Lerntipps mit Checklisten - Matheverlag

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Lerntipps mit Checklisten zur Selbstkontrolle
Die Benutzung der Checklisten - eigene Lücken erkennen und schließen: .
Um Ihre Lücken selbst zu erkennen, sollten Sie Ihre Rechenergebnisse immer auch bewerten.
In den Checklisten „Eingangstest“ und „Übungsplan“ stehen jeweils die drei Bewertungen
„Richtig“, „Rechenfehler“ und „Kein bzw. falscher Lösungsweg“ zur Auswahl.
Bei der Bewertung „Kein bzw. falscher Lösungsweg“ sollten Sie sich die ausführlichen
Lösungen zu dieser Aufgabe anschauen.
• Beginnen Sie zunächst mit dem Schnelltest „Formelwissen“ (Seite 3). Damit können Sie
überprüfen, ob Sie die allerwichtigsten Formeln und Regeln noch wissen, die Sie
insbesondere für den Pflichtteil benötigen. Die Fragen dieses Tests sollten Sie fehlerfrei
beantworten können. Wiederholen Sie diesen Test solange, bis Sie alle Fragen richtig
beantworten. Zur Aneignung und Vertiefung des Grundlagenwissens sei auf einschlägige
Lernhilfen und Fachliteratur verwiesen, die Sie in jeder Buchhandlung finden.
• Führen Sie in den ersten 2-3 Lerneinheiten der Vorbereitungszeit den Eingangstest (Seite 4
und 5) durch. Zu jedem Prüfungsthema ist hier eine Aufgabe ausgewählt, die Sie bearbeiten
sollten. Korrigieren Sie Ihre Lösungen anhand der Lösungsdateien und kreuzen Sie die
entsprechende Bewertung an. So erkennen Sie, bei welchen Themen Sie noch
Schwierigkeiten haben. Diese Themen sollten Sie im weiteren Verlauf der
Prüfungsvorbereitung natürlich verstärkt üben.
• Ganz wichtig für die Organisation der weiteren Lerneinheiten sind die Übungspläne (Seite
6 und 7). Tragen Sie zu Beginn jeder Lerneinheit in die erste Spalte ein, welche Themen Sie
an diesem Tag üben wollen. Nehmen Sie sich am Anfang aber nicht zu viele Themen auf
einmal vor. Suchen Sie sich dann entsprechende Prüfungsaufgaben aus, die Sie in die zweite
Spalte eintragen. Die Register auf Seite 8 und 9 helfen Ihnen, geeignete Aufgaben zu einem
Thema zu finden. Zur Auswertung Ihrer Rechenergebnisse kreuzen Sie wieder die
entsprechenden Bewertungen an.
Heften Sie alle Checklisten ab, die Sie erstellt haben. So gewinnen Sie einen guten Überblick
darüber, welche Themen Sie bereits „drauf haben“ und bei welchen Themen es noch
„klemmt“.
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Lerntipps mit Checklisten zur Selbstkontrolle
Schnelltest „Formelwissen“: (Lösungen auf Seite 10 und 11)
Analysis:
1. Wie lautet die Kettenregel der Ableitung ? Geben Sie die Ableitung von f(g(x)) an.
2. Wie lautet die Produktregel der Ableitung ? Geben Sie die Ableitung von f(x) = u(x) ⋅ v(x) an.
3. Wie lautet die Quotientenregel der Ableitung ? Geben Sie die Ableitung von f(x) = v(x)
4. Wie lautet eine Stammfunktion von f(x) = a⋅x n (mit a ∈ IR, n ∈ IN) ?
5. a) Wie lauten die Stammfunktionen von f1(x) = sin(x) und f2(x) = cos(x) ?
b) Wie lauten die Stammfunktionen von f3(x) = sin (ax) und f4(x) = cos (ax) ?
6. Mit welchem Ansatz berechnet man die Nullstellen einer Funktion f ?
7. Was besagt der Satz vom Nullprodukt ?
8. Wie bestimmt man die Extrempunkte einer Funktion ?
9. Wie bestimmt man die Wendepunkte einer Funktion ?
10. Wie berechnet man die Gleichung einer Tangente in einem Kurvenpunkt P(v|f(v)) ?
11. Wie berechnet man die Gleichung einer Normalen in einem Kurvenpunkt P(v|f(v)) ?
12. Wie untersucht man eine Funktion auf waagrechte Asymptoten ?
13. Wie untersucht man eine Funktion auf senkrechte Asymptoten ?
14. Mit welchen Regeln kann man von einem Schaubild einer Ableitungsfunktion f’ auf
das Schaubild von f schließen ?
