Inhalt, Formelsammlung: - Matheverlag

1. Geometrie
Inhalt, Formelsammlung:
Das allgemeine Dreieck .................................................................... 2
Spezielle Dreiecke .......................................................................... 2
Vierecke ..................................................................................... 2
Regelmäßige Vielecke ..................................................................... 3
Kreisflächen ................................................................................. 3
Prismen ...................................................................................... 4
Pyramiden und Kegel ...................................................................... 5
Pyramiden- und Kegelstümpfe ............................................................ 6
Kugel .......................................................................................... 6
Zentrische Streckung und die Strahlensätze ............................................ 6
Satz des Pythagoras, Katheten- und Höhensatz ........................................ 7
Trigonometrie, Winkelfunktionen ........................................................ 7
2. Algebra
Die Rechengesetze der Addition und Subtraktion ..................................... 7
Rechnen mit negativen Zahlen ........................................................... 7
Klammerrechnung .......................................................................... 8
Rechnen mit Variablen .................................................................... 8
Die binomischen Formeln ................................................................. 8
Bruchrechnung ............................................................................. 8
Lineare Gleichungen ....................................................................... 9
Lineare Gleichungssysteme ............................................................... 9
Quadratische Gleichungen ............................................................... 10
Lineare und quadratische Funktionen .................................................. 10
Dreisatzrechnung .......................................................................... 10
Prozentrechnung .......................................................................... 10
Zinsrechnung ............................................................................... 11
Quadrat- und Kubikwurzeln .............................................................. 11
Potenzen ................................................................................... 11
Logarithmen ............................................................................... 11
Mittelwerte ................................................................................ 11
Umrechnen von Einheiten ................................................................ 11
3. Stochastik
Daten erfassen ............................................................................. 12
Wahrscheinlichkeitsrechnung .............................................................12
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Formelsammlung Geometrie Seite 2
Bezeichnungen:
Das allgemeine Dreieck
C
α β
A c
B
γ
b a
Summe der Innenwinkel: α + β + γ = 180°
Flächeninhalt und Umfang:
C
b
.
hb .
a
h a
.
A c
B
a ⋅ ha
Flächeninhalt: A = =
2
b h ⋅
b
2
Umfang: U = a + b + c
Rechtwinkliges Dreieck:
h c
= c h
Spezielle Dreiecke
⋅ c
In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Seite gegenüber
dem rechten Winkel als Hypotenuse bezeichnet. Die
beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, sind die
Katheten.
b
C
.
h
γ = 90°
.
A c
B
a ⋅ b
Flächeninhalt: A = =
2
c h
Umfang: U = a + b + c
Satz des Thales:
C
.
C'
.
A M B
. r
a
⋅
2
2
Jeder Punkt auf dem Kreis
um M (mit r = MB = MA)
bildet mit den Punkten A
und B ein rechtwinkliges
Dreieck.
Gleichseitiges Dreieck:
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Alle drei Seiten sind gleich lang. Jede Höhe ist zugleich
Winkel- und Seitenhalbierende.
C
Höhe: h = a
60°
a
h
60°
A B
a
2
a
. 60°
2
a
3 Flächeninhalt: A =
Gleichschenkliges Dreieck:
Zwei Seiten, die beiden Schenkel, sind gleich lang. Die
dritte Seite ist die Basis. Die Höhe hc halbiert den
Winkel g und die Seite c.
C
A
a
c
2
Flächeninhalt: A =
γ
2
γ
2
c
2
a
α
hc .
α
c ⋅ h
2
c
Vierecke
B
4
3
Umfang: U = 2a + c
Rechteck: Alle Innenwinkel betragen 90°. Die beiden
Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.
b
a
.
M
a
Flächeninhalt: A = a ⋅ b Umfang: U = 2⋅(a + b)
2 2
Diagonale: d = a + b
Quadrat: Alle Innenwinkel betragen 90°. Alle Seiten
sind gleich lang. Die beiden Diagonalen stehen senkrecht
aufeinander, sie sind gleich lang und halbieren
sich.
a
.
.
d
a
.
. .
Flächeninhalt: A = a 2 Umfang: U = 4⋅a
Diagonale: d = a 2
M
a
d
.
a
b

Formelsammlung Geometrie Seite 3
Parallelogramm: Die gegenüberliegenden Seiten sind
zueinander parallel und gleich lang. Die gegenüberliegen-
den Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen e und f
halbieren sich.
b
α
β
e
a
f
M
Flächeninhalt: A = a ⋅ ha Umfang: U = 2⋅(a + b)
Trapez: Mindestens zwei Seiten sind parallel.
d
.
h
(a+ c)
Flächeninhalt: A =
2
⋅ h = m ⋅ h
(a+ c)
m =
2
ist die Mittelparallele.
