2<br />
x + 3<br />
y − 6 =<br />
5<br />
Aufgabe P7: (3 Punkte)<br />
Gabi legt bei ihrer Bank 2500,00 EUR zu folgenden<br />
Zinssätzen auf drei Jahre an. Zinsen werden<br />
mitverzinst: 1. Jahr: 3,50 %<br />
2. Jahr: 3,75 %<br />
3. Jahr: 4,25 %<br />
Das angesparte Geld lässt sie nach Ablauf der drei<br />
Jahre ein weiteres Jahr bei der Bank. Für dieses<br />
vierte Jahr erhält sie 132,93 EUR Zinsen.<br />
Wie hoch ist der Zinssatz im vierten Jahr ?<br />
Aufgabe P8: (4 Punkte)<br />
In einem Behälter liegen fünf blaue, drei weiße und<br />
zwei rote Kugeln. Mona zieht eine Kugel, notiert die<br />
Farbe und legt die Kugel wieder zurück. Danach zieht<br />
sie eine zweite Kugel.<br />
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei<br />
gleichfarbige Kugeln gezogen werden ?<br />
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den<br />
beiden gezogenen Kugeln eine rot und eine weiß ist ?<br />
a
Aufgabe W1:<br />
Prüfung 2008: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
a) Gegeben ist das Trapez ABCD. Es gilt:<br />
AB = 8,0 cm<br />
BC = 4,2 cm<br />
β = 41,0°<br />
AD = CD<br />
Berechnen Sie den Winkel α.<br />
b) Gegeben ist das Dreieck ABC.<br />
Der Punkt M halbiert die Strecke BC .<br />
Weisen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte nach,<br />
dass für den Flächeninhalt des Dreiecks ABM gilt:<br />
e<br />
AABM = ( 1 3)<br />
2<br />
+<br />
4<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt:<br />
a = 7,6 cm und s = 10,2 cm<br />
Der Punkt G halbiert die Seitenkante s.<br />
Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks AFG.<br />
b) Aus einem massiven Kegel wurde ein Teil<br />
ausgeschnitten.<br />
Es gilt: h = 4e<br />
r = 3e<br />
α = 120°<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass<br />
die Oberfläche des neu entstandenen Körpers um<br />
kleiner ist.<br />
4e 2 (2π − 3)<br />
D C<br />
Prüfung 2008<br />
(5,5 Punkte)<br />
α<br />
β<br />
A B<br />
30°<br />
A B<br />
A<br />
e<br />
2<br />
r<br />
a<br />
C<br />
105°<br />
G<br />
α<br />
h<br />
r<br />
s<br />
M<br />
F<br />
(4,5 Punkte)<br />
(5,5 Punkte)<br />
(4,5 Punkte)<br />
25
Prüfung 2008<br />
Aufgabe W3:<br />
26<br />
Prüfung 2008: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
a) Eine Parabel p1 hat die Gleichung y = −x 2 + 5. (5,5 Punkte)<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel p2 hat den Scheitel S2(2 | −5).<br />
Durch die gemeinsamen Punkte der beiden Parabeln verläuft eine Gerade.<br />
Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden rechnerisch.<br />
Berechnen Sie die Winkel, unter denen die Gerade die x-Achse schneidet.<br />
b) Von einer nach oben geöffneten Normalparabel p1 sind die Schnittpunkte (4,5 Punkte)<br />
mit der x-Achse bekannt:<br />
N1(1 | 0) und N2(5 | 0)<br />
Durch den Scheitelpunkt der Parabel p1 verläuft die Gerade g mit der Steigung m = −1.<br />
Auf dieser Geraden liegt der Scheitelpunkt einer zweiten nach oben geöffneten Normalparabel,<br />
die mit der x-Achse nur einen gemeinsamen Punkt hat.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Parabeln.<br />
Aufgabe W4:<br />
a) Ein Glücksrad mit den Mittelpunktswinkeln 60°;<br />
120°; und 180° ist mit den Zahlen 20; 10 und 6<br />
beschriftet.<br />
Es wird zweimal gedreht.<br />
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die<br />
Summe der erhaltenen Zahlen genau 30 ergibt ?<br />
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die<br />
Summe größer als 12 ist ?<br />
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe<br />
kleiner als 30 ?<br />
3<br />
b) Das regelmäßige Sechseck hat die Seitenlänge e.<br />
2<br />
Die vier grau eingefärbten Dreiecke bilden die<br />
Mantelfläche einer quadratischen Pyramide.<br />
• Berechen Sie ohne Verwendung gerundeter<br />
Werte das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit<br />
von e.<br />
• Der Neigungswinkel zwischen einer Seitenfläche<br />
und der Grundfläche der Pyramide wird mit ϕ<br />
bezeichnet.<br />
Zeigen Sie, dass gilt: tan ϕ = 2<br />
3<br />
e<br />
2<br />
6<br />
20<br />
10<br />
(6 Punkte)<br />
(4 Punkte)
Aufgabe P1: (4,5 Punkte)<br />
Prüfung 2009: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit<br />
einem einbeschriebenen Rechteck DEFG.<br />
Es gilt: = 51,3°; AG = 3,1 cm;<br />
AB = 7,2 cm; AC = BC<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks GFC.<br />
A<br />
α<br />
G<br />
C<br />
D E<br />
Aufgabe P2: (4 Punkte)<br />
Die Dreiecke ABC und ABD haben die Seite AB<br />
gemeinsam. Es gilt:<br />
AB = 6,8 cm; = 57,7° und DE = 3,9 cm<br />
F<br />
Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von AB.<br />
A<br />
D<br />
Aufgabe P3: (4,5 Punkte)<br />
E<br />
.<br />
γ<br />
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem<br />
Zylinder und einem Kegel. Es gilt:<br />
VK = 223 cm 3 (Volumen des Kegels)<br />
hK = 8,5 cm (Höhe des Kegels)<br />
Oges = 344 cm 2 (Oberfläche des zusammen-<br />
gesetzten Körpers)<br />
Berechnen Sie die Höhe des Zylinders.<br />
C<br />
B<br />
B<br />
Aufgabe P4: (4 Punkte)<br />
Prüfung 2009<br />