15. Mit welchen Integralen berechnet man die Inhalte der markierten Flächen ?
y
y
y
x 1
K f
A 1
x 2
Analytische Geometrie:
x
16. Wie bestimmt man den Vektor zwischen zwei Punkten ?
x 1
17. Wie berechnet man die Länge eines Vektors bzw. den Abstand zweier Punkte ?
18. Wie berechnet man die Mitte zwischen zwei Punkten ?
19. Was bedeuten die Vektoren in der Geradengleichung g: x = OA + t · AB ?
K f
A 2
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x 2
x
x 1
K f
A 3
u(x) an.
20. Eine Ebene kann auf drei verschiedenen Weisen angegeben werden. Wie lauten die jeweiligen
Ebenengleichungen und was bedeuten darin die Vektoren bzw. Variablen ?
a) E: x = OA + s · AB + t · AP b) E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = d c) E: ( x − p )⋅ n = 0
21. Nach welchem Verfahren und welchen Regeln löst man ein lineares Gleichungssystem ?
22. Wie untersucht man im dreidimensionalen Vektorraum drei Vektoren auf lineare
Unabhängigkeit ?
23. Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren ?
24. Mit welcher Formel kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen ?
K g
x 2
x
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Eingangstest (Analysis): Datum: _____________
Drucken Sie die Tabelle aus und bearbeiten Sie die angegebenen Aufgaben. Korrigieren Sie Ihre Lösungen
anhand der Lösungsdateien auf der CD und kreuzen Sie die entsprechende Bewertung an.
Bearbeitungszeit: ca. 4 h. Sie können den Test auch in 2-3 Etappen bearbeiten.
Thema Aufgabe richtig Rechenfehler kein bzw. falscher
Lösungsweg
Pflichtteil:
Ableiten
(Produktregel)
Ableiten
(Quotientenregel)
Stammfunktion und
Integral
2010/P1
2008/P1
2006/P2
Nullstellen 2010/P3
Tangenten und
Normalen
2007/P4
Asymptoten 2005/P4
Gleichungen lösen 2006/P3
Funktionsgleichung
aufstellen
von f’ zu f
(bzw. von f zu F)
2008/P4
2007/P5
Schaubilder zuordnen 2008/P5
Wahlteil:
Extremstellen 2009/A1-1a
Flächenberechnung
mit Integralen
2010/A1-1b
Mittelwertberechnung 2006/A3-a
Integration über
Änderungsraten
Monotonie
nachweisen
2005/A3-1b
2008/A3-1a
Folgen 2007/A1-c
Beschränktes
Wachstum
Vollständige
Induktion
2009/A3-c
2004/A3-2
Bedeutung der Abkürzungen: : Prüfung 2010, Pflichtteil, Aufgabe 1
: Prüfung 2010, Wahlteil-Analysis 1, Aufgabe 1a
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Eingangstest (analytische Geometrie): Datum: _____________
Drucken Sie die Tabelle aus und bearbeiten Sie die angegebenen Aufgaben. Korrigieren Sie Ihre Lösungen
anhand der Lösungsdateien auf der CD und kreuzen Sie die entsprechende Bewertung an.
Bearbeitungszeit: ca. 4 h. Sie können den Test auch in 2-3 Etappen bearbeiten.
