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Algebra: Quadratische Gleichungen
Karte 1
1. Wie lautet die p, q – Formel zur Lösung der
quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 ?
2. Berechne mit der p, q – Formel die
Lösungen der Gleichungen:
Lösung:
a) x 2 − 3x − 4 = 0
b) x 2 1
+ x − 3 = 0
2
1. Die p, q – Formel lautet:
x1
p p 2
p p
= − + ( ) − q und x
2 ( )
2
2. a) Es ist: p = −3 und q = −4.
2
2
= − −
2 2
− q
Durch Einsetzen in die p, q - Formel erhält man die
Lösungen: x1 = 4 und x2 = −1.
b) Es ist: p = 2
1 und q = −3.
Durch Einsetzen in die p, q - Formel erhält man die
Lösungen: x1 = 1,5 und x2 = −2.
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Algebra: Quadratische Gleichungen
Karte 2
Wie muss man folgende Gleichungen umformen,
bevor man die p, q – Formel anwenden kann ?
Gib jeweils die Lösungen an.
a) x 2 + 9x + 8 = −6
b) 2x 2 − 8x − 10 = 0
Lösung:
Wichtig: Die p, q - Formel darf nur dann angewendet
werden, wenn auf einer Seite der Gleichung „0“ steht.
Außerdem darf vor „x 2 “ kein Faktor stehen.
a) b)
.
⇔
⇒
x 2 + 9x + 8 = −6 | +6
x 2 + 9x + 14 = 0
x 1 = −2 und x 2 = −7
2x 2 − 8x − 10 = 0 | :2
x 2 − 4x − 5 = 0
x 1 = 5 und x 2 = −1
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⇔
⇒

Algebra: Quadratische Gleichungen
Was muss man in folgender Gleichung beachten,
wenn man die Klammern ausmultipliziert bzw.
die quadratische Klammer auflöst ?
Karte 3
4 − (x + 1)(x − 2) − (x + 3) 2 = −10
Berechne die Lösungen.
Lösung:
Wichtig: Steht vor einem Klammerprodukt oder einer
quadratischen Klammer ein Minuszeichen, muss man
zusätzliche Klammern setzen ! Sonst gibt es beim
Ausmultiplizieren einen Vorzeichenfehler.
4 − [(x + 1)(x − 2)] − [(x + 3) 2 ] = −10
⇔ 4 − [x 2 − 2x + 1x − 2] − [x 2 + 6x + 9] = −10
⇔ 4 − x 2 + 2x − 1x + 2 − x 2 − 6x − 9 = −10 | +10
⇔ −2x 2 − 5x + 7 = 0 | :(−2)
⇔ x 2 + 2,5x − 3,5 = 0 ⇒ x1 = 1 und x2 = −3,5
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Algebra: Bruchgleichungen
Karte 4
a) Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer
Bruchgleichung ?
b) Gib die Definitionsmenge folgender Gleichung an:
Lösung:
1 2 3
+ =
6x x + 5 x − 1
a) Die Zahlen, bei denen die einzelnen Nenner der
Bruchgleichung 0 werden, müssen aus der Definitionsmenge
ausgeschlossen werden, da die Division durch 0
verboten ist. Man muss also jeden Nenner = 0 setzen und
nach x auflösen. Die Ergebnisse dieser Gleichungen
schreibt man in die geschweifte Klammer: D = IR \ { … }
b) 6x = 0 ⇔ x1 = 0
x + 5 = 0 ⇔ x2 = −5
x − 1 = 0 ⇔ x3 = 1
Damit ist die Definitionsmenge: D = IR \ {0 ; −5 ; 1 }
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Algebra: Geraden
Karte 5
a) Wie lautet die allgemeine Gleichung einer
Geraden g ?
g: .
b) Was sind darin die Steigung und der
y-Achsenabschnitt ?
Lösung:
a) g: y = m ⋅ x + b bzw. y = m x + b
b) m ist die Steigung der Geraden. b nennt man den
y-Achsenabschnitt, da die Gerade g die y-Achse
immer im Punkt S y(0 | b) schneidet.
Tipp: Wenn man eine Gerade zeichnen soll, sollte die
Steigung m immer als Bruch vorliegen, damit man das
Steigungsdreieck zeichnen kann.
3 2
Z. B.: y = 1,5x + 2 = x + 2 oder y = 2x − 1 = x − 1
2
1
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Algebra: Geraden
a) Wie geht man vor, um das Schaubild einer
Geraden zu zeichnen ? Die Funktionsgleichung
der Geraden sei bekannt.
b) Zeichne jeweils das Schaubild der Geraden g und h
in ein Achsenkreuz:
Karte 6
1 3
g: y = x − 3 ; h: y = − x + 2
2
4
Lösung:
a) Man trägt zunächst den Schnittpunkt S y(0 | b) der Geraden
mit der y-Achse ein. Anschließend zeichnet man von S y aus
anhand der Steigung m ein Steigungsdreieck.
z
Dazu sollte die Steigung m als Bruch vorliegen: m = .
n
b)
2
-3
y
2
6
h
g
x
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Algebra: Geraden
a) Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer
Geraden, von der zwei Punkte bekannt sind ?
