Lage dreier Ebenen zueinander - grundsätzliche Fälle - MatheNexus
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Problem:<br />
MK 29.2.2012 <strong>Lage</strong>EEE_Faelle.mcd<br />
<strong>Lage</strong> <strong>dreier</strong> <strong>Ebenen</strong> <strong>zueinander</strong> - <strong>grundsätzliche</strong> <strong>Fälle</strong><br />
Wie liegen die drei <strong>Ebenen</strong> E1, E2 und E3 <strong>zueinander</strong>?<br />
→ →<br />
Alle drei <strong>Ebenen</strong> sind in Koordinatenform gegeben: ni ⋅ x − ai = 0<br />
Grunsätzliche <strong>Fälle</strong>:<br />
Ein gemeinsamer Schnittpunkt<br />
(Das ist der "Normalfall")<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E1: n1 := 0 a1 := 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E2: n2 := 0 a2 := 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
0<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E3: n3 := 1 a3 := −2<br />
0<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
Als lineares Gleichungssystem:<br />
E1: 1x1 + 0x2 + 1x3 = 1<br />
E2: 1x1 + 0x2 − 1x3 = 1<br />
E3: 0x1 + 1x2 + 0x3 = −2<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
−2<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
−2<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
⇒ Der gemeinsame Schnittpunkt: SP( 1 , −2<br />
, 0)
Zwei parallele <strong>Ebenen</strong>, eine schneidet<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E1: n1 := 0 a1 := 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E2: n2 := 0 a2 := −1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E3: n3 := 1 a3 := −2<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
−1<br />
−2<br />
Zwei identische <strong>Ebenen</strong>, eine schneidet<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E1: n1 := 0 a1 := 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
E2: n2 := 0 a2 := 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
E3: n3 := 1 a3 := −2<br />
0<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−2<br />
0<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟⎟⎟⎠<br />
0 ≠ 1 ⇒ Keine gemeisamen Punkte<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−1<br />
2<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
x1 = 1 −λ<br />
x 2<br />
= −2<br />
⇒ Schnittgerade: g( λ)<br />
x3 =<br />
λ<br />
:=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
−2<br />
0<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ λ ⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
Drei parallele <strong>Ebenen</strong><br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E1: n1 := 0 a1 := 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E2: n2 := 0 a2 := 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E3: n3 := 0 a3 := −2<br />
1<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
Drei parallele Schnittgerade<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E1: n1 := 0 a1 := 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
E2: n2 := 0 a2 := 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
−1<br />
1<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E3: n3 := 0 a3 := −2<br />
0<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
−2<br />
⎞ ⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 ≠ 1 ⇒ Keine gemeisamen Punkte<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
−2<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
⎞<br />
⎟⎟⎟⎠<br />
0 ≠ 1 ⇒ Keine gemeisamen Punkte
Weitere <strong>Fälle</strong> ohne Bild<br />
Drei identische <strong>Ebenen</strong><br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
E1: n1 := 1 a1 := −2<br />
E2: n2 := 2 a2 := −4<br />
E3: n3 := −3<br />
a3 := 6<br />
−2<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
3<br />
0<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
3<br />
6<br />
−9<br />
3<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
−3<br />
−2<br />
−4<br />
6<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
6<br />
−4<br />
−2<br />
−4<br />
Zwei identische <strong>Ebenen</strong>, eine parallele Ebene<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
6<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−9<br />
6<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Sie haben eine<br />
⇒ ⇒ Sie sind identisch<br />
gemeinsame Ebene<br />
x 1<br />
1<br />
3 x 2<br />
+ 2<br />
3 x −2<br />
− 3 =<br />
3<br />
E1: n1 := 1 a1 := −2<br />
E2: n2 := 2 a2 := −4<br />
E3: n3 := −3<br />
a3 := 0<br />
−2<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Erweiterte Koeffizientenmatrix:<br />
Mit Gauß gelöst:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
−<br />
3<br />
0<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
3<br />
6<br />
−9<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
−3<br />
−2<br />
−4<br />
6<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
6<br />
−4<br />
−2<br />
−4<br />
0<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
0 ≠ 1 ⇒ Keine gemeisamen Punkte<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−9<br />
6<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
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