Eine Gerade hat die Gleichung y = 2x − 5.<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den<br />
Scheitelpunkt S(3|−2).<br />
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von<br />
Gerade und Parabel.<br />
Bestimmen Sie die Entfernung der Schnittpunkte<br />
rechnerisch.<br />
Aufgabe P5: (3 Punkte)<br />
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die<br />
Lösungsmenge der Gleichung:<br />
Aufgabe P6: (3 Punkte)<br />
x + 4 5<br />
−<br />
3x<br />
=<br />
+ x − 7<br />
x − 1 x x(x − 1)<br />
Frau Schön legt einen Betrag von 10 000,00 EUR für<br />
die Dauer von vier Jahren zu einem Zinssatz von<br />
4,2 % an. Zinsen werden mitverzinst.<br />
Frau Reiche will ebenfalls 10 000,00 EUR anlegen. Die<br />
Zinsen sollen mitverzinst werden. Sie möchte jedoch<br />
schon nach drei Jahren das gleiche Endkapital wie<br />
Frau Schön angespart haben.<br />
Welchen jährlich gleichbleibenden Zinssatz müsste<br />
Frau Reiche vereinbaren ?<br />
Aufgabe P7: (3,5 Punkte)<br />
Die Jungen der Klassen 8a und 8b werden gemeinsam<br />
in einer Sportgruppe unterricht. Beim Ballwurf werden<br />
von den 10 Schülern der 8a und den 13 Schülern<br />
der 8b folgende Weiten erzielt (Angaben in Meter):<br />
Klasse 8a:<br />
Klasse 8b:<br />
2<br />
41,5 27,5 32 39,5 32 29 27 42<br />
51 22,5<br />
33 19 26 36 25,5 41,5 36,5 30<br />
39,5 29,5 29 45,5 25<br />
Bestimmen Sie jeweils den Zentralwert und den<br />
Mittelwert (arithmetisches Mittel) der 8a und der 8b.<br />
Paul aus der Klasse 8a, der am weitesten geworfen<br />
hat, wird aus der Wertung genommen, weil er einen<br />
zu leichten Ball verwendet hat.<br />
Welche Auswirkungen hat dies auf den Zentralwert<br />
und das arithmetische Mittel der 8a ?<br />
Aufgabe P8: (3,5 Punkte)<br />
In einem Gefäß befinden sich eine weiße, vier rote<br />
und fünf blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei<br />
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei<br />
verschiedenfarbige Kugeln gezogen ?<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens<br />
eine der gezogenen Kugeln rot ist ?<br />
27
Prüfung 2009<br />
Aufgabe W1:<br />
a) (6 Punkte)<br />
28<br />
Prüfung 2009: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Auf einem Würfel liegt der Streckenzug RSTU mit der Länge 21,7 cm.<br />
Es gilt:<br />
a = 6,4 cm<br />
= 55,5°<br />
AT = FS = HR<br />
Berechnen Sie die Länge von BU .<br />
b) (4 Punkte)<br />
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC.<br />
Es gilt: AC = e 6 und CF = FB<br />
Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte,<br />
dass der Umfang des Dreiecks ABC mit der Formel<br />
u = 3e ( 2 + 6 )<br />
berechnet werden kann.<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (5,5 Punkte)<br />
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben:<br />
M = 126 cm 2 (Mantelfläche)<br />
hs = 8,4 cm (Höhe einer Seitenfläche)<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AFS.<br />
b) (4,5 Punkte)<br />
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einer Halbkugel und aus<br />
einem Kegel. Es gilt:<br />
Ages = 60,0 cm 2 (Flächeninhalt der gesamten Achsenschnittfläche)<br />
r = 5,4 cm (Radius der Halbkugel)<br />
h = 13,6 cm<br />
Berechnen Sie die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.<br />
A<br />
a<br />
H<br />
R<br />
α S F<br />
A T<br />
B<br />
C<br />
30°<br />
.<br />
A<br />
h<br />
F<br />
S<br />
.<br />
h s<br />
U<br />
F<br />
B
Aufgabe W3:<br />
a) (5,5 Punkte)<br />
Prüfung 2009: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 38)<br />
Eine nach oben geöffnete Normalparabel p1 verläuft durch die Punkte A(3|6) und B(4|11).<br />
Diese Parabel wird um 5 Einheiten nach links und um 5 Einheiten nach unten verschoben.<br />
Dadurch entsteht die Parabel p2 mit dem Scheitelpunkt S2.<br />
Prüfung 2009<br />
Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt P. Berechnen Sie die Entfernung der Punkte P und S2.<br />
b) (4,5 Punkte)<br />
• Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel hat die Koordinaten S(4| −2).<br />
Der Punkt P(2|yp) liegt auf der Parabel. Er bildet mit den Punkten A(−3|0) und B(1|0) ein Dreieck.<br />
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABP.<br />
• Der Punkt P wird auf der Parabel verschoben.<br />
Es gibt zwei Dreiecke ABP1 und ABP2, deren Flächeninhalt jeweils 20,5 FE (Flächeneinheiten) beträgt.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte P1 und P2.<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (6 Punkte)<br />
Zwei Spielwürfel werden geworfen.<br />
• Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme).<br />
Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis „Augensumme kleiner als 5“ ?<br />
• Bei einem Pasch sind die Augenzahlen gleich.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Pasch zu werfen ?<br />
• Nennen Sie zwei Ereignisse, für die sich die Wahrscheinlichkeit 12<br />
b) (4 Punkte)<br />
Aus einem Würfel wurde eine quadratische Pyramide<br />
herausgearbeitet.<br />
Es gilt: a = 2e<br />
• Zeigen Sie, dass die Oberfläche des Restkörpers mit<br />
der Formel O = 4e 2 (5 + 5 )<br />
