Testen von Hypothesen bei gegebenem ... - MatheNexus

Mathias Russ, MK 19.04.2007 Hypothesentest_Ueb_Ber.mcd
Testen von Hypothesen bei gegebenem Annahmebereich - Übungen
(1) Schulschwänzer
Von einem Schüler wird behauptet, dass er (mindestens) 40% der Unterrichtstage schwänzt (Nullhypothese).
Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 20 zufällig ausgewählte Tage überprüft. Die Nullhypothese wird
angenommen, wenn mindestens 8 Fehltage dabei sind.
Berechnen Sie das Risiko dafür, dass der Schüler nicht als Schwänzer erkannt wird, obwohl er einer ist.
(2) Wahrsagerin
Eine Wahrsagerin behauptet, dass sie sich in (maximal) 5% ihrer Vorhersagen irrt (Nullhypothese). Sie
überprüfen 50 Vorhersagen auf ihre Richtigkeit. Die Behauptung der Wahrsagerin wird als zutreffend
angenommen, wenn höchstens 3 Vorhersagen falsch sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wahrsagerin irrtümlich als Scharlatan bezeichnet?
(3) Waldsterben
Vor einigen Jahren stellte man bei einer Zählung fest, dass in einem bestimmten Waldstück der Wildverbiss bei
Fichten 20% beträgt. Bei einer aktuellen Waldbegehung kommt der Verdacht auf, dass sich dieser
Schadensanteil vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden 200 zufällig ausgewählte
Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als 50 geschädigt, wird die Vermutung als bestätigt
angesehen.
Geben Sie die Testgröße T, die Nullhypothese H 0 und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an.
Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des
Schadensanteils entscheidet.
Beschreiben Sie, worin hier der Fehler 2. Art besteht. (Quelle: AP 2003/S I)
(4) Lerneifer
Einem Schüler werden in einer Prüfung 25 Fragen gestellt, die er mit „ja“ oder „nein“ beantworten kann und soll.
Der Prüfer vermutet, dass der Schüler nicht vorbereitet ist und somit rät (Nullhypothese). Diese Vermutung wird
verworfen, wenn der Schüler mehr als 15 richtige Antworten gibt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man den Schüler fälschlicherweise als eifrigen Lerner einschätzt?
(5) Osterhasen
Der Hersteller von Schokoladenosterhasen gewährt seinen Kunden keinen Preisnachlass, wenn (höchstens)
20% der gelieferten Hasen beschädigt sind (Nullhypothese). Hersteller und Kunde vereinbaren, 30 Hasen zu
überprüfen. Es gibt einen Preisnachlass, wenn mehr als 8 Hasen zerbrochen sind.
Wie groß ist das Herstellerrisiko?
Wie groß ist das Risiko des Kunden, keinen Nachlass zu erhalten, obwohl tatsächlich 40% der Hasen
zerbrochen sind?
(6) Glücksrad
Bei einem Kindergartenfest wird ein Glücksrad aufgestellt, das in acht gleichgroße Sektoren unterteilt ist. Einer
dieser Sektoren ist blau eingefärbt. Ein Lausbub, der bereits bis 50 zählen kann, hat das Glücksrad
„manipuliert“, indem er heimlich einen Kaugummi auf die Rückseite des blauen Sektors geklebt hat. Er vermutet,
dass der blaue Sektor nun häufiger erscheint (Gegenhypothese). Dazu beobachtet er 50 Drehungen des Rades
und glaubt, seine Vermutung bestätigen zu können, wenn dabei der blaue Sektor mehr als zehnmal erscheint.
Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie die Art des vorliegenden
Hypothesentests an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lausbub seine Vermutung als bestätigt betrachtet,
obwohl das Rad durch den Kaugummi in Wirklichkeit nicht beeinflusst wird. (Quelle: AP 1999/S II)