Thema Aufgabe richtig Rechenfehler kein bzw. falscher
Lösungsweg
Pflichtteil:
Abstand zwischen
Punkt und Gerade
Abstand zwischen
Punkt und Ebene
2004/P8
2009/P7
Punktprobe 2010/P6
Lage zwischen
Gerade und Ebene
Lage zwischen
Ebenen
Lineare
Gleichungssysteme
2006/P6
2007/P7
2005/P6
Darstellen von Ebenen 2009/P7
Koordinatengleichung
von Ebenen
Normalengleichung
von Ebenen
Lineare
Unabhängigkeit
Verfahren
beschreiben
Wahlteil:
Abstand zweier
Punkte
2005/P7
2008/P8
2009/P6
2007/P8
2006/G1-1a
Mitte zweier Punkte 2007/G2-b
Punkte im
Koordinatensystem
Schnitt zweier
Geraden
2010/G1-b
2009/G2-1a
Lotfußpunkt berechnen 2005/G2-1c
Flächen- und
Volumenberechnung
Beweise mit
Vektorrechnung
2008/G1-b
2004/G2-2
Bedeutung der Abkürzungen: : Prüfung 2010, Pflichtteil, Aufgabe 6
: Prüfung 2010, Wahlteil, analytische Geometrie 2, Aufgabe 1a
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Übungsplan (Analysis): Datum: _____________
Drucken Sie die Tabelle aus und suchen Sie sich im Register (auf Seite 8) mindestens 4 Aufgaben heraus,
die Sie in der heutigen Lerneinheit bearbeiten wollen. Sie können zu einem Thema selbstverständlich auch
mehrere Aufgaben bearbeiten.
Thema Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher
Lösungsweg
Ableiten
(Produktregel)
Ableiten
(Quotientenregel)
Ableiten
(Kettenregel)
Asymptoten
Beschränktes
Wachstum
Extremstellen
Flächenberechnung
mit Integralen
Folgen
Funktionsgleichung
aufstellen
Gleichungen lösen
Integration über
Änderungsraten
Mittelwertberechnung
Monotonie
nachweisen
Nullstellen
Schaubilder zuordnen
Stammfunktion und
Integral
Tangenten und
Normalen
Trigonometrische
Funktionen
Vollständige
Induktion
von f’ zu f
(bzw. von f zu F)
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Übungsplan (analytische Geometrie): Datum: _____________
Drucken Sie die Tabelle aus und suchen Sie sich im Register (auf Seite 9) mindestens 4 Aufgaben heraus,
die Sie in der heutigen Lerneinheit bearbeiten wollen. Sie können zu einem Thema selbstverständlich auch
mehrere Aufgaben bearbeiten.
Thema Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher
Lösungsweg
Abstandsberechnungen
Beweise mit
Vektorrechnung
Darstellen von Ebenen
Flächen- und
Volumenberechnung
Koordinatengleichung
von Ebenen
Lage zwischen Ebenen
Lage zwischen Gerade
und Ebene
Lineare
Gleichungssysteme
Lineare
Unabhängigkeit
Lotfußpunkt berechnen
Mitte zweier Punkte
Normalengleichung
von Ebenen
Punkte im
Koordinatensystem
Punktprobe
Schnitt zweier
Geraden
Schnitt zwischen
Gerade und Ebene
Verfahren beschreiben
Windschiefe Geraden
Winkelberechnungen
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Register (Analysis):
Ableiten
(Produktregel)
Ableiten
(Kettenregel)
Ableiten
(Quotientenregel)
2005/P1, 2004/A3-2, 2009/P1, 2010/P1
2006/P1, 2007/P1, 2010/P4
2004/P1, 2008/P1
Asymptoten Senkrechte: 2005/P4, 2005/P5, 2009/A1-1a, 2010/P4,
Beschränktes
Wachstum
Waagrechte: 2004/A1-1a, 2004/A3-1a, 2005/P4, 2005/A1-1c, 2005/A3-1a,
2005/A3-1b, 2007/A1-a, 2009/A1-1a, 2010/P4,
2005/A3-2, 2008/A3-1b, 2009/A3-c