berechnet werden kann.<br />
• Weisen Sie nach, dass gilt:<br />
1<br />
cos α = 6<br />
3<br />
1 ergibt.<br />
α<br />
a<br />
29
Prüfung 2010<br />
Aufgabe P1: (4 Punkte)<br />
Ein zusammengesetzter Körper<br />
besteht aus einem Zylinder mit<br />
aufgesetztem Kegel. Aus diesem<br />
Körper wird eine Halbkugel<br />
herausgearbeitet (siehe Achsenschnitt).<br />
Es gilt:<br />
r = 3,0 cm (Radius des Zylinders)<br />
h = 8,6 cm (Höhe des Zylinders)<br />
s = 3,8 cm (Mantellinie des Kegels)<br />
Prüfung 2010: Pflichtbereich (Lösungsübersicht auf Seite 39)<br />
Berechnen Sie das Volumen des Restkörpers.<br />
Aufgabe P2: (4,5 Punkte)<br />
Ein Quadrat und ein Rechteck haben die Punkte B<br />
und C gemeinsam. Es gilt:<br />
G<br />
F<br />
CD = 4,8 cm<br />
FH = 10,0 cm<br />
α = 57,0°<br />
Berechnen Sie<br />
den Umfang des<br />
Vierecks BEFC.<br />
Aufgabe P3: (4,5 Punkte)<br />
Das Schrägbild zeigt<br />
eine Pyramide in<br />
einem Würfel.<br />
E<br />
Es gilt:<br />
a = 8,0 cm<br />
und ε = 58,0°<br />
Wie groß ist<br />
das Volumen<br />
der Pyramide ?<br />
Berechnen Sie die<br />
Länge ES .<br />
Aufgabe P4: (3 Punkte)<br />
Lösen Sie das Gleichungssystem:<br />
x − 3<br />
(I) = y + 1<br />
2<br />
2x − 5<br />
(II) − 10 (y − 1) = 16<br />
3<br />
Aufgabe P5: (3,5 Punkte)<br />
D<br />
H<br />
A<br />
α<br />
1<br />
Die Gerade g hat die Steigung m = und schneidet<br />
2<br />
die y-Achse im Punkt P(0|3). Berechnen Sie die<br />
Koordinaten der Schnittpunkte von p und g.<br />
30<br />
a<br />
C<br />
S<br />
B<br />
M 2<br />
ε<br />
M 1<br />
Die nach unten geöffnete Parabel p hat die<br />
1 2<br />
Gleichung y = − x + 5.<br />
4<br />
Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.<br />
r<br />
s<br />
h<br />
E<br />
Aufgabe P6: (3,5 Punkte)<br />
In einem Behälter befinden sich drei blaue und drei<br />
rote Kugeln. Viola führt zwei Zufallsexperimente<br />
durch:<br />
Experiment 1: Sie zieht zwei Kugeln mit Zurücklegen.<br />
Experiment 2: Sie zieht zwei Kugeln ohne Zurücklegen.<br />
Sie vermutet: „In beiden Experimenten ist die<br />
Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln<br />
zu ziehen, fünfzig Prozent.“<br />
Überprüfen Sie diese Vermutung.<br />
Aufgabe P7: (3,5 Punkte)<br />
Die Klasse 10c wurde über die Anzahl der im letzten<br />
Monat versandten SMS befragt. Die Angaben der<br />
12 Jungen und 15 Mädchen sind:<br />
Jungen: 5 0 39 21 77 14 46 25 128 24 35 66<br />
Mädchen:<br />
37 29 67 36 10 47 34 177 56 116 28 51 80 0 132<br />
Um wie viel Prozent liegt das arithmetische Mittel der<br />
versandten SMS der 15 Mädchen über dem der 12 Jungen?<br />
Geben Sie die Zentralwerte der beiden Datenreihen an.<br />
Florian (20 SMS), Eva (15 SMS) und Laura (170 SMS)<br />
können ihre Werte erst nachträglich mitteilen.<br />
Welchen Einfluss hat dies auf die bereits ermittelten<br />
Zentralwerte? Begründen Sie Ihre Aussage.<br />
Aufgabe P8: (3,5 Punkte)<br />
Die Grafik veranschaulicht die Zuschauerentwicklung<br />
eines Fußballvereins von der Spielzeit 03/04 bis zur<br />
Spielzeit 08/09.<br />
Zuschauerzahlen<br />
470.000<br />
460.000<br />
450.000<br />
440.000<br />
430.000<br />
420.000<br />
410.000<br />
400.000<br />
03/04 04/05 05/06 06/07 07/08 08/09<br />
Spielzeiten<br />
Zwischen welchen Spielzeiten liegt die größte<br />
Steigung vor ? Wie viel Prozent beträgt sie ?<br />
(Entnehmen Sie der Zeichnung die notwendigen Werte<br />
so genau wie möglich.)<br />
Um die Zuschauerzahl für 09/10 vorhersagen zu<br />
können, wird die prozentuale Veränderung zwischen<br />
07/08 und 08/09 ermittelt. Diese prozentuale<br />
Veränderung verwendet der Verein für die Prognose.<br />
Mit welcher Zuschauerzahl kann er für 09/10 planen ?
Aufgabe W1:<br />
a) (6 Punkte)<br />
Im Quadrat ABCD gilt:<br />
δ = 66,0°<br />
= 97,0°<br />
AD = 6,3 cm<br />
DE = 4,1 cm<br />
Prüfung 2010: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 39)<br />
Berechnen Sie den Umfang des Vierecks DEFC.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Im Dreieck ABC liegt das gleichseitige Dreieck DBC.<br />
Der Mittelpunkt der Strecke AC wird mit M bezeichnet.<br />
Weisen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte nach, dass gilt:<br />
e<br />
MB = 2<br />
7<br />
Aufgabe W2:<br />
a) (6 Punkte)<br />
Ein zylinderförmiger Behälter hat eine kegelförmige<br />
Vertiefung.<br />
Er liegt waagerecht und ist zur Hälfte mit Wasser gefüllt.<br />
Die Maße sind:<br />
s = 8,0 cm<br />
d = 10,0 cm<br />
h = 20,0 cm<br />
Der Behälter wird senkrecht aufgestellt (siehe Skizze).<br />
Wie hoch steht das Wasser im aufgestellten Behälter ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
Aus einem rechteckigen Stück Papier wird der<br />
Mantel einer sechsseitigen Pyramide gefertigt.<br />
Der Punkt M ist Mittelpunkt der Seitenkante.<br />
Bestimmen Sie die Länge der Strecke MN in der<br />
Pyramide.<br />
D<br />
δ<br />
E<br />
ε<br />
Prüfung 2010<br />
A B<br />
30°<br />
.<br />
A D E<br />
s<br />
M x<br />
h<br />
70 cm<br />
d<br />
C<br />
N<br />
e<br />
C<br />
F<br />
31<br />
B
