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Aufgabe:<br />
(1a)<br />
(1b)<br />
(1c)<br />
(1d)<br />
(2)<br />
f2( c , x)<br />
(3)<br />
f3( p , x)<br />
(4)<br />
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter c die maximalen Monotonieintervalle und<br />
Extrempunkte, machen Sie eine Skizze für c = 1.<br />
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter p die maximalen Monotonieintervalle und die<br />
Extrempunkte.<br />
Bestimmen Sie den reellen Parameter q so, dass die Funktion f4 an der Stelle x = 2 ein Extremum besitzt.<br />
Berechnen Sie dann die maximalen Monotonieintervalle und die Extrempunkte.<br />
f4( q , x)<br />
Berechnen Sie den Parameter u so, dass Funktion f5 symmetrisch wird. Berechnen Sie dann die<br />
maximalen Monotonieintervalle und die Extrempunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten, die<br />
−1<br />
auf der Geraden g( x)<br />
x 3<br />
2 +<br />
(5)<br />
:= senkrecht stehen.<br />
f5( u , x)<br />
f1a( k , x)<br />
x 3 9<br />
2 x2 − ⋅ :=<br />
f1b( k , x)<br />
f1c( k , x)<br />
f1d( k , x)<br />
:=<br />
:=<br />
:=<br />
:=<br />
2 x 3<br />
⋅<br />
15<br />
:=<br />
:=<br />
1<br />
5 x5 ⋅ x 4 − ⋅ p<br />
1<br />
4 x4 ⋅<br />
1<br />
4 x4 1<br />
3 x3<br />
4<br />
+ − k ⋅ x3 2k x<br />
3 2<br />
− ⋅ x 2<br />
:=<br />
− + 8k ⋅ x + 4<br />
+<br />
1<br />
10 x5 ⋅<br />
Übung: Monotonie und Extrempunkte mit Parameter<br />
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter k die Stellen mit den waagrechten Tangenten.<br />
1<br />
4 x4 ⋅<br />
1<br />
3 x3 ⋅ 2 x 2<br />
− ⋅ + k ⋅ x − 3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
3 x3<br />
5<br />
⋅<br />
3 k<br />
5<br />
− ⋅ ⋅ x3<br />
2 k<br />
+ − ⋅ ⋅ x2 3 k 2<br />
⋅ x 2<br />
+ ⋅ 6 k 2<br />
+ ⋅ ⋅ x<br />
⎞<br />
2 c<br />
− ⎟<br />
5 5⎠<br />
x2<br />
4 ⋅ c ⋅ x<br />
⋅ − − 10<br />
5<br />
1<br />
3 x3 − ⋅ ⋅ q 3 x 2<br />
⋅ q 2<br />
− ⋅ +<br />
1<br />
8 x4 − ⋅ ⋅ u<br />
3<br />
4 k<br />
9<br />
− ⋅ ⋅ x2<br />
2 k ⋅ x ⋅ + 1 +<br />
1<br />
2 x4<br />
8<br />
⋅<br />
3 x3<br />
+ − ⋅ ⋅ p − 2<br />
1<br />
4 x4 − ⋅<br />
1<br />
2 x3 ⋅<br />
3<br />
4 x2 − ⋅ ⋅ q 9 ⋅ x q 2<br />
− ⋅ − 3<br />
1<br />
3 x3<br />
1<br />
+ ⋅ ⋅ u<br />
6 x3<br />
1<br />
− ⋅<br />
4 x2<br />
1<br />
+ ⋅ ⋅ u<br />
2 x2 + ⋅ − x ⋅ u<br />
MK 2.2.2009 MonoEx_Ueb2.mcd
Lösungen:<br />
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter k die Stellen mit den waagrechten Tangenten.<br />
(1a)<br />
(1b)<br />
(1c)<br />
(1d)<br />
f1a( k , x)<br />
x 3 9<br />
2 x2 − ⋅ :=<br />
f1as( k , x)<br />
f1as( k , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
f1b( k , x)<br />
f1bs( k , x)<br />
f1bs( k , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
f1c( k , x)<br />
f1cs( k , x)<br />
f1c k x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) x<br />