Umfang: U = a + b + c + d
a
c
m
a
β
b
α
b
.
h a
a || c
Drachen: Jeweils zwei benachbarte Seiten sind gleich
lang. Mindestens zwei gegenüberliegende Winkel sind
gleich groß. Die Achsen e und f stehen senkrecht
aufeinander.
C
.
D
f
β β B
a
b
A
e
b
a
Flächeninhalt: A =
e ⋅ f
2
Umfang: U = 2 . (a + b)
Raute (Rhombus): Alle Seiten sind gleich lang. Die
gegenüberliegenden Innenwinkel sind jeweils gleich groß.
Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
a α a
β
.
f
β
a
e
α
a
Flächeninhalt: A =
Umfang: U = 4 . a
Die Summe der Innenwinkel von Vierecken ist 360°.
e ⋅ f
2
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Regelmäßige Vielecke (n-Ecke)
Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich
lang bzw. alle Innenwinkel gleich groß sind.
Regelmäßiges Fünfeck:
ra = Umkreisradius, ri = Inkreisradius
a
.
a
r i
β
α
a
r u
Regelmäßiges Sechseck:
a
a
360°
α =
5
= 72°
180°− α
β =
2
= 54°
a ⋅ r
Flächeninhalt: A = 5 ⋅
Umfang: U = 5 . a
ru = Umkreisradius, ri = Inkreisradius
a
a
r i
α ru
a
. a
β
a
a
Regelmäßiges n-Eck:
360°
α =
6
= 60°
β = α = 60°
r u = a ,
r i =
a
2 3
Flächeninhalt: A =
3a2 2
Umfang: U = 6 . a
α = 360
n ° a ⋅ r
Flächeninhalt: A = n ⋅
Umfang: U = n ⋅ a
Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt
(n − 2) ⋅ 180°.
Kreis:
Kreisflächen
M = Mittelpunkt, r = Radius, d = Durchmesser
M .
d
r
d = 2 . r
2 i
2 i
Flächeninhalt: A = π r 2 = π d2 .
.
4
. .
Umfang: U = 2 π r = π d
π ≈ 3,14
3

Formelsammlung Geometrie Seite 4
Kreisring:
ra = Außenradius, ri = Innenradius, b = Ringbreite
b
M .
r a
Kreisausschnitt:
M .
r
r i
A α
b
b = r a − r i
Flächeninhalt: A = π (r a 2 − ri 2 )
2π r
α
Bogenlänge: b = ⋅ ⋅
360°
Ausschnittsfläche:
oder
A
b r
α=
2 ⋅
2
Aα= π ⋅ r ⋅
α
360°
Prismen (gerade Körper)
Prismen: In jedem Prisma gibt es zwei gleiche Seitenflächen,
die parallel zueinander stehen.
G = Grundfläche, h = Höhe, Volumen: V = G ⋅ h
Mantel: M = u ⋅ h (u = Umfang der Grundfläche)
Würfel:
a
d
a = h
Grundfläche: G = a 2 , Volumen: V = a 3
Oberfläche: O = 6a 2 , Mantel: M = 4a 2
Diagonale: d = a 3
Quader:
a
d
b
a
c = h
Grundfläche: G = a ⋅ b , Volumen: V = a⋅b⋅c
Oberfläche: O = 2⋅(ab + ac + bc) , Mantel: M = 2(a + b) ⋅ c
2 2 2
Diagonale: d = a + b + c
a
a
a
a
c
b
Gleichseitige Dreiecksäule:
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a
a
a
h
. a
a
a
liegend stehend
a
Trapezsäule:
d
.
h a
a
c
b
h
h
Grundfläche: G =
a2 4
⋅ 3
Volumen: V = G h = a2 . ⋅
4
3 ⋅ h
Oberfläche: O =
a
2
⋅ (a 3 + 6h)
Mantel: M = 3 . a . h
liegend stehend
d a b c
Zylinder:
c
r
Grundfläche: G = π ⋅ r 2 ( → Kreis)
Volumen: V = π ⋅ r 2 ⋅ h
h
Mantel: M = 2π ⋅ r ⋅ h
h
h
(a+ c)
Grundfläche: G = . ha 2
Volumen: V = G . h
Oberfläche: O = 2 . G + (a+b+c+d) . h
Mantel: M = (a + b + c + d) . h
.
r
2π . r
a
Mantel M
Oberfläche: O = 2⋅G + M = 2 π ⋅ r 2 + 2π ⋅ r ⋅ h = 2π ⋅ r (r + h)
c
h
h

Formelsammlung Geometrie Seite 5
Hohlzylinder (Rohr):
ra = äußerer Radius, ri = innerer Radius
r i
.