Prüfung 2010<br />
Aufgabe W3:<br />
a) (6 Punkte)<br />
32<br />
Prüfung 2010: Wahlbereich (Lösungsübersicht auf Seite 39)<br />
Im Schaubild sind die Geraden g1 und g2<br />
dargestellt.<br />
Entnehmen Sie zur Bestimmung ihrer<br />
Gleichungen geeignete Werte.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des<br />
Schnittpunkts P von g1 und g2.<br />
Die Punkte P und Q(2|−4) liegen auf einer<br />
nach oben geöffneten Normalparabel.<br />
Berechnen Sie die Koordinaten des<br />
Scheitelpunkts der Parabel.<br />
b) (4 Punkte)<br />
Gegeben sind die beiden Parabeln: p1: y = − 2<br />
Die beiden Parabeln schneiden sich in den Punkten P und Q.<br />
-1<br />
y<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
O<br />
g 1<br />
1 2<br />
1 x 2 + 5 und p2: y = x 2 − 1<br />
3<br />
4 5<br />
Die Punkte P und Q bilden zusammen mit den Scheitelpunkten S1 und S2 das Viereck S1PS2Q.<br />
Berechnen Sie seinen Flächeninhalt.<br />
Begründen Sie, weshalb das Viereck S1PS2Q ein Drachenviereck ist.<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (6 Punkte)<br />
Die beiden Glücksräder werden gedreht. Die<br />
Ergebnisse beider Glücksräder werden addiert.<br />
Es werden zwei Gewinnsituationen angeboten:<br />
Gewinnsituation A: „ Summe 8 oder 9“<br />
Gewinnsituation B: „alle anderen Summen“<br />
Für welche würden Sie sich entscheiden ?<br />
3<br />
135° 90°<br />
135°<br />
2<br />
1<br />
g 2<br />
5<br />
6 7 8<br />
4<br />
x<br />
60°<br />
180°<br />
120° 6<br />
Anschließend wird das rechte Glücksrad so verändert, dass die Sektoren der Zahlen 4 und 5 jeweils den<br />
Mittelpunktswinkel 90° erhalten.<br />
Für welche Gewinnsituation würden Sie sich jetzt entscheiden ?<br />
b) (4 Punkte)<br />
Ein quadratisches Blatt Papier<br />
(Format 10,0 cm x 10,0 cm) wird<br />
entlang von EB gefaltet.<br />
Die Strecke AE hat eine Länge von 4,0 cm.<br />
Berechnen Sie die Länge A' C nach der Faltung.<br />
D<br />
C<br />
E <br />
.<br />
A B<br />
D<br />
E<br />
A'<br />
.<br />
C<br />
B
Prüfung 2011:<br />
Die aktualisierte Auflage erscheint<br />
Anfang September 2011.<br />
www.matheverlag.com<br />
Prüfung 2011<br />
33
Lösungsübersicht 2000/2001<br />
Pflichtteil 2000:<br />
Aufgabe P1: Vp = 290,37 cm 3<br />
Aufgabe P2:<br />
Oberfläche einer Kegelhälfte: O = 1713,82 cm 2<br />
Aufgabe P3: AS = 7,42 cm<br />
Aufgabe P4: w = 5,92 cm<br />
Aufgabe P5: IL = { 5; 8 }<br />
Aufgabe P6: Scheitelpunkt S(4 | −7);<br />
verschobene Parabel p: y = x 2 − 4x − 0,5<br />
Aufgabe P7:<br />
Jährlich eingezahlter Betrag = 1700 DM<br />
Aufgabe P8:<br />
In Italien ist dies der Fall.<br />
Preis in Irland = 181,50 Euro.<br />
Pflichtteil 2001:<br />
Aufgabe P1: Radius der Halbkugel: R = 4,52 cm<br />
Aufgabe P2: s = 8,97 cm; hs = 8,49 cm<br />
Aufgabe P3: SP = 6,73 LE<br />
Aufgabe P4: ID = IR \ { −2 ; 0 }; IL = { 2 ; 4 }<br />
Aufgabe P5: β2 = 40°; ABCG = 6,74 cm 2<br />
Aufgabe P6: PQ = 5,91 cm; α = 34,5°<br />
Aufgabe P7: Zges = 715,25 DM; pges % = 9,5 %<br />
Aufgabe P8:<br />
In Frankreich ist das Auto günstiger − und zwar um<br />
p % = 0,67 %.<br />
In Spanien kostet es 4,1 Mio. spanische Peseten.<br />
34<br />
Lösungsübersicht 2000 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2000:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) Volumen des Restkörpers: VR = 1648,61 cm 3<br />
b) Trapezfläche AT = 114,57 cm 2<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Abstand von D zu AB: 5,6 cm ; Winkel δ = 95°<br />
b) Es ist u = AB + BD + AD .<br />
Mit AB = 2e 2 , BD = 2e und AD = e 6 − e 2<br />
ergibt sich die gesuchte Formel.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W3:<br />
a) Schnittpunkte zwischen p1 und p2:<br />
A(1|1,5) und B(−2|−1,5)<br />
Gerade g: y = x + 0,5<br />
Schnittpunkt von g mit der x-Achse: N(−0,5 | 0)<br />
b) ID = IR \ { 6 } , IL = { −<br />
4<br />
;<br />
1<br />
}<br />
3 2<br />
Lösungsübersicht 2001 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2001:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) M = 159,75 cm 2 ; hE = 7,23 cm<br />
b) Oges = 8π 3 e 2<br />
Aufgabe W2:<br />
a) AABCD = 146,2 cm 2 ; Winkel ŒADC = 138,9°<br />
b) Winkel α = 33,7°<br />
Aufgabe W3:<br />
a) Schnitt der beiden Parabeln: A(0 | 6) ; B(1 | 4)<br />
Scheitel der Parabeln: S1(1,5 | 3,75) ; S2(0 | 6)<br />
(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
b) Parabel p: y = x 2 − 6x + 8<br />
Gerade h: y = x − 4,25<br />
Gleichsetzen von h und p und lösen der Gleichung<br />
ergibt nur einen Schnittpunkt: B(3,5| −0,75)<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)
Pflichtteil 2002:<br />
Aufgabe P1: Vp = 26,47 cm 3<br />
Aufgabe P2: hZ = 2,81 cm<br />
Aufgabe P3: IL = { 2 ; − 1<br />
}<br />
2<br />
Aufgabe P4: Schnittpunkte A(2 | 2) und B(−2 | 2);<br />
(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe P5: ε = 68,7°<br />
Aufgabe P6: CD = 7,48 cm<br />
Aufgabe P7:<br />
Die prozentuale Erhöhung beträgt 3,1 %.<br />
Preis des anderen Wagens nach der Preiserhöhung:<br />
26 093,61 EUR.<br />
Aufgabe P8:<br />
Guthaben nach drei Jahren: K3 = 3 933,83 EUR<br />
Nach weiteren 135 Tagen ist das Guthaben<br />