d<br />
2<br />
:=<br />
→ − 4 ⋅ x + k<br />
f1d( k , x)<br />
:=<br />
:=<br />
f1ds( k , x)<br />
f1a k x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) 3 x<br />
d<br />
2 3<br />
⋅ − 9 ⋅ x<br />
2 k ⋅ x ⋅ − +<br />
→<br />
:=<br />
1<br />
4 x4 ⋅<br />
f1b k x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) x<br />
d<br />
3<br />
x 2<br />
5 ⋅ k x 2<br />
+ − ⋅ − 5 ⋅ k ⋅ x 6 k 2<br />
+ ⋅ ⋅ x 6 k 2<br />
:=<br />
→<br />
+ ⋅<br />
1<br />
3 x3 ⋅ 2 x 2<br />
− ⋅ + k ⋅ x − 3<br />
1<br />
4 x4 1<br />
3 x3<br />
4<br />
+ − k ⋅ x3 2k x<br />
3 2<br />
− ⋅ x 2<br />
:=<br />
− + 8k ⋅ x + 4<br />
f1d k x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) x<br />
d<br />
3<br />
x 2<br />
4 ⋅ k x 2<br />
:=<br />
→ + − ⋅ − 4 ⋅ k ⋅ x − 2 ⋅ x + 8 ⋅ k<br />
f1ds( k , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
3<br />
4 k<br />
9<br />
− ⋅ ⋅ x2<br />
2 k ⋅ x ⋅ + 1 +<br />
1<br />
3 x3<br />
5<br />
⋅<br />
3 k<br />
5<br />
− ⋅ ⋅ x3<br />
2 k<br />
+ − ⋅ ⋅ x2 3 k 2<br />
⋅ x 2<br />
+ ⋅ 6 k 2<br />
+ ⋅ ⋅ x<br />
→<br />
→<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
2 ⋅ k<br />
3 ⋅ k<br />
−2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2 k ⋅<br />
4 ⋅ k<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
⎞ ⎟⎟⎠<br />
9<br />
2 k ⋅<br />
f1cs( k , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
→<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
2<br />
2 + ( 4 − k)<br />
1<br />
2<br />
2 − ( 4 − k)<br />
⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦
(2) Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter c die maximalen Monotonieintervalle und<br />
Extrempunkte, machen Sie eine Skizze für c = 1.<br />
f2( c , x)<br />
2. Fall: −2 < c<br />
2 x 3<br />
⋅ ⎛ 2 c⎞<br />
⎜ − ⎟<br />
15 ⎝ 5 5⎠<br />
x2<br />
4 ⋅ c ⋅ x<br />
:= + ⋅ − − 10<br />
f2s( c , x)<br />
5<br />
:=<br />
f2s( c , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
1. Fall: c < −2<br />
f2( c , −2)<br />
vereinfachen<br />
f2s( 0 , x)<br />
→<br />
−142<br />
f2 ist streng monoton zunehmend für x ≤ −2<br />
oder c ≤ x<br />
f2 ist streng monoton abnehmend für −2 ≤ x ≤ c<br />
Maximum bei x = -2 f2( c , −2)<br />
vereinfachen<br />
Minimum bei x = c f2( c , c)<br />
vereinfachen<br />
→<br />
f2s( − 4 , x)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
f2 ist streng monoton zunehmend für x ≤ c oder −2 ≤ x<br />
c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
f2 ist streng monoton abnehmend für c ≤ x ≤ −2<br />
Maximum bei x = c f2( c , c)<br />
vereinfachen<br />
Minimum bei x = -2<br />
15<br />
+<br />
4<br />
5 c ⋅<br />
4 3 2 1 0 1 2<br />
x<br />
steigen fallen steigen<br />
Maximum Minimum<br />
→<br />
→<br />
−142<br />
15<br />
−1<br />
15 c3 ⋅<br />
+<br />
4<br />
5 c ⋅<br />
2<br />
5 c2 − ⋅ − 10<br />
2<br />
5 x2 ⋅<br />