Beschreibe das allgemeine Vorgehen.
b) Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden g,
die durch die Punkte A(2 | 6) und B(−1| 3) läuft ?
Karte 7
Lösung:
a) Man setzt die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die
Geradengleichung y = m⋅x + b ein. Dadurch erhält man ein
Gleichungssystem mit den Unbekannten m und b. Indem man
eine Gleichung von der anderen abzieht, fällt die Variable b
heraus, sodass die Steigung m berechnet werden kann.
Durch Einsetzen von m in eine der beiden Gleichungen kann
auch b berechnet werden.
b) A(2 | 6): 6 = m ⋅ 2 + b bzw. 6 = 2m + b (I)
B(−1 | 3): 3 = m ⋅ (−1) + b bzw. 3 = −m + b (II)
(I) − (II) ergibt: 3 = 3m ⇔ m = 1
Einsetzen in Gleichung (I) 6 = 2m + b ergibt: b = 4
Damit ist g: y = 1x + 4 bzw. y = x + 4
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Algebra: Geraden
a) Wie bestimmt man die Gleichung einer
Geraden, von der die Steigung und ein Punkt
bekannt sind ?
Beschreibe das allgemeine Vorgehen.
b) Wie lautet die Gleichung der Geraden g,
die durch den Punkt P(− 4| 1) läuft und die
Steigung m = 2 hat ?
Karte 8
Lösung:
a) Man setzt die Steigung m und die Koordinaten des
bekannten Punktes in die Geradengleichung y = m⋅x + b
ein. Dadurch erhält man eine Gleichung, die nach b
umgestellt werden kann.
b) Einsetzen von m = 2 und P(− 4 | 1) in y = m⋅x + b
ergibt:
1 = 2 ⋅ (− 4) + b
⇔ 1 = −8 + b ⇔ b = 9
Damit ist g: y = 2x + 9
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Algebra: Geraden
Karte 9
a) Gegeben ist die Gerade g: y = 2x + 1.
Was kann man über die Steigung der Geraden h
aussagen, wenn die Gerade h parallel zu g
verläuft ?
b) Bestimme die Gleichung der Geraden h,
wenn h durch den Punkt P(−3 | 5) geht.
Lösung:
a) Die Steigung der Geraden h ist ebenfalls m = 2.
Merke: Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen,
haben sie die gleiche Steigung m.
b) Einsetzen von m = 2 und P(−3 | 5) in y = m⋅x + b ergibt:
5 = 2 ⋅ (−3) + b
⇔ 5 = −6 + b ⇔ b = 11
Damit ist h: y = 2x + 11
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Algebra: Parabeln
Karte 10
a) Wie lautet die Scheitelform einer
quadratischen Funktion ?
b) Wie kann man anhand einer Scheitelform sehr
leicht die Koordinaten des Scheitelpunkts der
entsprechenden Parabel bestimmen ?
Lösung:
a) Die Scheitelform ist p: y = (x − b) 2 + c.
b) Der Scheitelpunkt der entsprechenden Parabel p hat
die Koordinaten S(b | c).
Tipp: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer die
Zahl, für die die Quadratklammer 0 wird. Die y-Koordinate
steht immer rechts von der Quadratklammer.
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Algebra: Parabeln
Bestimme jeweils die Koordinaten des
Scheitelpunkts der Parabeln:
Karte 11
Lösung:
a) p: y = (x − 3) 2 + 1
b) p: y = (x + 1) 2 − 4
c) p: y = x 2 − 3
d) p: y = (x − 7) 2
a) S(3 | 1) b) S(−1 | − 4) c) S(0 | −3) d) S(7 | 0)
Hinweise zu c) und d):
In c) kann man statt y = x 2 − 3 auch schreiben:
y = (x − 0) 2 − 3.