auf 4000 EUR angewachsen.<br />
Pflichtteil 2003:<br />
Aufgabe P1: Oges = 227 cm 2<br />
Aufgabe P2: hpyr = 7,5 cm<br />
Aufgabe P3: AADC = 4,4 cm 2<br />
Aufgabe P4: AE = 5 cm<br />
Aufgabe P5: ID = IR \ { 1 }, IL = { −1 ; 4}<br />
Aufgabe P6: Der zweite Schnittpunkt ist S2(1|−2).<br />
Aufgabe P7:<br />
Ursprünglich angelegter Betrag: 4500 EUR<br />
Aufgabe P8:<br />
Rückgang von 1992 zu 2002 um 13,1 %;<br />
20,06 m 3 Wasser weniger für Toilettenspülung;<br />
30,4 Liter für Geschirrspülen pro Tag.<br />
Lösungsübersicht 2002/2003<br />
Lösungsübersicht 2002 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2002:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) Abstand von D zu AC: 7,46 cm<br />
b)<br />
Winkel ŒCAD = 37,6°; AE = 7,7 cm<br />
2e<br />
ε<br />
x<br />
120°<br />
z<br />
.<br />
y<br />
45°<br />
y<br />
tan ε =<br />
x + z<br />
Die Formel ergibt sich mit x = e, y = e 3 , z = 3e.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W2:<br />
a) g1: y = −x + 1; g2: y = −x + 7;<br />
(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
b) ID = IR \ { −5 ; 5 } , IL = { −2 ; 1}<br />
Aufgabe W3:<br />
a) AB = 16,9 cm; TC = 6,07 cm<br />
b) Kugelvolumen: Vk = 185,03 cm 3<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (a) → (3) , (b) → (2) , (c) → (5) , (d) → (7)<br />
(Begründung siehe ausführliche Lösungen.)<br />
b) BS = 7,7 cm<br />
Lösungsübersicht 2003 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2003:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) APQRB = 24,22 cm; Winkel ŒRQP = 90°.<br />
b)<br />
y b<br />
α<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
0° 14° 26,6° 36,9° 45° 51,3° 56,3° 60,3°<br />
(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Bei 30° ist yB = 2,31 LE, bei 60° ist yB = 6,93 LE.<br />
Flächeninhalte: A30° = 4,62 FE und A60° = 13,86 FE<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Die Oberfläche vergrößert sich um 50,68 cm 2 .<br />
b) Vp = 69,12 cm 3 ; AM = 8,26 cm<br />
Aufgabe W3: a) Gerade g: y = −2x + 6 ;<br />
Innenwinkel: α = 63,4°; β = 26,6°; u = 15,71 cm<br />
b) ID = IR \ { −3 ; 3 } , IL = { −2 }<br />
Aufgabe W4:<br />
a) AE = 4,37 cm ; Abstand von E zu BC: 6,94 cm<br />
CF<br />
b) Ansatz: tan ε = (Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
AF<br />
35
Lösungsübersicht 2004/2005<br />
Pflichtteil 2004:<br />
Aufgabe P1: α 1 = 42,0°; A ACD = 21,9 cm 2<br />
Aufgabe P2: ε = 96,5°<br />
Aufgabe P3: IL = { 2; 3 }<br />
Aufgabe P4: Scheitelpunkt: S(0|4)<br />
(Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht.<br />
Der Umfang beträgt u = 19,32 LE.<br />
Aufgabe P5: hs = 10,63 cm; ε = 65,5°<br />
Aufgabe P6: Differenz der Rauminhalte: 134,1 cm 3<br />
Aufgabe P7: p % = 3,5 %<br />
Aufgabe P8:<br />
Der Katalogpreis für eine Patrone ohne Mengenrabatt<br />
beträgt 38,00 EUR.<br />
Pflichtteil 2005:<br />
Aufgabe P1: Vp = 38,27 cm 3<br />
Aufgabe P2: Oges = 357,13 cm 2<br />
Aufgabe P3: IL = { −6 ; 10 }<br />
Aufgabe P4: S(−2|2); p: y = x 2 + 4x + 6<br />
Aufgabe P5: BE = 7,11 cm<br />
Aufgabe P6: CE = 8,85 cm<br />
Aufgabe P7: Zinssatz im 3. Jahr = 4 %<br />
Aufgabe P8:<br />
Die Miete für eine 4-Zimmerwohnung ist in der<br />
Kleinstadt um p % = 18 % günstiger.<br />
Die Miete für eine 2-Zimmerwohnung in der Großstadt<br />
beträgt 450 EUR.<br />
Miete für eine 1-Zimmerwohnung:<br />
In der Großstadt: 300 EUR<br />
In der Kleinstadt: 246 EUR<br />
36<br />
Lösungsübersicht 2004 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2004:<br />
Aufgabe W1: a) Oges = 748,8 cm 2<br />
b) Es ist: A ABC =<br />
Mit BC = a und d = a<br />
ergibt sich die Formel für A ABC.<br />
a<br />
AC =<br />
4<br />
3<br />
4<br />
33<br />
BC . d<br />
2<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Q(−1 | 3), Gerade h: y = −2x − 2<br />
b) ID = IR \ { −5 } , IL = { 4 }<br />
Aufgabe W3:<br />
a) BD = 7,94 cm; A ABDE = 21,3 cm 2<br />
2<br />
b) A ASED = A Rechteck − A ASB − A BCE . Mit AS = 3e, BS = e 3 ,<br />
AB = 6e<br />
und CE = 2e<br />
3<br />
3<br />
erhält man die Formel.<br />
3<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W4:<br />
a) (a) → (4), (b) → (12), (c) → (9), (d) → (7), (e) → (1)<br />
(Begründungen siehe ausführliche Lösungen.)<br />
b) Die Oberfläche nimmt um 6,08 % ab.<br />
Lösungsübersicht 2005 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2005:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) GF = 2,77 cm ; A = 13,6 cm 2<br />
b) Es gilt tan α1 =<br />
x<br />
y . Mit x = e<br />
2<br />
ergibt sich die gesuchte Formel.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W2:<br />
.<br />
C<br />
B<br />
a<br />
d<br />
.<br />
A<br />
a<br />
2 und y = 3e 2<br />
a) Gerade g1: y = x − 1; Schnittpunkt A(1 | 6);<br />
zweiter Schnittpunkt zwischen g2 und p2: B(6 | 11)<br />
b) ID = IR \ { −3 ; 4 } , IL = { 5<br />
Aufgabe W3:<br />
a) Vp = 472,6 cm 3<br />
b) r2 = 2e ergibt sich aus der Gleichung K2 = M2 und<br />
den Werten s = 5e und α2 = 144°.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W4:<br />
a) AABC = 61,46 cm 2<br />
b) AT = 31,35 cm 2<br />
3<br />
}<br />
2<br />
.