3. Fall: −2 = c f2 ist streng monoton zunehmend in ganz R, es gibt keine Extrempunkte<br />
−<br />
5<br />
5<br />
2 ⋅ c<br />
5<br />
⋅ x +<br />
4<br />
5 x ⋅<br />
4<br />
5 c ⋅ −<br />
6 5 4 3 2 1 0 1<br />
steigen fallen steigen<br />
Maximum Minimum<br />
→<br />
−1<br />
15 c3 ⋅<br />
2<br />
5 c2 − ⋅ − 10<br />
x<br />
5<br />
5
(3) Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom reellen Parameter p die maximalen Monotonieintervalle und die<br />
Extrempunkte.<br />
f3( p , x)<br />
:=<br />
f3s( p , x)<br />
1<br />
5 x5 ⋅ x 4 − ⋅ p<br />
2. Fall: 0 < p<br />
p := 0.5<br />
f3s( p , x)<br />
1<br />
2 x4<br />
8<br />
⋅<br />
3 x3<br />
+ − ⋅ ⋅ p − 2<br />
f3 p x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) x<br />
d<br />
4<br />
4 x 3<br />
− ⋅ ⋅ p 2 x 3<br />
⋅ 8 x 2<br />
:= →<br />
+ − ⋅ ⋅ p f3s( p , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
−1<br />
1. Fall: p < p := −1<br />
2<br />
2. Fall: 1 −<br />
2<br />
< p 0<br />
f3s( p , x)<br />
steigen fallen steigen<br />
Maximum Minimum nix<br />
5<br />
3 2 1 0 1 2 3<br />
5<br />
x<br />
steigen fallen fallen steigen<br />
Maximum nix Minimum<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
4p<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
4 ⋅ p<br />
5<br />
4p<br />
4 3 2 1 0 1<br />
steigen fallen steigen<br />
Maximum Minimum nix<br />
< p := −0.25<br />
f3s( p , x)<br />
x<br />
4p<br />
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1<br />
x<br />
5<br />
5<br />
10<br />
⎞ ⎟⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
(4)<br />
Bestimmen Sie den reellen Parameter q so, dass die Funktion f4 an der Stelle x = 2 ein Extremum besitzt.<br />
Berechnen Sie dann die maximalen Monotonieintervalle und die Extrempunkte.<br />
f4( q , x)<br />
:=<br />
f4s( p , x)<br />
f4s( q , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
1. Fall: q := −1<br />
f4s( q , x)<br />
2<br />
2. Fall: q :=<br />
3<br />
f4s( q , x)<br />
1<br />
4 x4 ⋅<br />
1<br />
3 x3 − ⋅ ⋅ q 3 x 2<br />
⋅ q 2<br />
− ⋅ +<br />
f4 p x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) x<br />
d<br />
3<br />
x 2 − ⋅ p 6 ⋅ x p 2<br />
:=<br />
→<br />
− ⋅ +<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
5 4 3 2 1 0 1 2 3<br />
fallen<br />
−3<br />
2<br />
−2 ⋅ q<br />
3 ⋅ q<br />
Minimum<br />
5 4 3 2 1 0 1 2 3<br />
fallen<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
steigen<br />
1<br />
2 x3 ⋅<br />
Maximum<br />
Minimum<br />
x<br />
x<br />
steigen<br />
3<br />
4 x2 − ⋅ ⋅ q 9 ⋅ x q 2<br />
− ⋅ − 3<br />
3<br />
2 x2 ⋅<br />
10<br />
10<br />
Maximum<br />
3<br />
2 x ⋅ p ⋅ − − 9 ⋅ p2<br />
fallen<br />
fallen<br />
Minimum<br />
Minimum<br />
steigen<br />
steigen
(5) Berechnen Sie den Parameter u so, dass Funktion f5 symmetrisch wird. Berechnen Sie dann die maximalen<br />