Extrempunkte 2004/A2-2b, 2004/A3-1b, 2006/A3-a, 2006/A3-b, 2007/A2-a, 2008/A2-a, 2009/A1-1a,
2009/A2-1a, 2009/A3-a, 2010/A2-b, 2010/A3-a,
Flächenberechnung
mit Integralen
2005/A2-a, 2006/A2-2a+b, 2008/A1-a, 2009/A1-1b, 2009/A2-1b, 2010/A1-1b, 2010/A2-b,
Folgen 2007/A1-c, 2008/A3-2
Funktionsgleichung
aufstellen
2005/A1-1a, 2005/A2-a, 2006/P4, 2006/A1-a+c, 2006/A3-d, 2007/A1-a, 2007/A2-b,
2008/P4, 2008/A2-b, 2008/A2-c, 2008/A3-1c, 2009/A2-1b, 2009/A2-1c, 2009/A3-c,
2010/A2-c, 2010/A2-d
Gleichungen lösen 2004/P3, 2005/P3, 2006/P3, 2008/P3, 2009/P3, 2010/A1-1b, 2010/A3-a, 2010/A3-b
Integration über
Änderungsraten
2004/A2-1, 2004/A3-1c, 2005/A1-1b, 2005/A3-1a, 2007/A3-b, 2010/A3-b+c
Mittelwertberechnung 2006/A3-a, 2007/A2-b, 2008/A2-a, 2008/A2-c, 2008/A3-1a, 2009/A3-b, 2010/A2-d,
2010/A3-a
Monotonie
nachweisen
2004/P5, 2005/A3-1a, 2007/P5, 2008/A3-1a, 2009/A3-b
Nullstellen 2004/P4, 2006/A3-b, 2008/A1-1a, 2009/A1-1a, 2010/P3, 2010/A1-1a, 2010/A2-a
Schaubilder zuordnen 2005/P5, 2008/P5, 2010/P5,
Stammfunktion und
Integral
2004/P2, 2005/P2, 2005/A3-1b, 2006/P2, 2008/P1, 2010/P2
Steigungen berechnen 2004/A2-1, 2006/A3-b, 2008/A1-1a, 2008/A2-a, 2009/A3-a, 2010/A1-1a, 2010/A3-a
Tangenten und
Normalen
Trigonometrische
Funktionen
Vollständige
Induktion
von f’ zu f
(bzw. von f zu F)
2004/P4, 2004/A1-1c, 2005/P4, 2006/A2-1a, 2006/A3-b, 2007/P4, 2009/P4
2004/A2, 2004/A2, 2006/A2, 2007/A2, 2008/A2, 2009/A2
2004/A3-2, 2005/A1-2, 2008/A1-2, 2009/A1-2, 2010/A1-2
2004/P5, 2006/P5, 2007/P5, 2009/P5
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8

Lerntipps mit Checklisten zur Selbstkontrolle
Register (analytische Geometrie):
Abstand zweier
Punkte
Abstand zwischen
Punkt und Ebene
Abstand zwischen
Punkt und Gerade
Beweise mit
Vektorrechnung
2004/G1-b, 2004/G1-c, 2005/G1-a, 2005/G2-1c, 2006/G1-1a, 2006/G2-1b, 2007/G1-a,
2007/G2-a, 2009/G1-a, 2009/G1-c, 2010/G1-a, 2010/G1-c
2004/P6, 2005/G1-b, 2005/G2-1a, 2006/G1-1b, 2008/G2-1b, 2009/P7, 2010/P7a,
2004/P8, 2004/G1-b, 2005/G2-1c, 2006/G2-1b, 2009/G1-b, 2009/G2-1b
2004/G2-2, 2005/G2-2, 2006/G1-2, 2007/G1-2, 2008/G2-2, 2009/G2-2, 2010/G2-2
Darstellen von Ebenen 2006/P7, 2007/G1-a, 2009/P7
Ebenengleichungen
aufstellen
Flächen- und
Volumenberechnung
Lage zwischen
Ebenen
Lage zwischen
Gerade und Ebene
Lineare
Gleichungssysteme
Lineare
Unabhängigkeit
2004/P7, 2005/P7, 2006/P8, 2006/G1-1a, 2008/G1-a, 2008/G2-1a, 2010/P6, 2010/G1-b
2004/G1-b, 2006/G1-1b, 2006/G2-1b, 2009/G2-1b, 2006/G1-1b, 2008/G1-b
2007/P7, 2009/G2-1a
2004/P6, 2006/P6, 2007/G2-a, 2008/P7, 2008/G1-a, 2009/P7
2005/P6, 2007/P6
2009/P6
Lotfußpunkt berechnen 2004/P6, 2004/P8, 2004/G1-b, 2005/G1-b, 2005/G2-1c, 2006/G2-1b, 2007/G1-a,
2007/G2-b, 2010/G2-1a
Mitte zweier Punkte 2005/G2-1b, 2006/G1-1a, 2007/G2-b, 2010/G1-b+c
Normalengleichung
von Ebenen
Punkte im
Koordinatensystem
2007/P7, 2008/P8
2004/G1-a, 2005/G1-a, 2006/G2-1a, 2007/G2-a, 2008/G2-1a, 2009/G2-1a, 2010/G1-b,
2010/G2-a
Punktprobe 2004/P6, 2005/G1-c, 2009/G1-b, 2010/G1-a
Schnitt zweier
Geraden
Schnitt zwischen
