Geometrie - Matheverlag

Inhalt:
1. Vektor zwischen zwei Punkten ................................................................... 2
2. Betrag eines Vektors ............................................................................... 2
3. Die Mitte zweier Punkte ........................................................................... 2
4. Geradengleichungen ............................................................................... 2
5. Punktprobe mit Geraden .......................................................................... 2
6. Parametergleichungen von Ebenen .............................................................. 3
7. Koordinatengleichungen von Ebenen ............................................................ 3
8. Punktprobe mit Ebenen ............................................................................ 3
9. Lage zwischen zwei Geraden .................................................................... 4
10. Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene ............................................. 4
11. Schnittmenge zweier Ebenen ................................................................... 4
12. Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden .......................................... 5
13. Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene ............................................. 5
14. Winkel zwischen zwei Vektoren ................................................................. 5
15. Schnittpunkt und Winkel zwischen zwei Geraden ............................................ 5
16. Winkel zwischen zwei Ebenen ................................................................... 6
17. Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene .................................... 6
18. Ebenen darstellen .................................................................................. 6
19. Gleichungssysteme ................................................................................ 6
20. Beschreiben geometrischer Verfahren .......................................................... 7
21. Wahlteilaufgaben .................................................................................. 7

Übungsteil: Aufgaben zur analytischen Geometrie
Übungsteil: Aufgaben zur analytischen Geometrie
1. Der Vektor zwischen zwei Punkten:
Bestimmen Sie den Vektor zwischen den beiden angegebenen Punkten:
a) A(3 | 0 | −1), B(4 | −5 | −8) b) P(−5| 2 | 3), Q(0 | −1 | 3) c) A(0 | 2 | 0), B(−2 | 4| −1)
d) P(1 | 9 | −3), Q(−4 | 2 | −6) e) C(1 | −1 | 2), D(−3 | 7 | 5) f) S(4 | 0 | 1), T(0 | −1 | 0)
2. Der Betrag eines Vektors:
Geben Sie den Vektor zwischen den beiden angegebenen Punkten an und berechnen Sie seine Länge:
a) F(4 | −1 | 0), G(3 | −4 | −9) b) P(3 | 3 | 2), Q(1 | −2 | 2) c) A(1 | 1 | 0), B(−3 | 5 | 0)
d) R(0 | 8 | −4), S(3 | 1 | −7) e) C(0 | −1 | 3), D(−2 | 6 | 6) f) S(−3 | 1 | 1), T(2 | −2 | 3)
3. Die Mitte zweier Punkte:
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts zwischen den beiden angegebenen Punkten:
a) C(−3 | −2 | 1), D(4 | −4 | −1) b) A(1 | 2 | 3), Q(−2 | 2 | 1) c) A(0 | 3 | 0), B(5 | −3 | 3)
d) R(8 | 0 | −2), P(0 | −2 | 5) e) P(3 | 0 | −3), Q(5 | −3 | 1) f) S(1 | −3 | 4), T(3 | 2 | −3)
4. Geradengleichungen:
Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch die beiden angegebenen Punkte verläuft:
a) R(2 | −3 | 0), S(−1 | 2 | −3) b) P(−4 | 1 | 5), Q(7 | 1 | −2) c) A(1 | 0 | 0), B(−4 | 2 | 1)
d) A(7 | 1 | −4), B(−1 | 0 | 8) e) P(0 | 0 | −2), Q(−4 | −9 | 0) f) C(2 | −8 | 1), D(6 | 1 | 0)
5. Punktprobe mit Geraden:
Prüfen Sie jeweils, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt (t ∈ R):
a) A(7|−2|0), g: x =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
− 2
⎞
⎟
⎟
⎠
+ t
⎛
⋅ ⎜
⎜
⎝
3
− 1
1
⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞
c) Q(3|1|3), g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 2 + t ⋅ − 6
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞
e) T(0|2 4), g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4 + t ⋅ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 2⎠
⎝ − 3⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
- 2 -
b) P(1|1|−4), g: x =
⎛
⎜
⎜
⎝
2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⋅ ⎜
⎜
⎝
3 + t 2
− 1 0
⎛ 0 ⎞ ⎛ − 2⎞
d) S(−6|3|8), g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 3 + t ⋅ 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 1⎠
⎝ 3 ⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 1
⎞ ⎛ 4⎞
f) R(5|5|−4), g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + t ⋅ 5
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 6⎠
⎝ 1⎠
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Übungsteil: Aufgaben zur analytischen Geometrie
Übungsteil: Aufgaben zur analytischen Geometrie
6. Parametergleichungen von Ebenen:
Stellen Sie jeweils anhand der Angaben eine Parametergleichung der Ebene E auf:
a) Die Ebene E enthält die Punkte A(3|1|−1), B(2|1|0) und C(3|−4|2).
⎛ − 3⎞
⎛ 1 ⎞
b) Die Ebene E enthält den Punkt A(0|−2|6) und die Gerade g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 + t ⋅ 1 .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ − 2⎠
c) Die Ebene E enthält die Punkte Q(−2|5|4), R(0|4|−1) und S(5|1|−7).