Monotonieintervalle und die Extrempunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten, die auf der<br />
−1<br />
Geraden g( x)<br />
x 3<br />
2 + := senkrecht stehen.<br />
f5( u , x)<br />
:=<br />
1<br />
10 x5 ⋅<br />
−1<br />
senkrecht zu g: msenkrecht := → 2 f5s( u , x)<br />
= 2 auflösen, x<br />
− 1<br />
( ) 0<br />
x1 := 0 f5 u , x1 1<br />
8 x4 − ⋅ ⋅ u<br />
1<br />
4 x4 − ⋅<br />
= => t1( x)<br />
:= 2 ⋅ x + 0<br />
x2 := 5<br />
1<br />
y2 f5( u , x2) 3 5<br />
1<br />
2<br />
:= → ⋅ y2 = 2 ⋅ x2 + t auflösen, t<br />
2<br />
1<br />
3 x3<br />
1<br />
+ ⋅ ⋅ u<br />
6 x3<br />
1<br />
− ⋅<br />
4 x2<br />
1<br />
+ ⋅ ⋅ u<br />
2 x2 + ⋅ − x ⋅ u<br />
f5s( u , x)<br />
f5 u x<br />
x ,<br />
d<br />
1<br />
( )<br />
d<br />
2 x4<br />
1<br />
⋅<br />
2 x3 − ⋅ ⋅ u x 3<br />
− x 2 1<br />
⋅ u<br />
2 x2<br />
1<br />
+ − ⋅<br />
2 x ⋅ u ⋅ + x u − +<br />
→<br />
:=<br />
f5s( u , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
f5( u , x)<br />
f5s( u , x)<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
−1<br />
u<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
u := −2<br />
1<br />
10 x5<br />
5<br />
⋅<br />
6 x3<br />
→ − ⋅ + 2 ⋅ x punktsymmetrisch zun Ursprung<br />
→<br />
f5s( u , x)<br />
1<br />
2 x4 ⋅<br />
5<br />
2 x2 − ⋅ + 2<br />
5<br />
3 2 1 0 1 2 3<br />
5<br />
Minimum<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
5<br />
1<br />
2<br />
−5<br />
1<br />
−5<br />
2<br />
→ ⋅ 5<br />
3<br />
=> t2( x)<br />
:= 2 ⋅ x +<br />
1<br />
x3 := − 5<br />
−1<br />
2<br />
y3 := f5( u , x3) → ⋅ 5<br />
3<br />
y3 = 2 ⋅ x3 + t auflösen, t<br />
5<br />
3 5<br />
1<br />
2<br />
→ ⋅ => t3( x)<br />
:= 2 ⋅ x +<br />
5<br />
⋅<br />
3<br />
x<br />
steigen fallen steigen fallen steigen<br />
Maximum Minimum Maximum<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠<br />
−5<br />
3<br />
⋅<br />
5<br />
5
f5( − 2 , x)<br />
g( x)<br />
t1( x)<br />
t2( x)<br />
t3( x)<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
x<br />
c
f1a( 1 , x)<br />
f1b( 1 , x)<br />
f1c( 1 , x)<br />
f1d( 1 , x)<br />
20<br />
10<br />
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6<br />
10<br />
20<br />
x
f2( 1 , x)<br />
− 2<br />
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5<br />
5<br />
10<br />
15<br />
x<br />
c
4. Fall: p := −0.5<br />
nur steigen<br />
5. Fall: p := 0<br />
f3s( p , x)<br />
f3s( p , x)<br />
4p<br />
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1<br />
x<br />
3 2 1 0 1 2 3<br />
steigen fallen steigen<br />
Maximum Minimum<br />
5<br />
5<br />
4p<br />
x<br />
5<br />
5
f4( − 1 , x)<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞ ⎟⎠<br />
f4 2<br />
3 x , ⎜<br />
10<br />
5<br />
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5<br />
5<br />
10<br />
15<br />
20<br />
x<br />
c<br />
2