r a
h
2π . ra äußerer
Mantel Ma 2 2
Grundfläche: G = π ⋅ (ra − ri ) ( → Kreisring)
2 2
Volumen: V = G ⋅ h = π ⋅ (ra − ri ) ⋅ h
Äußerer Mantel: Ma = 2π ⋅ ra ⋅ h
Innerer Mantel: Mi = 2π ⋅ ri ⋅ h
Oberfläche: O = 2 ⋅ G + Ma + Mi
G
Pyramiden und Kegel
G = Grundfläche, allg. Volumen: V =
Quadratische Pyramide:
a
h
h a
. .
Grundfläche: G = a 2 , Volumen: V =
Oberfläche: O = G + M = a 2 + 2a ⋅ ha
Mantel: M = 2 ⋅ a ⋅ ha
h
.
a
2
2 2
ha = h +
a2 4
h a
.
a
a
G h
3 ⋅
s 2 = h 2 + d2 4
, h = Höhe
a
a
G ⋅ h a2 h
3
=
⋅
3
a
h
.
s
h
0,5d
a
(mit d = a 2 )
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Tetraeder: Alle vier Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke.
a
h
a . a
a
Grundfläche: G = a2 4
Volumen: V =
G h
3 ⋅
Mantel: M = 3⋅G = 3a2 4
3
, mit h = a 3
Sechsseitige Pyramide:
a
a
h
a
.
a
h s
Grundfläche: G = 3a2 2
Volumen: V =
Mantel: M = 3a ⋅ hs
.
3
a
a
3
G h a 2
⋅ ⋅ 3 ⋅ h
3
=
2
Oberfläche: O = G + M = 3a2 2
a
a
Kegel:
h
a
.
a
a
s
a
a
a
a a
(→ gleichseitiges Dreieck)
a 3 2
6 folgt: V =
12
2
, Oberfläche: O = 4⋅G = a 3
a
a
(→ regelmäßiges Sechseck)
3
+ 3a ⋅ hs
s 2 = a 2 + h 2 2 2 2
hs = h + hΔ
r
s
h 2π
Mantel M
.
s . α
s
Grundfläche: G = π ⋅ r 2
r
Volumen: V =
G ⋅ h r2 h
3
=
π ⋅ ⋅
3
.
a
a
a
a
h
a
.
a
a
a
h
h s
a
2
mit hΔ =
3
4
a 2
.
r
Mantel: M = π ⋅ r ⋅ s = π ⋅ s 2 ⋅ α
360°
, mit r = s ⋅
α
360°
Oberfläche: O = G + M = π ⋅ r ⋅ (r + s)
a

Formelsammlung Geometrie Seite 6
Pyramiden- und Kegelstümpfe
G = Grundfläche, D = Deckelfläche
allgemeines Volumen: V = h 3
⋅ (G + G ⋅ D + D)
Quadratischer Pyramidenstumpf:
a 2
a 1
a 2
h
.
h a
2
Grundfläche: G = a1
2
Deckelfläche: D = a2
Volumen: V = h 3
. a1
Mantel: M = 2 ⋅ (a1 + a2) ⋅ ha
2 2
⋅ (a1 + a1 ⋅ a2 + a2 )
2 2
Oberfläche: O = G + D + M = a1 + a2 + 2 ⋅ (a1 + a2) ⋅ ha
Kegelstumpf:
h
.
r 2
r 1
s
2
Grundfläche: G = π ⋅ r1
2
Deckelfläche: D = π ⋅ r2
s
2π r 2
.
r
. 2
Volumen: V = 1
2
π ⋅ h ⋅ (r1 + r1
3
⋅ r2
2
+ r2 )
Mantel: M = π ⋅ s ⋅ (r1 + r2 )
.
r 1
a 2
a 1
h a
s
a 1
.
2π r 2
Mantel M
2 2
Oberfläche: O = G + D + M = π ⋅ r1 + π ⋅ r2 + π ⋅ s ⋅ (r1 + r2 )
Volumen: V = 4
π ⋅ r
3
3
Oberfläche: O = 4π ⋅ r 2
Kugel
M .
r
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Zentrische Streckung und Strahlensätze
Zentrische Streckung:
Bei einer zentrischen Streckung (mit dem
Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k) bleiben alle
Winkelgrößen erhalten. Jede Bildstrecke ist |k|-mal so
groß wie die Originalstrecke.