Gerade und Ebene
Schnitt zwischen
zwei Ebenen
Verfahren
beschreiben
2005/G2-1b, 2006/G2-1a, 2009/G2-1a
2004/G1-c, 2004/G2-1a, 2005/G1-a, 2005/G1-c, 2006/G2-1a, 2010/G2-1a
2010/G1-c,
Windschiefe Geraden 2006/G2-2
2004/P8, 2005/P8, 2006/P8, 2007/P8, 2008/P8, 2009/P8, 2010/P8
Winkelberechnungen 2004/G1-a, 2004/G2-1b, 2005/G1-a, 2005/G2-1b, 2007/G2-c, 2008/G1-a, 2008/G2-1a,
2009/G1-a, 2009/G2-1a, 2010/G1-a, 2010/G2-1a
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Lerntipps mit Checklisten zur Selbstkontrolle
Lösungen zum Schnelltest „Formelwissen“:
Analysis:
1. Die Ableitung der Funktion f mit f(g(x)) ist f(g(x))’ = f’(g(x)) · g’(x).
In Worten: „äußere mal innere Ableitung“.
2. Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = u(x) ⋅ v(x) ist f’(x) = u’(x)·v(x) + u(x)·v’(x)
3. Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = v(x)
4. Es ist F(x) =
a
· x
n + 1
n + 1 .
u(x) ist f’(x) =
u' (x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v' (x)
.
2
v(x)
5. a) F1(x) = −cos(x) + C und F2(x) = sin(x) + C, mit der Konstanten C.
b) F3(x) = − a
1 · cos (a·x) + C und F4(x) = a
6. Man muss die Gleichung f(x) = 0 lösen.
1 · sin (a·x) + C, mit der Konstanten C.
7. Die Lösungen der Gleichung f(x) ⋅ g(x) = 0 sind die Lösungen der Gleichungen f(x) = 0 und g(x) = 0.
8. Bedingung für Hochpunkte: f’(x) = 0 ⇒ x = xH. An der Stelle xH ist ein Hochpunkt, wenn f’’(xH) < 0 ist.
Die y-Koordinate des Hochpunkts ist f(xH).
Bedingung für Tiefpunkte: f’(x) = 0 ⇒ x = xT. An der Stelle xT ist ein Tiefpunkt, wenn f’’(xT) > 0 ist.
Die y-Koordinate des Tiefpunkts ist f(xT).
9. Bedingung für Wendepunkte: f’’(x) = 0 ⇒ x = xW.
An der Stelle xW ist ein Wendepunkt, wenn f’’’(xW) ≠ 0 ist. Die y-Koordinate des Wendepunkts ist f(xW).
10. In y = mx + b ist die Steigung m = f’(v). Den y-Achsenabschnitt b erhält man durch Einsetzen der
Koordinaten von P(v|f(v)) in y = mx + b.
11. In y = mx + b ist die Steigung m = −
1
f'(v)
. Den y-Achsenabschnitt b erhält man durch Einsetzen der
Koordinaten von P(v|f(v)) in y = mx + b.
12. Der Graph einer Funktion f(x) hat dann eine waagrechte Asymptote, wenn es für x → +∞ oder
für x → − ∞ einen Grenzwert a bzw. b gibt:
lim f(x) = a oder
x→
+ ∞
lim
x→
− ∞
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f(x) = b
Existiert einer der beiden Grenzwerte, gibt es eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung
y = a bzw. y = b.
13. Der Graph einer Funktion f(x) kann nur dann eine senkrechte Asymptote haben, wenn es Definitions-
lücken gibt. Wenn an einer Definitionslücke a eine senkrechte Asymptote sein soll, muss für x → a der
Funktionsterm f(x) gegen +∞ bzw. −∞ gehen. Es muss also die Bedingung erfüllt sein:
14. Von f’ auf f schließen:
Der Funktionswert f’(v) an der Stelle v gibt die Steigung der Tangente im Punkt P(v|f(v)) des
Schaubilds von f an.
lim f(x) t ± ∞
Dort, wo das Schaubild von f’ die x-Achse schneidet, hat das Schaubild von f einen Hochpunkt
(bei Vorzeichenwechsel von + nach −) und einen Tiefpunkt (bei Vorzeichenwechsel von − nach +).
