Stochastik - Matheverlag
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Inhalt:<br />
1. Baumdiagramme, Pfadregel ............................................................. 2<br />
2. Binomialverteilung ........................................................................ 4<br />
3. Erwartungswert ............................................................................ 6<br />
4. Einseitiges Testen von Hypothesen ..................................................... 8
Übungsteil: Baumdiagramme und Pfadregel Aufgaben zur <strong>Stochastik</strong><br />
Übungsteil: Aufgaben zur <strong>Stochastik</strong><br />
1. Baumdiagramme und Pfadregel:<br />
Nr. 1:<br />
In einem Gefäß befinden sich eine weiße, vier rote und fünf blaue Kugeln. Es werden nacheinander<br />
zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen ?<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der gezogenen Kugeln rot ist ?<br />
Nr. 2:<br />
Zwei Spielwürfel werden geworfen.<br />
a) Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme).<br />
Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis „Augensumme kleiner als 5“ ?<br />
b) Bei einem Pasch sind die Augenzahlen gleich.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Pasch zu werfen ?<br />
1<br />
c) Nennen Sie zwei Ereignisse, für die sich die Wahrscheinlichkeit ergibt.<br />
12<br />
Nr. 3:<br />
Bei einem Schulfest gibt es eine Tombola mit 500 Losen. Davon gewinnen 5 Lose den Hauptpreis (H),<br />
80 Lose gewinnen Kleinpreise (K), und der Rest der Lose sind Nieten (N).<br />
Alle Lose werden in eine Lostrommel gelegt und sorgfältig gemischt. Nun zieht Leonie nacheinander<br />
zwei Lose und öffnet beide.<br />
a) Zeichnen Sie für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschriften Sie die Teilpfade<br />
mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Leonie dabei zumindest einen Kleinpreis, aber keinen<br />
Hauptpreis gewinnt ?<br />
c) Wie viele Lose hätte Leonie aus der vollen Lostrommel mindestens ziehen müssen, damit die<br />
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn größer als 50 % gewesen wäre ?<br />
Nr. 4:<br />
In einer Schachtel befinden sich drei weiße und fünf gelbe Tischtennisbälle. Rafael entnimmt der<br />
Schachtel zwei Bälle, ohne hinzusehen.<br />
a) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse ?<br />
A: Beide Bälle sind gelb.<br />
B: Ein Ball ist weiß und der andere ist gelb.<br />
C: Mindestens einer der beiden Bälle ist weiß.<br />
b) Rafael und Alex vereinbaren folgendes Spiel:<br />
Sie nehmen abwechselnd einen Ball aus der Schachtel, ohne ihn zurückzulegen. Wer zuerst einen<br />
weißen Ball zieht, hat gewonnen. Rafael beginnt.<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Rafael das Spiel ?<br />
- 2 -<br />
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Übungsteil: Baumdiagramme und Pfadregel Aufgaben zur <strong>Stochastik</strong><br />
Übungsteil: Aufgaben zur <strong>Stochastik</strong><br />
Nr. 5:<br />
a) Die beiden Glücksräder werden gedreht. Die<br />
Ergebnisse beider Glücksräder werden addiert.<br />
Es werden zwei Gewinnsituationen angeboten:<br />
Gewinnsituation A: „ Summe 8 oder 9“<br />
Gewinnsituation B: „alle anderen Summen“<br />
Für welche würden Sie sich entscheiden ?<br />
- 3 -<br />
3<br />
135° 90°<br />
135°<br />
2<br />
1<br />
5<br />
4<br />
60°<br />
180°<br />
120° 6<br />
b) Anschließend wird das rechte Glücksrad so verändert, dass die Sektoren der Zahlen 4 und 5<br />
jeweils den Mittelpunktswinkel 90° erhalten. Für welche Gewinnsituation würden Sie sich jetzt<br />
entscheiden ?<br />
Nr. 6:<br />
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Karten gezogen.<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man<br />
a) keinen Buben ? b) zwei Pik-Karten ?<br />