Z
C
Es gilt: k = ZA'
ZA
γ
α
=
ZB'
=
ZB
β B
C'
γ'
α'
A A'
ZC'
ZC
α = α’ , β = β’ und γ = γ ’
Die Fläche der Bildfigur ist um den Faktor k 2 größer:
AA’B’C’ = k 2 ⋅ AABC
Die Strahlensätze:
Z
e || f
e
D
f
C
A B
T
g
β'
g || h
Z
B'
S
h
Q R
Figur 1 Figur 2
1. Strahlensatz: Zwei Abschnitte auf einem Strahl
verhalten sich zueinander wie die entsprechenden
Abschnitte auf dem anderen Strahl:
In Figur 1 gilt: ZB
ZA
In Figur 2 gilt: ZR
ZT
=
=
ZC
ZD
ZS
ZQ
2. Strahlensatz: Die Abschnitte auf den Parallelen
verhalten sich zueinander wie die (von Z gemessenen)
entsprechenden Abschnitte auf den Strahlen:
In Figur 1 gilt: BC
AD
In Figur 2 gilt: RS
QT
=
ZB
und
ZA
BC
AD
=
ZR
und
ZT
RS
QT
=
=
ZC
ZD
ZS
ZQ

Formelsammlung Geometrie / Algebra Seite 7
Satz des Pythagoras,
Katheten- und Höhensatz
In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Seite gegenüber
dem rechten Winkel als Hypotenuse bezeichnet. Die
beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, sind die
Katheten. p und q sind die Hypotenusenabschnitte.
b
C
.
h
γ = 90°
q . p
A B
c
Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2
Höhensatz: h 2 = p ⋅ q
Kathetensatz: a 2 = c ⋅ p und b 2 = c ⋅ q
Trigonometrie, Winkelfunktionen
Vom Winkel α aus betrachtet wird in einem
rechtwinkligen Dreieck diejenige Seite als Gegen kathete
bezeichnet, die dem Winkel α gegenüberliegt. Die
Kathete, die am Winkel α
an liegt, nennt man An kathete.
b
C
.
Gegenkathete
γ = 90°
α
A c
B
Die Winkelfunktionen:
a
sin α = Gegenkathete
Hypotenuse = a c
cos α = Ankathete
Hypotenuse = b c
tan α = Gegenkathete
Ankathete
Besondere Werte:
a
a = Gegenkathete
b = Ankathete
= a b
0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 0,5 2 3 1
2 2
cos 1 3 2 0,5 0
2 2
tan 0 3 1 3 −
3
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Die Rechengesetze der
Addition und Multiplikation
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
Addition: a + b = b + a
Multiplikation: a ⋅ b = b ⋅ a
Das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz):
Addition: a + (b + c) = (a + b) + c
Multiplikation: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
und
a . (b + c) = a . b + a . c
(b + c) . a = a . b + a . c
Rechnen mit negativen Zahlen
Negative und positive Zahlen auf dem Zahlenstrahl:
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Negative Zahlen Positive Zahlen +
-
Die negativen Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl links vom
Ursprung 0. Die positiven Zahlen liegen rechts vom Ursprung.
Der Betrag einer Zahl:
Der Betrag |a| einer Zahl entspricht dem Abstand dieser Zahl
vom Ursprung 0 auf dem Zahlenstrahl.
Z. B.: | −4| = 4 oder |+3| = 3
Addition und Subtraktion auf dem Zahlenstrahl:
(a steht für den Betrag einer reellen Zahl)
Man addiert zu der Zahl Z die Zahl a, indem man von Z aus
um a-Längeneinheiten nach rechts geht.
Man subtrahiert von der Zahl Z die Zahl a, indem man von Z
aus um a-Längeneinheiten nach links geht.
Die Additions- und Subtraktionsregeln:
(a und b stehen für die Beträge reeller Zahlen)
Die Summen bzw. Differenzen:
+a + b , +a − b , −a + b , −a − b
werden nach folgenden Regeln berechnet:
1. Bei gleichen Vorzeichen addiert man die Beträge a und b.
Die Summe erhält das gemeinsame Vorzeichen.
Z. B.: −3 − 5 = −8 oder +7 + 8 = +15
2. Bei unterschiedlichen Vorzeichen subtrahiert man den
kleineren Betrag vom größeren. Die Differenz erhält das
Vorzeichen, das vor dem größeren Betrag steht.
Z. B.: −6 + 9 = +3 oder +8 − 12 = −4

Formelsammlung Algebra Seite 8
Multiplikation und Division:
Man multipliziert zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen, indem
man ihre Beträge multipliziert. Das Produkt erhält das positive
Vorzeichen.