(1) Schulschwänzer
Von einem Schüler wird behauptet, dass er (mindestens) 40% der Unterrichtstage schwänzt (Nullhypothese).
Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 20 zufällig ausgewählte Tage überprüft. Die Nullhypothese wird
angenommen, wenn mindestens 8 Fehltage dabei sind.
Berechnen Sie das Risiko dafür, dass der Schüler nicht als Schwänzer erkannt wird, obwohl er einer ist.
Nullhypothese H0 : Der Schüler fehlt mindestens an 40% der Schultage
Testgröße: Anzahl der Fehltage
Stichprobenlänge n = 20
Entscheidungsregel 8 ≤ k (linksseitiger Test)
H p0 ≥ 0.4
0
H p1 < 0.4
1
P( x ≤ 7)
(2) Wahrsagerin
Eine Wahrsagerin behauptet, dass sie sich in (maximal) 5% ihrer Vorhersagen irrt (Nullhypothese). Sie
überprüfen 50 Vorhersagen auf ihre Richtigkeit. Die Behauptung der Wahrsagerin wird als zutreffend
angenommen, wenn höchstens 3 Vorhersagen falsch sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wahrsagerin irrtümlich als Scharlatan bezeichnet?
Nullhypothese H0 : Die Wahrsagerin irrt mit höchstens 5%.
Testgröße: Anzahl der unzutreffenden Vorhersagen
Stichprobenlänge n = 50
Entscheidungsregel k ≤ 3 (rechtsseitiger Test)
H p0 ≤ 0.05
0
H p1 > 0.05
1
P( x ≤ 3)
Annahmebereich A = 8 .. 20
Annahme von H 0 , richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, β
7
⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
Tafelwerk, S. 21
0.4k
20 k
⋅ ( 1 − 0.4)
−
= ⋅
= SPBin_h( 20, 0.4 , 7)
= 0.41589
∑
=
Annahmebereich A = 0 .. 3
Annahme von H 0 , richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, β
Ablehnungsbereich A ⎯ = 0 .. 7
Ablehnungsbereich A ⎯ = 4 .. 50
3
⎛ 50 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
Tafelwerk, S. 13
0.05k
50 k
⋅ ( 1 − 0.05)
−
= ⋅
= SPBin_h( 50, 0.05 , 3)
= 0.76041
∑
=
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, α
Annahme von H 1 , richtige Entscheidung
α = 42%
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, α
Annahme von H 1 , richtige Entscheidung
α = 1 − 0.76 = 24%

(3) Waldsterben
Vor einigen Jahren stellte man bei einer Zählung fest, dass in einem bestimmten Waldstück der Wildverbiss bei
Fichten 20% beträgt. Bei einer aktuellen Waldbegehung kommt der Verdacht auf, dass sich dieser
Schadensanteil vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden 200 zufällig ausgewählte
Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als 50 geschädigt, wird die Vermutung als bestätigt
angesehen.
Geben Sie die Testgröße T, die Nullhypothese H 0 und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an.
Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des
Schadensanteils entscheidet.
Beschreiben Sie, worin hier der Fehler 2. Art besteht. (Quelle: AP 2003/S I)
Nullhypothese H0 : Der Anteil der angeknabberten Fichten liegt bei höchstens 20%
Testgröße: Anzahl der gebissenen Bäume
Stichprobenlänge n = 200
Entscheidungsregel k ≤ 50 (rechtsseitiger Test)
H p0 ≤ 0.2
0
H p1 > 0.2
1
P( x ≤ 50)
ß bedeutet hier, dass man den Anstieg der Wildschäden nicht erkennt.
(4) Lerneifer
Einem Schüler werden in einer Prüfung 25 Fragen gestellt, die er mit „ja“ oder „nein“ beantworten kann und soll.
Der Prüfer vermutet, dass der Schüler nicht vorbereitet ist und somit rät (Nullhypothese). Diese Vermutung wird
verworfen, wenn der Schüler mehr als 15 richtige Antworten gibt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man den Schüler fälschlicherweise als eifrigen Lerner einschätzt?
Nullhypothese H0 : Der Schüler rät die Antworten, er hat 50% richtige Antworten.
Testgröße: Anzahl der richtigen Antworten
Stichprobenlänge n = 25
Entscheidungsregel k ≤ 15 (rechtsseitiger Test)
H p0 ≤ 0.5
0
H p1 > 0.5
1
P( x ≤ 15)
Annahmebereich A = 0 .. 50
Annahme von H 0 , richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, β
50
⎛ 200 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
Tafelwerk, S. 19
0.2k
200 k
⋅ ( 1 − 0.2)
−
= ⋅
= SPBin_h( 200 , 0.2 , 50)
= 0.9655
∑
=
Annahmebereich A = 0 .. 15
Annahme von H 0 , richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, β
15
⎛ 25 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
Tafelwerk, S. 27
0.5k
25 k
⋅ ( 1 − 0.5)
−
= ⋅
= SPBin_h( 25, 0.5 , 15)
= 0.88524
∑
=
Ablehnungsbereich A ⎯ = 51..
200
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, α
Annahme von H 1 , richtige Entscheidung
Ablehnungsbereich A ⎯ = 16..
25
α = 1 − 0.9655 = 3.45%
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, α
Annahme von H 1 , richtige Entscheidung
α = 1 − 0.885 = 11.5%