Pflichtteil 2006:<br />
Aufgabe P1: Quadratseite = 7,0 cm<br />
Aufgabe P2: DF = 7,7 cm<br />
Aufgabe P3: h = 4,8 cm (Kegelhöhe)<br />
Aufgabe P4: V = 86,0 cm 3 (Volumen des Prismas)<br />
Aufgabe P5: IL = { −5; −6 }<br />
Aufgabe P6:<br />
Schnittpunkte: A(1|3) und B(−3|−5)<br />
Abstand AB = 8,94 LE<br />
Aufgabe P7:<br />
Guthaben von Markus nach drei Jahren: 4705,55 EUR<br />
Rate von Bettina: 2275,41 EUR<br />
Aufgabe P8:<br />
In Dänemark kosten die Stöcke 42,50 EUR.<br />
In Deutschland sind die Stöcke um 3,06 EUR billiger.<br />
Mehrwertsteuersatz in Luxemburg: 15 %<br />
Pflichtteil 2007:<br />
Aufgabe P1: ε = 67,6°<br />
Aufgabe P2: Radius der Kugel: rKu = 2,08 cm<br />
Aufgabe P3: CE = 3,77 cm<br />
Aufgabe P4: ε = 36,4°<br />
Aufgabe P5: IL = { − 4; 1 }<br />
Aufgabe P6:<br />
a = 0,5 (Schaubild siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Schnitt mit x-Achse: N1(−3| 0) und N2(3| 0)<br />
Aufgabe P7:<br />
Der Preis einschließlich 19 % MwSt. ist 1606,50 EUR.<br />
Guidos Behauptung ist falsch.<br />
Der Preis mit 16 % MwSt. war 1566,00 EUR und erhöht<br />
sich nur um ca. 2,6 % auf 1606,50 EUR.<br />
Aufgabe P8:<br />
Zinssatz im dritten Jahr: p3 % = 4 %<br />
Gleichbleibender Zinssatz: p % = 3,25 %<br />
Lösungsübersicht 2006/2007<br />
Lösungsübersicht 2006 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2006:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) DF = 1,7 cm<br />
b) Beweis siehe ausführliche Lösungen.<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Parabel p: y = x 2 − 10x + 21;<br />
Scheitelpunkt: S(5|−4)<br />
Gerade g1: y = −2x + 9<br />
Umfang des Dreiecks: u = 36,7 LE<br />
Innenwinkel: 90°; 63,4°; 26,6°<br />
2<br />
b) ID = IR \ { −2; 2 } , IL = { − }<br />
7<br />
Aufgabe W3:<br />
a) h = 16,1 cm ; M = 600,2 cm 2 ; ε = 60,6°<br />
b) Nachweis mithilfe der Kegelradien r1 = 2e,<br />
r2 = 3e und dem Satz des Pythagoras.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W4:<br />
a) AE = 5,0 cm ; V = 48,0 cm 3 ;<br />
Neigungswinkel α = 43,3°<br />
b) BD = 7,93 cm<br />
Lösungsübersicht 2007 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2007:<br />
Aufgabe W1: a) ABFE = 5,32 cm 2<br />
b) AEBCD = AABC − AAED (Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W2:<br />
a) p 1: y = x 2 + 8x + 19 ; p 2: y = x 2 − 6x + 5 ;<br />
Schnittpunkt P(−1 | 12) ; Gerade h: y = 3x − 13<br />
Dreiecksfläche =<br />
169 2 2<br />
cm ≈ 28,17 cm<br />
6<br />
b) ID = IR \ {<br />
2<br />
− ;<br />
2<br />
} , IL = { −3 }<br />
3 3<br />
Aufgabe W3:<br />
a) Mantel M = 49,86 cm 2 ; Volumen V = 36,83 cm 3<br />
b) Oberfläche des Zylinders =<br />
e<br />
2<br />
2 π<br />
+ MZyl ;<br />
Oberfläche des neuen Körpers =<br />
e<br />
2<br />
2 π<br />
2 + MZyl. Die Differenz ergibt die gesuchte Formel.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W4:<br />
a) Der Abstand des Punktes E von AB ist 7,5 cm.<br />
b) Der Kugelradius beträgt r K = 2,0 cm.<br />
Sowohl in a) als auch in b) benötigt man den 2. Strahlensatz !<br />
37
Lösungsübersicht 2008/2009<br />
Pflichtteil 2008:<br />
Aufgabe P1: ABEG = 5,06 cm 2<br />
Aufgabe P2:<br />
Abstand von D zu AB: 7,90 cm<br />
Länge AC = 11,01 cm<br />
Aufgabe P3: V = 223 cm 3<br />
Aufgabe P4: O = 245,61 cm 2<br />
Aufgabe P5: ID = IR \ { −2; 0 } , IL = { 0,5 }<br />
Aufgabe P6: IL = { 2; 7 }<br />
Aufgabe P7:<br />
Zinssatz im vierten Jahr: p % = 4,75 %<br />
Aufgabe P8:<br />
p(gleiche Farbe) = 0,38 = 38 %<br />
p(eine rote, eine weiße Kugel) = 0,12 = 12 %<br />
Pflichtteil 2009:<br />
Aufgabe P1: AGFC = 3,44 cm 2<br />
Aufgabe P2:<br />
Abstand von D zur Strecke AB: 6,36 cm<br />
Aufgabe P3: Höhe des Zylinders: hz = 3,49 cm<br />
Aufgabe P4: Schnittpunkte: A(6|7) und B(2|−1)<br />
Entfernung beider Schnittpunkte: AB = 4 5 ≈ 8,94 LE<br />
Aufgabe P5: ID = IR \ { 0 ; 1 } , IL = { −3 ; 2 }<br />
Aufgabe P6: p % = 5,6 %<br />
Aufgabe P7:<br />
Klasse 8a: Zentralwert = 32 m; Durchschnitt = 34,4 m<br />
Klasse 8b: Zentralwert = 30 m; Durchschnitt = 32,0 m<br />
Klasse 8a ohne Paul:<br />
Zentralwert = 32 m; Durchschnitt = 32,56 m<br />
Aufgabe P8:<br />
P(zwei verschiedenfarbige Kugeln) = 64,4 %<br />
P(höchstens eine rote Kugel) = 86,7 %<br />
38<br />
Lösungsübersicht 2008 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2008:<br />
Aufgabe W1: a) Winkel α = 59,5°<br />
b) Beweis siehe ausführliche Lösungen<br />
Aufgabe W2: a) Umfang u = 25,57 cm<br />
b) Man muss die Oberfläche des ursprünglichen Kegels<br />
von der Oberfläche O neu des neuen Körpers abziehen.<br />
2 2<br />
Oneu besteht aus des Kegelmantels, des Grund-<br />
3<br />
3<br />
kreises und zwei Dreiecken.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W3:<br />
a) Gerade g: y = −2x + 2<br />
Schnittwinkel: α = 63,4° und β = 116,6°<br />
b) Schnittpunkt der Parabeln: P(0,5 | 2,25)<br />
1<br />
Aufgabe W4: a) P(Summe = 30) = ;<br />
9<br />
3 31<br />
P(Summe größer 12) = ; P(Summe < 30) =<br />
4<br />
36<br />
b) Volumen V = 16<br />
9 ⋅ 2 e 3<br />
Beweis für tan ϕ = 2 siehe ausführliche Lösungen.<br />
Lösungsübersicht 2009 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2009:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) BU = 2,96 cm<br />
b) Beweis siehe ausführliche Lösungen.<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Flächeninhalt: AAFS = 33,74 cm 2<br />
b) Oberfläche des Körpers: Oges = 311 cm 2<br />
Aufgabe W3:<br />
a) Scheitelpunkt S2(− 4|−3); Schnittpunkt P(−1|6)<br />
Entfernung der Punkte P und S2: d = 3 10 ≈ 9,5 LE<br />
b) Flächeninhalt AABP = 4 FE<br />
P1(7,5 | 10,25) und P2(0,5 | 10,25)<br />
Aufgabe W4:<br />
a) P(Augensumme kleiner als 5) =<br />
5<br />
P(kein Pasch) = ≈ 83,3 %<br />
6<br />
Mögliche Ereignisse für P =<br />
6<br />
≈ 16,7 % ;<br />
36<br />
1<br />
sind unter anderem<br />
12<br />
C: „Augensumme < 4“ ; D: „Augensumme = 10“.<br />
b) Beweise siehe ausführliche Lösungen.