Man multipliziert zwei Zahlen mit unterschiedlichen
Vorzeichen, indem man ihre Beträge multipliziert. Das Produkt
erhält das negative Vorzeichen.
+
−
+
+
mal =
−
mal =
−
mal =
− +
mal =
+
+
−
−
+
−
+
+
durch =
−
durch =
−
durch =
− +
durch =
Klammerrechnung
Auflösen von „Plus“-Klammern:
Es gilt: +(+a) = +a
+(−a) = −a
+(a − b + c) = +a − b + c
+(−a + b + c) = −a + b + c
Auflösen von „Minus“-Klammern:
Es gilt: −(−a + b − c) = +a − b + c
−(+a) = −a
−(−a) = +a
−(a − b + c) = −a + b − c
Ausmultiplizieren (vgl. Distributivgesetz):
und
a . (b ± c ± d) = a . b ± a . c ± a . d
(b ± c ± d) . a = a . b ± a . c ± a . d
Multiplizieren von Summen und Differenzen:
oder
(a + b) . (c + d) = a . c + a . d + b . c + b . d
(a + b) . (c − d) = a . c − a . d + b . c − b . d
Rechnen mit Variablen
a, b, c, x, y ∈ R, x und y sind die Variablen,
a, b und c werden Koeffizienten genannt.
Addition und Subtraktion:
ax + bx + cx = (a + b + c) x , z. B.: 2x + 5x + 3x = 10x
ax − bx + cx = (a − b + c) x , z. B.: 7x − 3x + 8x = 12x
+
+
−
−
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In Summen und Differenzen werden gleichartige Terme
zusammengefasst, indem man die Summe bzw. Differenz der
Koeffizienten berechnet.
Beachte: Der Malpunkt wird beim Rechnen mit Variablen
meist weggelassen. Es bedeutet: ax = a ⋅ x
Summen und Differenzen mit verschiedenartigen
Termen:
ax + by + cx + dy = (a + c)x + (b + d)y
In Summen und Differenzen aus verschiedenartigen Termen
können nur die gleichartigen Terme zusammengefasst
werden.
Z. B.: 3x + 4y + 2x + 7y = 5x + 11y
Multiplikation und Division:
a ⋅ (bx) = (a⋅b)x , z. B.: 4 ⋅ 5x = 20x
ax ⋅ by = (a⋅b)xy , z. B.: 7x ⋅ 5y = 35xy
(cx) : d = (c : d)x , z. B.: 18x : 6 = (18 : 6)x = 3x
Die binomischen Formeln
1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
3. (a + b) (a − b) = a 2 − b 2
Bruch:
Bruchrechnung
Jeder Quotient a : b (a, b ∈ Z, mit b ≠ 0) kann als Bruch a b
geschrieben werden.
Darin ist a der Zähler und b der Nenner.
Bruchteile:
Mit einem Bruch wird ein Bruchteil von etwas Ganzem
beschrieben. Der Nenner des Bruchs gibt an, in wie viele
Teile das Ganze geteilt werden soll. Der Zähler des Bruchs
gibt an, wie viele von diesen Teilen gemeint sind.
Beispiele:
1
4
Kehrwert:
2
4
Man erhält den Kehrwert (bzw. Kehrbruch oder Reziprokes)
eines Bruchs a , indem man Zähler und Nenner vertauscht.
b
Es gilt: a b b ⋅ a =
1
3
4

Formelsammlung Algebra Seite 9
Erweitern:
Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit
der gleichen Zahl multipliziert. Es gilt: a
=
a
b b
⋅c
mit c ≠ 0
⋅c
Kürzen:
Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch
die gleiche Zahl dividiert. Ein Bruch a kann nur dann mit c
b
gekürzt werden, wenn a und b durch c teilbar sind.
Es gilt: a
b
=
a : c
, mit c ≠ 0
b : c
Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche:
Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig.
Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem
man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner
beibehält:
a b
d
+
a b
d
=
+
d
und a b a − b
d
−
d
=
d
Addition und Subtraktion ungleichnamiger
Brüche:
Ungleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert,
indem man sie auf denselben Nenner, den Hauptnenner,
erweitert. Der Hauptnenner ist ein gemeinsames Vielfaches der
beiden Nenner. Anschließend verfährt man wie bei
gleichnamigen Brüchen.
Es gilt: a b
c +
a d
d
=
b c a d b c
c d c d c d
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅ + ⋅
⋅
und a b
c −
a d
d
=
b c a d b c
c d c d c d
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
⋅ − ⋅
⋅
Multiplikation und Division:
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man
Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem
Kehrwert multipliziert.
a
b
a
b c . =
. c a c
=
d b d
. .
a
b
. c a c
=
1 b
.
a
b
c
: =
d
a
b
a
b c : =
Lineare Gleichungen
a
b
. d a d
=
c b c
. .