In d) kann man statt y = (x − 7) 2 auch schreiben:
y = (x − 7) 2 + 0
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Algebra: Parabeln
Karte 12
a) Wie bestimmt man die Koordinaten des
Scheitelpunkts einer Parabel, deren
Gleichung in der Form y = x 2 + px + q
angegeben ist ?
b) Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts
folgender Parabeln:
Lösung:
a)
p1: y = x 2 + 4x + 7 ; p2: y = x 2 − 5x + 3
Man muss die Gleichung y = x 2 + px + q mithilfe einer
quadratischen Ergänzung in die Scheitelform
überführen. Erst dann kann man die Koordinaten des
Scheitelpunkts ablesen.
b)
p1: y = x 2 + 4x + 7 = (x + 2) 2 + 3 ⇒ S(−2 | 3)
p2: y = x 2 − 5x + 3 = (x − 2,5) 2 − 3,25 ⇒ S(2,5 | −3,25)
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Algebra: Parabeln
a) Wie geht man vor, um das Schaubild einer
Normalparabel zu zeichnen, wenn deren
Gleichung in der Form y = x 2 + px + q
angegeben ist ?
b) Skizziere die Schaubilder der Parabeln
Karte 13
Lösung:
p1: y = x 2 + 3x − 2 und p2: y = x 2 − 6x − 4.
a)
Zum Zeichnen einer Normalparabel legt man die Parabel-
schablone am Scheitelpunkt an. Den Scheitelpunkt erhält
man, indem man die Gleichung y = x 2 + px + q mithilfe einer
quadratischen Ergänzung in die Scheitelform umwandelt.
b)
P 1: y = x 2 + 3x − 2 = (x + 1,5) 2 − 4,25 ⇒ S(−1,5 | − 4,25)
p 2: y = x 2 − 6x − 4 = (x − 3) 2 − 13 ⇒ S(3 | −13)
Die Schaubilder ergeben sich durch Anlegen der Schablone an
die Scheitelpunkte.
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Trigonometrie:
Wie würdest du vorgehen, um die Schaubilder
folgender Parabelgleichungen zu zeichnen ?
Karte 14
a) p: y = (x − 4) 2 − 5
b) p: y = −x 2 + 2
c) p: y = −(x + 3) 2 + 1
1 2
d) p : y = x − 2
2
Worauf muss man in b), c) und d) jeweils achten ?
Lösung:
Zum Zeichnen der Schaubilder muss man die Parabelschablone
am Scheitelpunkt anlegen. Man muss also zuerst
die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen. In b) und c)
muss man darauf achten, dass die Parabel wegen des
Minuszeichens vor dem quadratischen Term nach unten
geöffnet ist ! In d) kann man die Parabelschablone nicht
benutzen, da vor „x 2 “ noch ein Faktor steht. In diesem Fall
muss man eine Wertetabelle erstellen. Die Parabel in d) ist
gegenüber der Normalparabel gestaucht.
Die Scheitelpunkte sind:
a) S(4 | −5) b) S(0 | 2) c) S(−3 | 1) d) S(0 | −2)
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Algebra: Geraden und Parabeln
a) Wie berechnet man die Schnittpunkte einer
Geraden bzw. Parabel mit der x-Achse ?
Die Gleichung der Geraden bzw. Parabel sei
bekannt. Beschreibe das allgemeine Vorgehen.
b) Berechne jeweils die Schnittpunkte mit
der x-Achse:
Karte 15
Lösung:
Gerade g: y = 4x + 3
Parabel p: y = x 2 − 4x − 5
a) Die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmt man,
indem man in der Gleichung der Parabel bzw. Geraden für
y = 0 setzt und die Gleichung anschließend nach x
umformt. Beachte: Jeder Schnittpunkt mit der x-Achse
hat als y-Koordinate den Wert y = 0.
b)
Bei g: 0 = 3x + 4 ⇔ x = −0,75 ; S(−0,75 | 0)
Bei p: 0 = x 2 − 4x − 5 ⇒ x1 = 5 und x2 = −1
Hier gibt es zwei Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1(5 | 0) und S2(−1 | 0)
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Algebra: Parabeln und Geraden
a) Wie berechnet man den Schnittpunkt einer
Geraden bzw. Parabel mit der y-Achse ?
Die Gleichung der Geraden bzw. Parabel sei bekannt.
Beschreibe das allgemeine Vorgehen.
b) Berechne jeweils den Schnittpunkt mit der y-Achse:
Karte 16
g: y = −0,5x − 8 ; p: y = x 2 + 7x − 3,5
Lösung:
a)
Die Schnittpunkte mit der y-Achse bestimmt man, indem
man in der Gleichung der Parabel bzw. Geraden für
x = 0 setzt und den y-Wert berechnet.
Beachte: Jeder Schnittpunkt mit der y-Achse hat als
x-Koordinate den Wert x = 0.
b)
Bei g: y = −0,5 ⋅ 0 − 8 = −8 ⇒ Sy(0 | −8)
Bei p: y = 0 2 − 4 ⋅ 0 − 5 ⇒ Sy(0 | −5)
Insgesamt 96 Lernkarten zu den Themen Algebra,
Stereometrie, Trigonometrie, Sachrechnen, Daten erfassen
und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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