c) mindestens eine Dame ? d) weder eine Kreuz- noch eine Herz-Karte ?<br />
Hinweis: Ein Skatspiel besteht aus 4 Reihen mit den Kartenbildern „Bube, As, Zehn, König, Dame,<br />
Neun, Acht, Sieben“ jeweils in den Symbolen „Kreuz ♣, Pik ♠, Herz ♥ und Karo ♦“.<br />
Nr. 7:<br />
Von 16 Gurkengläsern einer Palette haben 3 Gläser eine kleinere Einwaage als angegeben. Zwei<br />
Gläser werden zufällig ausgewählt und ihr Inhalt gewogen.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Gläser eine zu kleine Einwaage ?<br />
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat mindestens eines der Gläser eine zu kleine Einwaage ?<br />
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in beiden Gläsern das Gewicht des Inhalts korrekt ?<br />
Nr. 8:<br />
Zwei Tennisspielerinnen A und B treffen bei einem Turnier aufeinander.<br />
Erfahrungsgemäß gewinnt Spielerin A einen Satz mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von 60 %. Diejenige Spielerin hat das ganze Tennisspiel gewonnen,<br />
die zuerst zwei Sätze für sich entscheiden kann („best of three“).<br />
a) Berechnen Sie die Gewinnchancen von Spielerin B. Erstellen Sie dazu ein<br />
Baumdiagramm.<br />
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Spielerin B mit 2 : 0 ?<br />
c) Wie würden sich die Gewinnchancen von Spielerin A ändern, wenn das Match auf drei<br />
Gewinnsätze („best of five“) ginge ?<br />
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Übungsteil: Binomialverteilung Aufgaben zur <strong>Stochastik</strong><br />
Übungsteil: Aufgaben zur <strong>Stochastik</strong><br />
2. Binomialverteilung:<br />
Nr. 1:<br />
Ein idealer Würfel wird 20-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende<br />
Ereignisse ?<br />
A: Es fällt genau 10-mal die Augenzahl „6“.<br />
B: Die Augenzahl „1“ erscheint höchstens zweimal.<br />
C: Mindestens 18-mal erscheint eine Augenzahl ≥ 3.<br />
Nr. 2:<br />
In einer Urne befinden sich 8 rote und 12 grüne Kugeln. Es wird 10-mal mit Zurücklegen gezogen.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nur Kugeln einer Farbe zu ziehen ?<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5 rote und 5 grüne Kugeln zu ziehen ?<br />
c) Warum würde es sich bei dem Zufallsexperiment um keine Bernoulli-Kette handeln, wenn man<br />
ohne Zurücklegen ziehen würde ?<br />
Nr. 3:<br />
Acht Grippe-Patienten wird ein fiebersenkendes Medikament verabreicht, das in 80 % der Fälle auch<br />
zu einer Herabsenkung des Fiebers führt.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verschwindet bei allen acht Patienten das Fieber ?<br />
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Fieber bei höchstens zwei Patienten bestehen ?<br />
Nr. 4:<br />
Bei einem Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen hat der Kandidat jeweils 4 Antworten zur Auswahl,<br />
wovon nur eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse, wenn der<br />
Kandidat keine Ahnung hat und seine Kreuzchen nur zufällig setzt ?<br />
a) Der Kandidat beantwortet gar keine Frage richtig.<br />
b) Insgesamt kreuzt der Kandidat genau die Hälfte aller Fragen richtig an.<br />
c) Der Kandidat beantwortet höchstens 5 Fragen richtig.<br />
Nr. 5:<br />
In einem Supermarkt werden Eier in Schachteln von je 6 Stück angeboten.<br />
Erfahrungsgemäß werden beim Verpacken und beim Transport von der Hühnerfarm<br />
8 % der Eier beschädigt.<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein Kunde eine Schachtel mit völlig<br />
unversehrten Eiern ?<br />
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Schachtel höchstens zwei Eier angebrochen ?<br />
c) 15 Schachteln werden an 15 Kunden verkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben genau 10 Kunden<br />
eine Schachtel mit 6 unversehrten Eiern ?<br />
Ende der Musterseiten.<br />
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