. 1 a
=
c b . c
Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche
Lösungsmenge haben. Die Lösungsmenge einer Gleichung
ändert sich nicht, wenn man
→ auf beiden Seiten denselben Term addiert oder subtrahiert,
→ beide Seiten mit einer Zahl ( ≠ 0) bzw. einem Term
multipliziert oder dividiert.
Beispiel: ax + b = 0 | −b
⇔ ax = −b | : a
⇔ x = − b a
L = { − b a } mit a ≠ 0
Allgemeine Form:
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Lineare Gleichungssysteme
(2 Gleichungen, 2 Variablen)
a1 x + b1 y = c1 (I)
a2 x + b2 y = c2 (II)
mit den Konstanten a1, a2, b1, b1, c1, c1 ∈ R
und den Variablen x und y
Lösungsverfahren:
1. Einsetzungsverfahren: Man löst eine Gleichung nach einer
Variablen auf (z. B. nach y) und setzt den entsprechenden
Term in die zweite Gleichung ein.
2. Gleichsetzungsverfahren: Man löst beide Gleichungen
nach derselben Variablen auf (z. B. nach y) und setzt die
beiden Terme für y gleich.
3. Additionsverfahren: Man formt beide Gleichungen so um,
dass beim Addieren bzw. Subtrahieren beider Gleichungen
eine Variable herausfällt.
Bei allen drei Verfahren erhält man eine Gleichung mit nur
noch einer Variablen, die durch Auflösen berechnet werden
kann. Die zweite Variable erhält man durch Einsetzen der
berechneten ersten Variable in eine der beiden
Ausgangsgleichungen.
4. Grafische Lösung: Man löst beide Gleichungen nach y auf
und zeichnet jeweils die Gerade zur Funktionsgleichung
y = mx + b in ein Schaubild. Die Koordinaten des Schnitt-
punkts S(xs | ys) beider Geraden sind die Lösungsmenge.
Beispiel: g: y = 1 2 x + 1 , h: y = − 3 4
x + 2,25
−3
y
h 3
g
2
1
−2 −1 1 2
−1
S(1 | 1,5)
Die Koordinaten des Schnittpunkts sind S(1 | 1,5).
Damit ist die Lösungsmenge L = { (1; 1,5) }
3
x

Formelsammlung Algebra Seite 10
Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form: ax 2 + bx + c = 0
mit den Konstanten a, b, c ∈ R und a ≠ 0
b b2 4ac
Lösung: x =
1,2 2a
− ± −
mit der Diskriminanten D = b 2 − 4ac
Normalform: x 2 + px + q = 0
mit den Konstanten p, q ∈ R
Lösung: x 1,2
p
= − ±
2
2
p ( 2)
− q
2
p
mit der Diskriminanten D = ( 2)
− q
Zahl der Lösungen: (bei allgemeiner Form und Normalform)
→ genau eine Lösung für D = 0
→ zwei Lösungen für D > 0
→ keine Lösung für D < 0
Lineare und quadratische Funktionen
1. Lineare Funktionen:
y = m x + b , m ist die Steigung, b ist der y-Achsenabschnitt
y
b
Δ x
y = mx + b
.
Δy
2. Quadratische Funktionen:
a) Allgemeine Form: y = x 2 + px + q
b) Scheitelform: y = (x − d) 2 + c
Δ y
m =
Δ x
Der Scheitelform kann man die Scheitelkoordinaten der Parabel
direkt ablesen: S (d | c)
y
.
d
.
c
Bei negativem d-Wert ist die Normalparabel nach links
verschoben.
Bei negativem c-Wert ist die Normalparabel nach unten
verschoben.
x
x
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Dreisatzrechnung
Proportionale Zuordnungen:
Beispiel: Ein Auto verbraucht 12 Liter Kraftstoff auf 162 km.
Wie weit kann man (bei konstantem Verbrauch) mit 20 Litern
fahren ?
:12
. 20
12 Liter = ^ 162 km
1 Liter = ^ 13,5 km
20 Liter = ^ 270 km
:12
. 20
Umgekehrt proportionale Zuordnungen:
Beispiel: 8 Pferde fressen in 5 Tagen eine bestimmte Menge
Hafer. Wie lange würde die gleiche Menge Hafer für 10
Pferde reichen ?
: 8
. 10
8 Pferde = ^ 5 Tage
1 Pferd = ^ 40 Tage
10 Pferde = ^ 4 Tage
Prozentrechnung
.