Pflichtteil 2010:<br />
Aufgabe P1: VRest = 208,56 cm 3<br />
Aufgabe P2: Umfang u = 19,8 cm<br />
Aufgabe P3: VPyr = 128,21 cm 3 ; ES = 6,0 cm<br />
Aufgabe P4: IL = { 4 ; −0,5 }<br />
Aufgabe P5: Schnittpunkte: A(2|4) und B(− 4|1)<br />
Aufgabe P6: In Experiment 1 ist p = 50 %.<br />
In Experiment 2 ist p = 60 %. Die Vermutung ist falsch.<br />
Aufgabe P7: Das arithmetische Mittel der Mädchen<br />
(60 SMS) liegt um 50 % über dem der Jungen (40 SMS).<br />
Zentralwert der Jungen: zJu = 30<br />
Zentralwert der Mädchen: zMä = 47<br />
Der neue Zentralwert der Jungen ist 25.<br />
Der Zentralwert der Mädchen bleibt gleich, da sowohl<br />
in der unteren als auch in der oberen Hälfte der<br />
Datenreihe ein Wert dazukommt.<br />
Aufgabe P8: Die größte Steigung ist zwischen 05/06<br />
und 06/07. Ergebnis zwischen 8,4 % und 8,9 %.<br />
Rückgang zwischen 07/08 und 08/09 um ca. 1,5 %.<br />
Prognose für 09/10:<br />
Ergebnis zwischen 445 000 und 450 000 Zuschauer.<br />
Pflichtteil 2011:<br />
Lösungsübersicht 2010/2011<br />
Lösungsübersicht 2010 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2010:<br />
Aufgabe W1:<br />
a) Umfang des Vierecks DEFC: u = 17,57 cm<br />
b) MB kann im rechtwinkligen Dreieck MBC mit<br />
dem Satz des Pythagoras berechnet werden.<br />
(Details siehe ausführliche Lösungen.)<br />
Aufgabe W2:<br />
a) Wasservolumen VW = 703,72 cm 3 ;<br />
Wasserhöhe: 11,04 cm über dem Boden bzw.<br />
4,8 cm über der Kegelspitze<br />
b) MN = 31,03 cm<br />
Aufgabe W3:<br />
a) g1: y = 0,5x + 7; g2: y = 2x − 8; P(10|12)<br />
Parabel p: y = x 2 − 10x + 12; Scheitelpunkt S(5|−13)<br />
b) Schnittpunkte: P(2|3) und Q(−2|3)<br />
Flächeninhalt A = 12 cm 2 . PQ steht senkrecht auf<br />
S1S2 und wird von S1S2 halbiert.<br />
Aufgabe W4:<br />
a) Zunächst ist P(A) = P(B) = 50 %. Mit den neuen<br />
Sektoren ist P(A) = 46,9 % und P(B) = 53,1 %.<br />
b) A' C = 7,88 cm<br />
Lösungsübersicht 2011 (ausführliche Lösungen auf der CD)<br />
Wahlteil 2011:<br />
Die aktualisierte Auflage erscheint<br />
Anfang September 2011.<br />
www.matheverlag.com<br />
39
Register<br />
Beweise: 99-W1b, 2000-W2b, 2001-W3b, 2002-W1b,<br />
2003-W4b, 2004-W1b, 2004-W3b, 2005-W1b, 2005-W3b,<br />
2006-W1b, 2006-W3b, 2007-W1b, 2007-W3b, 2008-W1b,<br />
2008-W2b, 2008-W4b, 2009-W4b, 2009-W1b, 2010-W1b<br />
Bruchgleichungen: 99-W2b, 2000-W3b, 2001-P4, 2002-W2b,<br />
2003-P5, 2003-W3b, 2004-W2b, 2005-W2b, 2006-W2b, 2007-P5,<br />
2007-W2b, 2008-P5, 2009-P5<br />
Definitionsmenge: 99-W2b, 2000-W3b, 2001-P4, 2002-W2b,<br />
2003-P5, 2003-W3b, 2004-W2b, 2005-W2b, 2006-W2b,<br />
2007-W2b, 2008-P5, 2009-P5<br />
Dreisatzrechnung: 2001-P8, 2002-P7<br />
Durchschnitt: 2009-P7, 2010-P7<br />
Entfernung zweier Punkte: siehe Punktabstände<br />
Erhöhter und verringerter Grundwert: 2000-P8, 2001-P8,<br />
2002-P7, 2003-P8, 2004-P8, 2004-W4b, 2005-P8, 2010-P7+P8<br />
Geradengleichung: 2000-W3a, 2001-W3b, 2002-W2a,<br />
2003-P6, 2003-W3a, 2004-W2a, 2005-P4, 2005-W2a, 2006-P6,<br />
2006-W2a, 2007-W2a, 2008-W3a, 2008-W3b, 2010-W3a<br />
Gleichungssysteme: 2000-P5, 2002-P3, 2004-P3, 2006-P5,<br />
2008-P5, 2010-P4<br />
Kegel: 2000-P2, 2001-P1, 2002-P2, 2002-W2b,<br />
2003-P1, 2005-P2, 2006-P3, 2007-P2, 2007-W3b, 2008-P4,<br />
2009-P3, 2009-W2b, 2010-P1, 2010-W2a<br />
Kugel und Halbkugel: 99-P1, 99-W3a, 2000-P1, 2003-P1,<br />
2004-P6, 2006-P3, 2007-P2, 2007-W4b, 2009-W2b, 2010-P1<br />
Lösungsmenge: siehe Bruchgleichungen<br />
Mantelfläche: 99-P2, 2007-W3b, 2008-W2b, 2008-W4b<br />
Mehrwertsteuer: 2000-P8, 2004-P8, 2006-P8, 2007-P7<br />
Oberflächenberechnungen: 99-P1, 99-P2, 2000-P2,<br />
2001-W1b, 2003-W2a, 2004-W1a, 2004-W4b, 2005-P2,<br />