(5) Osterhasen
Der Hersteller von Schokoladenosterhasen gewährt seinen Kunden keinen Preisnachlass, wenn (höchstens)
20% der gelieferten Hasen beschädigt sind (Nullhypothese). Hersteller und Kunde vereinbaren, 30 Hasen zu
überprüfen. Es gibt einen Preisnachlass, wenn mehr als 8 Hasen zerbrochen sind.
Wie groß ist das Herstellerrisiko?
Wie groß ist das Risiko des Kunden, keinen Nachlass zu erhalten, obwohl tatsächlich 40% der Hasen
zerbrochen sind?
Nullhypothese H0 : Höchstens 20% der Schokohäschen sind unbrauchbar
Testgröße: Anzahl der zerbrochenen Hasen
Stichprobenlänge n = 30
Entscheidungsregel k ≤ 8 (rechtsseitiger Test)
H p0 ≤ 0.2
0
H p1 = 0.4
1
P( x ≤ 8)
P( x ≤ 8)
(6) Glücksrad
Bei einem Kindergartenfest wird ein Glücksrad aufgestellt, das in acht gleichgroße Sektoren unterteilt ist. Einer
dieser Sektoren ist blau eingefärbt. Ein Lausbub, der bereits bis 50 zählen kann, hat das Glücksrad
„manipuliert“, indem er heimlich einen Kaugummi auf die Rückseite des blauen Sektors geklebt hat. Er vermutet,
dass der blaue Sektor nun häufiger erscheint (Gegenhypothese). Dazu beobachtet er 50 Drehungen des Rades
und glaubt, seine Vermutung bestätigen zu können, wenn dabei der blaue Sektor mehr als zehnmal erscheint.
Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie die Art des vorliegenden
Hypothesentests an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lausbub seine Vermutung als bestätigt betrachtet,
obwohl das Rad durch den Kaugummi in Wirklichkeit nicht beeinflusst wird. (Quelle: AP 1999/S II)
Nullhypothese H0 : Das Glücksrad zeigt "blau" mit der Wahrscheinlichkeit 12,5%
Testgröße: Anzahl der erdrehten blauen Sektoren
Stichprobenlänge n = 50
Entscheidungsregel k ≤ 10 (rechtsseitiger Test)
H p0 = 0.125
0
H p1 > 0.125
1
P( x ≤ 10)
Annahmebereich A = 0 .. 8
Annahme von H 0 , richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, β
8
⎛ 30 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
0.2k
30 k
⋅ ( 1 − 0.2)
−
= ⋅
= SPBin_h( 30, 0.2 , 8)
= 0.87135
∑
=
8
⎛ 30 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
0.4k
30 k
⋅ ( 1 − 0.4)
−
= ⋅
= SPBin_h( 30, 0.4 , 8)
= 0.09401
∑
=
Annahmebereich A = 0 .. 10
Annahme von H 0 , richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, β
Ablehnungsbereich A ⎯ = 9 .. 30
Tafelwerk, S. 17
Tafelwerk, S. 22
Ablehnungsbereich A ⎯ = 11..
50
10
⎛ 50 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k 0
Tafelwerk, S. 13
0.125k
50 k
⋅ ( 1 − 0.125)
−
= ⋅
= SPBin_h( 50, 0.125 , 10)
= 0.95793
∑
=
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, α
Annahme von H 1 , richtige Entscheidung
α = 1 − 0.87 = 13%
"Herstellerrisiko", der
Hersteller zahlt grundlos.
α = 9%
"Kundenrisiko" bei 40%
Ausschuss.
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, α
Annahme von H 1 , richtige Entscheidung
α = 1 − 0.958 = 4.2%

n
Binomialkoeffizient: bk( n , k)
wenn k < 1 , 1 bk n − 1 k 1
k − , ( )
⋅ ,
:= ⎜
⎛
⎝
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli: PBinver( n , p , k)
bk( n , k)
p k n k
⋅ ( 1 − p)
−
:=
⋅
n: Anzahl der Versuche
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
k: Anzahl der Treffer
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:
z
SPBin_h( n , p , z)
:= ∑
k = 0
PBinver( n , p , k)
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:
n
SPBin_m( n , p , z)
:=
∑
k = z
PBinver( n , p , k)
⎞ ⎟⎠