8
: 10
Die Grundgleichung der Prozentrechnung:
p = Prozentsatz, G = Grundwert, Pw = Prozentwert
p ⋅ G
100
p % = p
100
= Pw ⇔
100 Pw
p ⋅
= G ⇔
Prozentsätze im Kreisdiagramm:
Es gilt: 1 % å 3,6°
Beispiel:
p 1 % = 20 %
p 2 % = 35 %
p 3 % = 45 %
35 %
126° 72°
162°
45 %
20 %
100 Pw
G ⋅
Vermehrter und verringerter Grundwert:
G = Grundwert,
= p
Wneu = neuer Wert = vermehrter (verringerter) Grundwert
Es gilt: q ⋅ G = Wneu
p
mit q = ( 1
100)
p
und q = ( 1 )
+ bei Erhöhung des Grundwerts
− bei Verringerung des Grundwerts
100

Formelsammlung Algebra Seite 11
Zinsrechnung
K = Startkapital, Kredit oder Darlehen, Z = Zinsen,
p % = Zinssatz,
n = Anzahl der Jahre, m = Anzahl der Monate,
t = Anzahl der Tage
K ⋅ p
Jahreszinsen: Z =
100
K p m
Monatszinsen: Z m 100 12
=
⋅ ⋅
⋅
K p t
Tageszinsen: Z t 100 360
=
⋅ ⋅
⋅
1 Monat hat in der Zinsrechnung immer 30 Tage.
1 Jahr hat in der Zinsrechnung immer 360 Tage.
Zinseszins (bei konstantem Zinssatz p) :
K 0 = Startkapitel, K n = Kapital nach n Jahren
n
Es gilt: K n K 0 q
p
= ⋅ , mit q = ( 1 + )
100
Quadrat- und Kubikwurzeln
+
Quadratwurzel a (sprich: „Wurzel a“) mit a ∈ R0 a ist der Radikand. ± a ist die Lösung der Gleichung x 2 = a .
2
Es gilt: a = a und a ⋅ a = a
a ⋅ b = a ⋅ b und a
b = a b
Rationalmachen des Nenners:
für a, b > 0
Man kann einen Nenner rational machen, indem man den Bruch
mit der Wurzel des Nenners erweitert:
3
Kubikwurzel a
3
a
a
b
a⋅
b
=
b⋅
b
a ⋅ b
=
b
+
(sprich: „3-te Wurzel von a“) mit a ∈ R0 ist die Lösung der Gleichung x 3 = a .
Potenzen
an Schreibweise: = a . a . a . ... . a mit a ∈ R \ {0} ; n ∈ N
n Faktoren a
Potenz a n (sprich: „a hoch n“), a = Basis, n = Exponent
Spezielle Potenzen:
a 2 = a ⋅ a (sprich: „a-Quadrat“), a 1 = a , a 0 = 1 , a −n = 1
a n
Potenzgesetze:
Bei a > 0 für m, n ∈ R und bei a ∈ R \ {0} für m, n ∈ Z
1. gleiche Basis: a m ⋅ a n = a m + n und am
m − n
an
= a
2. gleicher Exponent: a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n und an
n
bn
=
a ( b)
3. Potenzieren: (a n ) m = a n ⋅ m und (a r ⋅ b s ) n = a r ⋅ n s ⋅ n
⋅ b
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Logarithmen
Schreibweise: loga b (sprich: Logarithmus b zur Basis a)
mit a, b ∈ R + und a ≠ 1
x = loga b ist die Lösung der Gleichung b = a x
loga a = 1 und loga 1 = 0
Spezielle Basen: Zehnerlogarithmus: log10 b = lg b
Logarithmengesetze:
Natürlicher Logarithmus: loge b = ln e
(mit der Eulerschen Zahl e = 2,71828 ...)
loga (u ⋅ v) = loga u + loga v loga u v = loga u − loga v
loga u r = r ⋅ loga u (r ∈ R)
Mittelwerte
x1 + x 2 + ... + xn
Arithmetisches Mittel: M = n
Geometrisches Mittel: G = n x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
1 2 n
Umrechnen von Einheiten
. . . .
1000
10 10 10
Länge: km m dm cm mm
. . . . . 100
100
100 100 100
Fläche: ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2
. . .
1000
1000 1000
Volumen: m 3 dm 3 cm 3 mm 3
(=Liter)
. . .
1000
1000 1000
Masse: t kg g mg
. . .
24
60 60
Zeit: Tag h min s

Formelsammlung Stochastik Seite 12
Daten erfassen
Merkmal X: Der beobachtete Wert einer Datenreihe.
Zum Beispiel die Körpergröße der Jugendlichen einer
Schulklasse.
