Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche - MatheNexus
Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche - MatheNexus
Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche - MatheNexus
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
GS - 01.03.2004 - AnwendgebrochenrtFkt_Dosenoberflaeche_i.mcd<br />
<strong>Extremwertaufgabe</strong> <strong>Minimale</strong> <strong>Dosenoberfläche</strong><br />
- Teil der Abschlussaufgabe Nachtermin 99_Nichttechnik -<br />
Aufgabentext:<br />
Eine Dose, bestehend aus Zylinder, Halbkugel und Grundkreis, soll bei<br />
vorgegebenem Volumen V = 15 VE eine möglichst kleine Oberfläche besitzen.
Lösung:<br />
Zielfunktion Oberfläche: (1) O( r, h)<br />
2 r 2<br />
⋅ ⋅π r 2 := + ⋅π + 2⋅r⋅ π ⋅h<br />
Nebenbedingung Volumen des Körpers: V( r , h)<br />
r 2 := π ⋅h<br />
r 2 π ⋅h<br />
2<br />
3 r3 + ⋅ ⋅π<br />
= 15 ergibt Gleichung (2) h( r)<br />
:=<br />
Definitionsmenge: ID = { r I 0 < r<br />
Bestimmung des Extremums:<br />
d<br />
1. Ableitung: Or( r)<br />
:= O( r)<br />
dr<br />
Bedingung für die kleinste Oberfläche:<br />
3<br />
45<br />
≤ }<br />
2⋅π 10<br />
3 r ⋅ π ⋅<br />
30<br />
r 2<br />
→ −<br />
10<br />
3 r ⋅ π ⋅<br />
30<br />
r 2<br />
− = 0 d.h.:<br />
Funktionswert für kleinste Oberfläche: O( rmin) = 31.7<br />
Vergleich mit Randwerten:<br />
lim<br />
+<br />
r → 0<br />
O( r)<br />
→ ∞<br />
−2<br />
3 r ⋅<br />
+<br />
lim<br />
−<br />
r → rmax<br />
( )<br />
2<br />
3 r3 + ⋅ ⋅π<br />
15<br />
r 2 ( ⋅π)<br />
(2) in (1) eingesetzt: O( r, h)<br />
2 r 2<br />
⋅ ⋅π r 2 := + ⋅π + 2⋅r⋅ π ⋅<br />
und vereinfacht die Zielfunktion: O( r)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
5<br />
3 r2<br />
30<br />
:= ⋅ ⋅π<br />
+<br />
r<br />
O( r)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−2<br />
3 r ⋅ +<br />
Bedingung für maximalen Radius: h( r)<br />
= 0 d.h. −2⋅π r 3<br />
3<br />
45<br />
⋅ + 45 = 0 rmax ≡<br />
2⋅π 15<br />
r 2 ( ⋅π)<br />
rmax = 1.928<br />
1<br />
3 r3<br />
3<br />
9<br />
⋅ ⋅π − 3 = 0 rmin := rmin = 1.42<br />
π<br />
3<br />
2 45<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3 2<br />
→ ⋅ ⋅ = 35.02<br />
1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
π<br />
⎞ ⎟⎠<br />
⎤⎤<br />
⎥⎥⎦<br />
⎦<br />
3
FRAME von 0 bis 10. Die Animation dauert etwas lange, roter Kreis trennt Halbkugel von Zylinder<br />
k1 := 0<br />
k1 von 0 bis 10 eingeben, bei Animation k1=0 setzten.<br />
Programmierung 3D-Darstellung<br />
Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel<br />
( x , y,<br />
z)<br />
, ( X , Y , Z)<br />
, ( Xk , Yk , Zk)<br />
, ( x1 , y1,<br />
z1)<br />
Maßzahl der Oberfläche<br />
38<br />
37<br />
36<br />
35<br />
34<br />
33<br />
32<br />
Zielfunktion Oberfläche<br />
31<br />
0.5 1 1.5 2<br />
Radius<br />
r min<br />
O( rmin) Nebenbedingung:<br />
V( r)<br />
= 15<br />
Radius:<br />
r = 0.913<br />
rmin = 1.42<br />
Höhe:<br />
h( r)<br />
= 5.12<br />
( ) = 1.42<br />
h r min<br />
Oberfläche:<br />
O( r)<br />
= 37.225<br />
O( rmin) = 31.685