Dort, wo das Schaubild von f’ einen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, hat das Schaubild von f einen
Wendepunkt.
Wenn das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem
Intervall monoton steigend. Wenn das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft, ist das
Schaubild von f in diesem Intervall monoton fallend.
Anhand des Schaubilds von f’ kann man keine Aussage darüber treffen, wie weit das Schaubild von f in
y-Achsenrichtung verschoben ist.
x→
a
10

Lerntipps mit Checklisten zur Selbstkontrolle
x
15. A1 = ∫ 2
x
x
1
f(x) dx = [F(x)] 2 x
x = F(x2) − F(x1) ; A2 = ∫ 2
f(x) dx = [F(x)] 2 x
x = F(x2) − F(x1) ;
2
1
A3 = ∫ f(x) − g(x) dx = [F(x) − G(x)] 2
x = [F(x2) − G(x2)] − [F(x1) − G(x1)]
x
1
Analytische Geometrie:
x
1
16. Für den Vektor AB zwischen den Punkten A(a1|a2|a3) und B(b1|b2|b3) gilt:
17. Für die Länge (bzw. für den Betrag) des Vektors v =
x
x
1
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⎛
⎜
⎜
⎝
v 1
v 2
v 3
⎞
⎟
⎟
⎠
1
gilt: | v | =
⎛
AB = ⎜
⎜
⎝
b − a 1 1
b 2 − a 2
b 3 − a 3
2 2
(v ) + (v ) +
1 2
Um den Abstand zweier Punkte A und B zu berechnen, bildet man zuerst den Vektor AB und
berechnet anschließend den Betrag | AB |.
18. Der Mittelpunkt M zwischen den Punkten A(a1|a2|a3) und B(b1|b2|b3) ist: M(
19. OA ist der Stützvektor. AB ist der Richtungsvektor.
20. a) Parameterform. OA ist der Stützvektor. AB und AP sind die Spannvektoren.
a b 1 1 +
2
|
(v
3
2
⎞
⎟
⎟
⎠
)
2
a b 2 2 +
|
a b 3 3 +
b) Koordinatengleichung. Die Koordinaten n1, n2 und n3 sind die Koordinaten des Normalenvektors.
d ist eine Konstante. Alle Punkte X, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene.
c) Normalengleichung. p ist der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. n ist der Normalenvektor der
Ebene.
Alle Punkte X, deren Ortsvektor x diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene.
21. Nach dem Gauß-Verfahren. Dabei formt man das lineare Gleichungssystem durch
Äquivalenzumformungen in die so genannte Dreiecksform bzw. Stufenform um. Anhand dieser Dreiecksform
kann die Lösungsmenge bestimmt werden. Die erlaubten Äquivalenzumformungen sind:
(1) Man darf eine Gleichung mit einer reellen Zahl r ≠ 0 multiplizieren.
(2) Man darf zu einer Gleichung eine andere addieren.
(3) Man darf zwei Gleichungen vertauschen.
22. Man prüft die lineare Unabhängigkeit, indem man die Lösung für r, s und t in der Vektorgleichung
r· a + s·b + t· c = 0 bestimmt. Wenn es nur die „Nulllösung“ r = s = t = 0 gibt, sind a , b und c linear
unabhängig.
23. Für das Skalarprodukt v · w gilt: v · w =
⎛
⎜
⎜
⎝
v 1
v 2
v 3
⎞
⎟
⎟
⎠
·
⎛
⎜
⎜
⎝
w 1
w 2
w 3
⎞
⎟
⎟
⎠
= v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
24. Der Abstand eines Punktes P(p1|p2|p3) von einer Ebene wird mit der Hesse-Normalen-Form (kurz: HNF)
der Ebene bestimmt. Die HNF von E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = d ist:
Den Abstand d(P-E) zwischen P und E erhält man durch Einsetzen der Punktkoordinaten von P in die HNF.
n
1
x
1
( n
+ n
2
1)
2
x
2
+ ( n
+ n
2
2)
3
x
3
+ ( n
− d
2
3)
2
)
11