Exponentialgleichungen - MatheNexus

Definition:
Eine Gleichung der Form b x
Definition:
Die Lösung der Eponentialgleichung b x
Schreibweise: x = logb( a)
Besondere Basen:
Grundlagen Algebra
Exponentialgleichungen
Basis b = 10 heißt "Dekadischer Logarithmus": 10 x
Basis b = e heißt "Natürlicher Logarithmus": e x
Basis b = 2 heißt "Zweier - Logarithmus": 2 x
GS - 23.08.05 - f1_expGl.mcd
= a mit a ∈ IR + und b ∈ IR + \ {1} heißt Exponentialgleichung.
= a heißt "Logarithmus von a zur Basis b".
= a ⇔ x = log10( a)
= lg( a)
= a ⇔ x = loge( a)
= ln( a)
= a ⇔ x = log2( a)
= lb( a)
Bestimmung der Lösungen: Zur Anwendung kommen die
- Potenzgesetze: FS Seite 15 / C
- Monotoniegesetze für Potenzen: FS Seite 16 / B
- Rechengesetze für Logarithmen: FS Seite 16 / B
- Basisumrechnung in die "Taschenrechnerbasen" 10 bzw. e: FS Seite 16 / C
Lösung:
(1) Bringe die Exponentialgleichung mit den Potenzrechenregeln auf die Form A x = B
und löse nach x auf: x = logA( B)
(2) Stelle beide Seiten der Exponentialgleichung als Potenz derselben Basis dar und löse
dann durch Gleichsetzen der Exponenten beider Seiten.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
1 / 9

y-Achse
d( x)
l( x)
− r( x)
2 x
:=
→ − 3
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Gleichung:
Gleichheit der Funktionswerte
4
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Teilaufgabe b)
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
2 x
= 3
Lösungsweg: Logarithmieren und Basis umrechnen.
2x
= 3 auflösen, x
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
l( x)
2 x
:=
r( x)
:= 3
ln( 3)
→ = 1.585
ln( 2)
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
2 / 9
y-Achse
ID = IR
IL = {
ln( 3)
ln( 2)
}
d( x)
= 0 auflösen, x
Differenzfunktion
4
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
→
ln( 3)
ln( 2)
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0

Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
4⋅ x 7
l( x)
2 −
:=
r( x)
:= 3
Gleichheit der Funktionswerte
4
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
4⋅ x 7
2 −
= 3
Lösungsweg : Substitution des Exponenten t = 4⋅x − 7,
Logarithmieren und Basis umrechnen,
Resubstitution und nach x auflösen.
4⋅ x 7
2 −
= 3 auflösen, x
4⋅ x 7
d( x)
l( x)
− r( x)
2 −
:=
→ − 3
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt: d( x)
= 0
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
1 ln( 384)
→ ⋅ = 2.146
4 ln( 2)
3 / 9
y-Achse
ID = IR
d( x)
= 0 auflösen, x
IL = { 1 ln( 384)
⋅ }
4 ln( 2)
Differenzfunktion
4
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
1
→ ⋅
4
ln( 384)
ln( 2)
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0

Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
Gleichheit der Funktionswerte
3
4 3 2 1 0 1 2
2
1
1
2
3
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
2 x
3 ⋅
3 x
− = 2
Lösungsansatz: Substitution des Terms t 3 x
= , quadratische Gleichung lösen,
Resubstitution und nach x auflösen
x
32 ⋅
3 x
− = 2 auflösen, x
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
2 x
l( x)
3 ⋅
3 x
:= −
r( x)
:= 2
2 x
d( x)
l( x)
− r( x)
3 ⋅
3 x
:=
→ − − 2
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt: d( x)
= 0
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
i⋅
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
π
ln( 3)
ln( 2)
ln( 3)
4 / 9
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
y-Achse
⎛
⎜
⎝
2.860i
0.631
ID = IR
⎞
⎟
⎠
keine Lösung
Lösung
d( x)
= 0 auflösen, x
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Differenzfunktion
3
4 3 2 1 0 1 2
2
1
1
2
3
i⋅
IL = {
π
ln( 3)
ln( 2)
ln( 3)
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0
ln( 2)
ln( 3)
}
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
2 x
l( x)
2 3 ⋅
⋅ 6 3 x
:= − ⋅
r( x)
3 x
:= − 3
Gleichheit der Funktionswerte
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
2 x
2 3 ⋅
⋅ 6 3 x
− ⋅ 3 x
= − 3
Lösungsansatz: Substitution des Terms t 3 x
= , gleichartige Terme zusammenfassen,
quadratische Gleichung lösen, Resubstitution und nach x auflösen
2 x
2 3 ⋅
⋅ 6 3 x
− ⋅ 3 x
= − 3 auflösen, x
2 x
d( x)
l( x)
− r( x)
2 3 ⋅
⋅ 7 3 x
:=
→ − ⋅ + 3
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt: d( x)
= 0
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
5 / 9
→
y-Achse
⎛
⎜
⎜
⎝
−ln(
2)
ln( 3)
1
ID = IR
⎞ ⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
−0.631
1.000
d( x)
= 0 auflösen, x
Differenzfunktion
3
2
1
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
⎞ ⎟⎠
→
⎛
⎜
⎜
⎝
IL = {
−ln(
2)
ln( 3)
1
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0
−ln(
2)
ln( 3)
⎞
⎟
⎟
⎠
; 1 }

