Die Darstellung von zwei Ebenen in Parameterform ... - MatheNexus
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Ebene E 1 :<br />
a1 :=<br />
a2 :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E1( λ , µ ) := a1 + λ ⋅u1<br />
+ µ ⋅v1<br />
Ebene E 2 :<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
E2( ρ , σ)<br />
:= a2 + ρ ⋅u2<br />
+ σ ⋅v2<br />
Schnittgerade g der <strong>Ebenen</strong> E 1 und E 2:<br />
G( σ)<br />
:= E1( λ , µ ) − E2( ρ , σ)<br />
auflösen , λ , µ , ρ , σ<br />
3<br />
Mit λ = und µ = σ folgt:<br />
2<br />
Schnittw<strong>in</strong>kel der <strong>Ebenen</strong> E 1 und E 2:<br />
ϕ := acos<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
u2 :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
( u1 × v1) ⋅ u2 × v2 ( )<br />
u1 × v1 ⋅ u2 × v2 ⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
v1 :=<br />
v2 :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
E1( λ , µ )<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−1<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
1<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
E2( ρ , σ)<br />
- 1 -<br />
<strong>Die</strong> <strong>Darstellung</strong> <strong>von</strong> <strong>zwei</strong> <strong>Ebenen</strong> <strong>in</strong> <strong>Parameterform</strong>,<br />
Schnittgerade und Schnittw<strong>in</strong>kel<br />
Gegeben s<strong>in</strong>d die <strong>Ebenen</strong> E 1 und E 2 <strong>in</strong> Parameterdarstellung:<br />
u1 :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
0<br />
−1<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ermitteln Sie die Schnittgerade g und den Schnittw<strong>in</strong>kel α der beiden <strong>Ebenen</strong> und stellen Sie E 1 , E 2 und g<br />
grafisch dar.<br />
→<br />
→<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
( )<br />
g( σ)<br />
:= E1 G( σ)<br />
0 , 0 , σ<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
2<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
ϕ = 70.5Grad<br />
1 − λ<br />
1 − µ<br />
4 − λ + µ<br />
1 − ρ<br />
1 − σ<br />
1 + ρ + σ<br />
σ 3<br />
2 σ<br />
−1<br />
2<br />
1 − σ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎟⎟⎠<br />
5<br />
+ σ<br />
2<br />
Zwei<strong>Ebenen</strong>_Paraform_i.mcd<br />
GS, EL 4.12.2003 Zwei<strong>Ebenen</strong>_Paraform_i.mcd<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟⎠
Grafische <strong>Darstellung</strong><br />
Ebene E1 : E1( λ , µ )<br />
Ebene E2 : E2( ρ , σ)<br />
Schnittgerade: g( σ)<br />
E1 , E2 , g<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
→<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
2<br />
1 − σ<br />
5<br />
+ σ<br />
2<br />
1 − λ<br />
1 − µ<br />
4 − λ + µ<br />
1 − ρ<br />
1 − σ<br />
1 + ρ + σ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
- 2 -<br />
Zwei<strong>Ebenen</strong>_Paraform_i.mcd
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