⎛ 1⎞
⎛ 3⎞
d) Die Ebene E enthält den Punkt R(−5|5|1) und die Gerade h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 + t ⋅ 1 .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎛ 1⎞
⎛ 3 ⎞
⎛ − 2⎞
⎛ − 2⎞
e) Die Ebene E wird von den beiden Geraden g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + t ⋅ − 4 und h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4 + s ⋅ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ 1 ⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
aufgespannt.
⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞
f) Die Ebene E steht senkrecht zur Geraden g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + t ⋅ 2 und enthält den Punkt P(3|−4|8).
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ − 3⎠
7. Koordinatengleichungen von Ebenen:
Bestimmen Sie jeweils anhand der Parametergleichung eine Koordinatengleichung der Ebene E:
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 2 ⎞
a) E: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 + s ⋅ 1 + t ⋅ − 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
⎝ 0 ⎠
⎛ 4⎞
⎛ 3⎞
⎛ 0 ⎞
c) E: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + s ⋅ 0 + t ⋅ − 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 5⎠
⎝ 1⎠
⎝ 3 ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ − 1⎞
e) E: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
7 + s ⋅ − 3 + t ⋅ 6
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 9⎠
⎝ 5 ⎠ ⎝ 2 ⎠
8. Punktprobe mit Ebenen:
Prüfen Sie jeweils, ob der angegebene Punkt in der Ebene E liegt:
- 3 -
⎛ 0⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ − 4⎞
b) E: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 + s ⋅ − 2 + t ⋅ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
d) E: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + s ⋅ 0 + t ⋅ 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 9⎠
⎝ 1⎠
⎝ 1⎠
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
⎛ − 3⎞
f) E: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 + s ⋅ 2 + t ⋅ 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 3⎠
⎝ 1 ⎠
a) P(3 | 1 | −1), E: 2x1 + 4x2 − 3x3 = 13 b) Q(0 | −5 | −2), E: x1 − 3x2 + 5x3 = 4
c) A(−4 | 0 | 7), E: −4x1 − 2x3 = 0 d) R(1 | 2 | −2), E: 6x1 + 4x2 − x3 = 16
e) B(1 | 0 | 0), E: 3x2 + 5x3 = 5 f) A(8 | −4 | 1), E: x1 = 8
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Übungsteil: Aufgaben zur analytischen Geometrie
Übungsteil: Aufgaben zur analytischen Geometrie
9. Die Lage zwischen zwei Geraden:
Untersuchen Sie jeweils, wie die Geraden g und h zueinander stehen:
⎛ 0⎞
⎛ 4 ⎞ ⎛ − 2⎞
⎛ − 2⎞
a) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 + t ⋅ − 2 ; h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4 + s ⋅ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎝ − 2⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛ 2⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛ − 2⎞
⎛ − 3⎞
c) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 + t ⋅ 4 ; h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 7 + s ⋅ − 6
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ − 6⎠
⎝ 12 ⎠ ⎝ 9 ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 0,5⎞
e) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 + t ⋅ − 3 ; h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
5 + s ⋅ 1,5
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 5⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ − 7⎠
⎝ − 1 ⎠
10. Die Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene:
Untersuchen Sie die Lage zwischen der Geraden g und der Ebene E:
- 4 -
⎛ 8⎞
⎛ 3 ⎞ ⎛ − 2⎞
⎛ 0⎞
b) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 + t ⋅ − 1 ; h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + s ⋅ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 7⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 3⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛ 4⎞
d) g: x = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
− 2 + t 0 ; h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 2 + s ⋅ 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 1⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ 4⎞
f) g: x = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
− 1 + t 1 ; h: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 3 + s ⋅ 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 4⎠
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1⎠
⎛ − 2⎞
⎛ 0⎞
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
a) g: x = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
0 + t 1 ; E: 2x1 + 4x2 − 3x3 = 13 b) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4 + t ⋅ 1 ; E: x1 − 2x2 + x3 = 4
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝ 5⎠
⎝ 0⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ − 5⎞
⎛
c) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
6 + t ⋅ 3 ; E: 4x1 + 5x2 + 5x3 = −1 d) g: x = ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝ − 7⎠
⎝ 1 ⎠
⎝
⎛ 2⎞
⎛ 1 ⎞
e) g: x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 + t ⋅ 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ − 1⎠
11. Schnittmenge zweier Ebenen:
; E: x1 + x3 = 2 f) g: x =
Geben Sie jeweils die Schnittmenge zwischen den Ebenen E und F an:
⎛
⎜
⎜
⎝
6
0
0
8
1
7
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
+ t ⋅
+ t
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅ ⎜
⎜
⎝
3
− 1
0
0
1
4
⎞
⎟ ; E: 3x1 − 4x3 = 0
⎟
⎠
⎞
⎟ ; E: x3 = 4
⎟
⎠
a) E: 2x1 + 4x2 − 3x3 = 1 ; F: x1 − x2 + 2x3 = 4 b) E: 4x1 + 2x2 − 6x3 = 3 ; F: −6x1 − 3x2 + 9x3 = 4
c) E: x1 − 5x3 = 7 ; F: 2x1 − 3x2 + x3 = 25 d) E: 3x2 + 5x3 = −1 ; F: −5x2 − 3x3 = 1
e) E: 3x1 − 4x2 + x3 = 0 ; F: 6x1 − 8x2 + 2x3 = 0 f) E: 4x3 = −5 ; F: −2x2 = 1
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