Logarithmieren:
Teilaufgabe b)
⎛
⎜
⎝
25
3
⎞
⎟
⎠
Grundlagen Algebra
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
2⋅ x 1
Gleichung: 5 − x 1
3 − x 2
− 3 +
= ID = IR
Lösungsansatz: Aufspalten der Potenzen , x-Potenz und Zahlenpotenz separieren ,
Logarithmieren und Basis umrechnen.
2⋅ x 1
Lösung: 5 − x 1
3 − x 2
− 3 +
3
−ln⎜
⎝ 140
= auflösen, x
ln 25
3
ln⎜
⎝ 140
→ = 1.813 IL = {
⎛ ⎞
⎜ ⎟
ln
3
3 ⎛
⎜
25
2⋅ x 1
Aufspalten: 5 − x 1
3 − x 2
− 3 +
= erweitert auf
Separieren:
25 x
25 x
3 x
x
⎛ 1⎞
= 5⋅⎜ 9 + ⎟⎠ auflösen, x
3
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion: l( x)
:=
⎛
⎜
⎝
⎝
25
3
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠
1
Rechte Funktion: r( x)
:= 5⋅⎜ 9 +
3
5
Differenzfunktion: d( x)
:= l( x)
− r( x)
→
⎛
⎝
x
⎞ ⎟⎠
3 x 1
= ⋅⎜9
+ ⇔
3
⎞ ⎟⎠
⎛
⎜
⎝
25
3
⎞
⎟
⎠
x
140
−
3
⎛
⎝
⎞
⎠
1
= 5⋅⎜9 + ⎟ ⇔
3
⎛
ln 140
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
ln 25
→ = 1.813
⎛ ⎞
⎜ ⎟
3
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt: d( x)
= 0 d( x)
= 0 auflösen, x
6 / 9
⎝
⎛
⎝
⎠
⎞
⎠
⎞ ⎟⎠
( ) 2
1
5 5x ⋅
⎛
⎜
⎝
x
25 ⎛ 1
= 5⋅⎜ 9 +
3
3
⎞
⎟
⎠
⎝
⎛
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎝
1
3 3x − ⋅ 9 3 x
= ⋅
⎞ ⎟⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
ln 140
⎜
3
ln 25
→
3
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
}

Graphische Lösung der Gleichung: Variante A
y-Achse
Gleichheit der Funktionswerte
50
40
30
20
10
4 3 2 1 0 1 2 3 4
10
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
7 / 9
y-Achse
Differenzfunktion
10
2 1 0 1 2 3 4
10
20
30
40
50
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0

Grundlagen Algebra
Darstellung der Gleichung mit Funktionen: Variante B
2⋅ x 1
Linke Funktion: l( x)
5 −
:= −
x 2
Rechte Funktion: r( x)
3 +
:=
x 1
3 −
2⋅ x 1
Differenzfunktion: d( x)
l( x)
− r( x)
5 − x 1
3 − x 2
− 3 +
:=
→
−
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt: d( x)
= 0 d( x)
= 0 auflösen, x
Graphische Lösung der Gleichung: Variante B
y-Achse
Gleichheit der Funktionswerte
70
60
50
40
30
20
10
4 3 2 1 0 1 2 3 4
10
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
8 / 9
y-Achse
⎛
3
−ln⎜
⎟
⎝ 140 ⎠
ln 25
→ = 1.813
⎛ ⎞
⎜ ⎟
3
2 1 0 1 2 3 4
10
20
30
40
50
⎝
⎠
Differenzfunktion
10
⎞
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0

Grundlagen Algebra
9 / 9