Urliste: Ungeordnete Zusammenstellung der
beobachteten Merkmale bzw. Ergebnisse. Zum Beispiel
Körpergröße von 5 Jugendlichen: 1,65 m; 1,78 m; 1,62 m;
1,81 m; 1,59 m
Rangliste oder geordnete Urliste:
Nach der Größe geordnete Urliste.
Zum Beispiel: 1,59 m; 1,62 m; 1,65 m; 1,78 m; 1,81 m
Absolute Häufigkeit: Die Zahl, die angibt, wie oft ein
Merkmalswert in einer Häufigkeitsliste vorkommt.
Relative Häufigkeit:
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl aller
Werte
Minimum xmin: Der kleinste Wert einer Liste.
Maximum xmax: Der größte Wert einer Liste.
Mittelwert oder Durchschnitt: Wenn jeder Merkmalswert
nur einmal vorkommt, berechnet man den Mittelwert mit
x + x 1 2
x =
+ ... + x n
n
.
Der Mittelwert kann auch mit den relativen Häufigkeiten ri
einer Häufigkeitstabelle berechnet werden. Dann gilt:
x = r1 ⋅ x1 + r2 ⋅ x2 + … + rn ⋅ xn
Modalwert x*: Derjenige Wert in der Urliste, der am
häufigsten vorkommt. Mehrere Modalwerte sind möglich.
Zentralwert x ~ (= Median): Wird mithilfe einer geordneten
Urliste bzw. Rangliste bestimmt.
• Bei einer ungeraden Anzahl an Werten gilt:
x ~ ist der mittlere Wert der Rangliste.
• Bei einer geraden Anzahl an Werten gilt:
x ~ ist der Mittelwert der beiden in der Mitte stehenden
Werte.
Unteres Quartil qu: Man multipliziert die Anzahl der
Werte der Urliste mit ¼ . Ist das Ergebnis nicht ganzzahlig
nimmt man den nächst höheren Rangplatz. Der Merkmalswert
dieses Rangplatzes ist qu. Bei ganzzahligem Ergebnis
ist qu der Mittelwert aus dem Wert dieses und des nächst
höheren Rangplatzes.
Oberes Quartil qo: Wird wie das untere Quartil bestimmt,
nur dass man die Anzahl der Werte der Urliste mit ¾
multipliziert.
Boxplot: Ist ein Säulen- oder Balkendiagramm, in das man
xmin, xmax, qu und qo einträgt. Die Box zwischen den beiden
Quartilen umfasst 50% aller Werte.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsexperiment: Ein Versuch, dessen Ausgang
ungewiss ist. Zum Beispiel das Werfen eines Würfels.
Ereignis: Alle Ausgänge mit einer bestimmten
Eigenschaft bilden ein Ereignis. Zum Beispiel gehören
beim Würfeln die Augenzahlen 1; 3 und 5 zum Ereignis
„ungerade Augenzahlen“.
Laplace-Experiment: Sind alle möglichen Ausgänge
eines Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich, spricht
man von einem Laplace-Experiment.
Laplace-Wahrscheinlichkeit: Sind alle Ausgänge eines
Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich, gilt für die
Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A:
P(A) =
Anzahl der Ausgänge,
bei denen A eintritt
Anzahl aller möglichen Ausgänge
Gegenereignis: Zu jedem Ereignis A gibt es ein
Gegenereignis A , das genau das Gegenteil beschreibt.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses
A und seines Gegenereignisses A ist immer 1.
Es gilt: P( A ) = 1 − P(A)
Mehrstufige Zufallsexperimente: Ist ein
Zufallsversuch, bei dem mehrere nacheinander
ablaufende Zufallsversuche zu einem einzigen
Zufallsversuch zusammengefasst werden. Zum Beispiel
das dreimalige Werfen einer Münze mit den
Teilergebnissen Wappen (W) oder Zahl (Z).
Baumdiagramm: Jedes mehrstufige
Zufallsexperiment kann
in einem Baumdiagramm veranschaulicht
werden. Darin beschriftet
man die Knoten mit
den Teileregebnissen (beim
.
Münzwurf mit Z oder W).
Die Wahrscheinlichkeiten der
Teilergebnisse schreibt man
auf die Äste. Beim Werfen
1
2
1
2
Z
1
2
1
2
1
2
Z
(Z; Z)
W
(Z; W)
Z
(W; Z)
1. Teil-
W
1
2
W
(W; W)
experiment 2. Teilexperiment
einer idealen Münze ist diese Wahrscheinlichkeit ½.
Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines
Versuchsausgangs in einem mehrstufigen
Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden
Pfades.
Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment
ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zu
diesem Ereignis gehörenden Pfade.