Trigonometrie, Klasse 10 - Matheverlag

Trigonometrie Kapitel 5: Berechnungen in Vielecken
Beispiel:
Vom Viereck ABCD sind bekannt:
BC = 5,0 cm; CD = 7,3 cm;
α = 54,0° und δ = 110,0°
Berechne die Strecke DL .
Lösung:
5. Berechnungen in Vielecken
Wenn man ein Rechteck um das Viereck ABCD
legt, entstehen rechtwinklige Dreiecke.
Für den Winkel α1 gilt: α1 = 90°− 54° = 36°
Für die Summe der Innenwinkel im Dreieck ADG
gilt:
36°+ δ1 + 90° = 180° ⇔ δ1 = 54°
Außerdem gilt: δ1 + 110°+ δ2 = 180° ⇔ δ2 = 16° A
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A
α
G
.
α 1
54°
δ 1
D
δ
L
.
D
110°
.
L
δ 2
7,3 cm
Da nun im Dreieck CFD ein Winkel und eine Seite bekannt sind, können die Strecken CF
und DF berechnet werden.
G
D
F
CF .
Es gilt: sin 16° = ⇒ CF = 2,01 cm
54° 16° .
110°
7,3
γ1 . C
DF
cos 16° = ⇒ DF = 7,02 cm
7,3
Den Winkel γ1 berechnet man mit der Summe
der Innenwinkel im Dreieck CFD.
Man erhält: γ1 = 74°
A
54°
7,3 cm
Damit kann auch der Winkel γ2 = 180°− 90°− γ1 sofort berechnet werden: γ2 = 16°
Da nun im rechtwinkligen Dreieck BEC ein
spitzer Winkel und eine Seite bekannt sind,
kann die Strecke CE berechnet werden.
Es gilt: cos 16° = 5
CE ⇒ CE= 4,81 cm
Somit erhält man für DL = CE + CF :
DL = 6,82 cm
G
.
A
36°
36°
54°
D
54° 16°
110°
L
.
7,3 cm
B
5 cm
B
5 cm
B
5 cm
B
.
.
C
F
.
C
.
E
γ 2
.
E
F
.
γ 1
.
16°
C
.
E