2007-W3b, 2008-P4, 2008-W2b, 2009-W2b, 2009-W4b<br />
Parabelgleichungen aufstellen:<br />
99-W2a, 2000-P6, 2001-W3a, 2001-W3b, 2004-W2a, 2004-W4a,<br />
2005-P4, 2006-P6, 2006-W2a, 2007-P6, 2007-W2a,<br />
2008-W3a+b, 2009-P4, 2009-W3a, 2009-W3b, 2010-W3a<br />
Parabelschaubild: 2001-W3a, 2002-P4, 2002-W2a,<br />
2002-W4a,2004-P4, 2004-W4a, 2007-P6<br />
Prisma: 2003-P2, 2006-P4, 2007-P4<br />
Prozentrechnung: 99-P8, 2001-P8, 2002-P7, 2003-P8,<br />
2004-P8, 2004-W4b, 2005-P8, 2006-P8, 2007-P7, 2010-P7+P8<br />
Punktabstände: 99-P4, 2001-P3, 2006-P6, 2009-P4, 2009-W3a<br />
Pyramide (quadratische): 99-P2, 2000-P1, 2002-P1,<br />
2003-W2b, 2004-W1a, 2005-P1, 2005-W1a, 2006-W4a, 2003-P2,<br />
2007-P1, 2008-W4b, 2009-W4b, 2010-P3<br />
Pyramide (fünfseitige): 2001-P2, 2004-P5, 2007-W3a,<br />
2008-P3, 2009-W2a<br />
Pyramide (sechsseitige): 2010-W2b<br />
Pyramide (mehrseitige): 2005-W3a<br />
Quadratische Gleichungen: 99-P3, 2005-P3, 2007-P5<br />
40<br />
Register<br />
Ratensparen: 2000-P7, 2002-P8, 2006-P7<br />
Schaubilder von Geraden: 99-W2a, 2002-W2a, 2010-W3a<br />
Schaubilder von Parabeln: 99-W2a, 2001-W3a, 2002-P4,<br />
2002-W2a, 2004-P4, 2007-P6<br />
Schaubilder von sonstigen Funktionen: 2003-W1b<br />
Schaubilder zuordnen: 2002-W4a, 2004-W4a<br />
Scheitelform: 99-P4, 99-W2a, 2000-P6, 2000-W3a, 2001-P3,<br />
2001-W3a, 2002-P4, 2002-W2a, 2002-W4a, 2003-P6,<br />
2003-W3a, 2004-W2a, 2004-W4a, 2005-P4, 2005-W2a,<br />
2006-P6, 2006-W2a, 2007-W2a, 2008-W3a+b, 2009-P4,<br />
2009-W3b<br />
Scheitelpunkt: 99-P4, 99-W2a, 2000-P6, 2005-P4,<br />
2005-W2a, 2006-W2a, 2007-P6, 2009-P4, 2010-W3a<br />
Schnittpunkt: 99-W2a, 2000-W3a, 2001-W3a, 2002-P4,<br />
2002-W2a, 2003-P6, 2004-P4, 2004-W2a, 2005-P4, 2005-W2a,<br />
2006-P6, 2007-P6; 2007-W2a, 2008-W3a, 2008-W3b, 2009-P4,<br />
2009-W3a, 2010-W3a+b<br />
Schrägbild: 2002-W4b, 2004-W1b<br />
Strahlensätze: 99-W3b, 2005-W4b, 2007-W4a+b, 2008-W1b,<br />
2008-W2a, 2010-W2b<br />
Trigonometrische Berechnungen in der Ebene:<br />
99-P5, 99-P6, 99-W1a, 99-W1b, 2000-P3, 2000-P4, 2000-W2a,<br />
2000-W2b, 2001-P5, 2001-W2a, 2001-W2b, 2002-P6,<br />
2002-W1a, 2002-W1b, 2003-P3, 2003-P4, 2003-W1a,<br />
2003-W4a, 2003-W4b, 2004-P1, 2004-P2, 2004-W3a,<br />
2004-W3b, 2005-P5, 2005-P6, 2005-W1b, 2005-W4b,<br />
2006-P1, 2006-P2, 2006-W1a, 2006-W4b, 2007-P3, 2007-P4,<br />
2007-W1a+b, 2007-W3, 2008-P1, 2008-P2, 2008-W1a,<br />
2009-P1, 2009-P2, 2010-P2, 2010-W1a, 2010-W4b<br />
Trigonometrische Berechnungen in Körpern:<br />
99-P1, 2000-P1, 2001-P6, 2002-P1, 2002-P5, 2003-P1,<br />
2004-P5, 2004-W1a, 2005-W1a, 2007-P1, 2007-P2, 2007-P4,<br />
2007-W3a, 2008-P3, 2008-W4b, 2009-W1a, 2009-W4b,<br />
2010-P3, 2010-W2b<br />
Trigonometrische Berechnungen mit Variablen:<br />
99-W1b, 99-W3b, 2000-W2b, 2001-W1b, 2002-W1b,<br />
2003-W4b, 2004-W1b, 2004-W3b, 2007-W1b, 2007-W3b,<br />
2008-W1b, 2008-W4b, 2009-W1b, 2009-W4b, 2010-W1b<br />
Volumenberechnungen: 99-W3a, 2000-P1, 2000-W1a,<br />
2002-P1, 2002-W2b, 2003-W2b, 2005-P1, 2005-W3a,<br />
2007-W3a, 2008-W4b, 2010-P1, 2010-P3, 2010-W2a<br />
Wahrscheinlichkeit: 2008-P8; 2008-W4a, 2009-P8,<br />
2009-W4a, 2010-W4a<br />
Würfel: 2001-P6, 2002-P5, 2004-W1b, 2009-W1a, 2010-P3<br />
Zentralwert: 2009-P7, 2010-P7<br />
Zinsrechnung, Zinseszins: 99-P7, 2000-P7, 2001-P7,<br />
2002-P8, 2003-P7, 2004-P7, 2005-P7, 2006-P7, 2007-P8,<br />
2008-P7, 2009-P6<br />
Zusammengesetzte Körper: 99-W3a, 2001-W1b, 2003-P1,<br />
2004-W1a, 2005-P2, 2006-P3, 2007-W3b, 2008-P4, 2009-W2b,<br />
2010-P1, 2010-W2a<br />
Zylinder: 2001-W1b, 2002-P2, 2004-P6, 2005-P2, 2007-W3b,<br />
2008-P4, 2009-P3, 2010-P1, 2010-W2a