Mathcad - c1_hoehereGl - MatheNexus

Grundlagen Algebra
Gleichungen höheren Grades
GS - 23.08.05 - c1_hoehereGl.mcd
Definition:
n
Eine Gleichung der Form ak x
k 0
k
⋅ = 0 mit der Definitionsmenge ID ⊆ IR und a ∑ n ≠ 0
=
heißt "Gleichung n-ten Grades".
Schreibweise:
n
∑
k = 0
ak x k
⋅
= 0 ⇔ a0 + a1⋅x a2 x 2
n 1
+ ⋅ + . . . + an−1 x −
⋅ an x n
+ ⋅ = 0
Allgemeine Lösung:
Durch Abspaltung von möglichst vielen Linearfaktoren wird der Grad der Gleichung bis zum
Exponenten k = 2 erniedrigt, dann Anwendung der Mitternachtsformel.
( x − x1) ⋅( x − x2) ⋅ ( x − x3) . . . . b2 x 2 ⎛ ⋅ + b1⋅x + c⎞
= 0
1. Möglichkeit: "Reine" Gleichung höheren Grades
a0 an x n
+ ⋅ = 0 ⇔ x n
1. Fall: n gerade und c > 0 ⇔
2. Fall: n gerade und c < 0 ⇔
3. Fall: n ungerade und c > 0 ⇔
4. Fall: n ungerade und c < 0 ⇔
⎝
⎠
a0 = − ⇔ x
an n = c ⇒ Lösung durch Ziehen der n-ten Wurzel.
a 0
a n
a 0
a n
a 0
a n
a 0
a n
< 0 ⇒ x1 n
= c und x2
n
= − c
> 0 ⇒ Gleichung besitzt keine Lösung in IR
n
< 0 ⇒ x1 = c (nur eine Lösung!)
n
> 0 ⇒ x1 = − c (nur eine Lösung!)
2. Möglichkeit: Erzeugung der Linearfaktoren durch Ausklammern
a0 = 0 oder a0 = 0 ∧ a1 = 0 oder a0 = 0 ∧ a1 = 0 ∧ a2 = 0 usw.
⇔ Ausklammern der höchstmöglichen Potenz von x und Produkt gleich Null.
z.B. bei einer Gleichung 4. Grades: a0 + a1⋅x a2 x 2
+ ⋅ a3 x 3
+ ⋅ a4 x 4
+ ⋅ = 0 speziell:
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
a1⋅x a2 x 2
+ ⋅ a3 x 3
+ ⋅ a4 x 4
+ ⋅ = 0 ⇔ x a1 + a2⋅x a3 x 2
+ ⋅ a4 x 4
⋅ + ⋅ = 0 ⇒ x1 = 0
a2 x 2
⋅ a3 x 3
+ ⋅ a4 x 4
+ ⋅ = 0 ⇔ x 2 a2 + a3⋅x a4 x 2
⋅ + ⋅ = 0 ⇒ x12 = 0
a3 x 3
⋅ a4 x 4
+ ⋅ = 0
⇔ x 3 a3 a4 x 2
⋅ + ⋅ = 0
⇒ x123 = 0
a4 x 4
⋅ = 0
⇔ x 4
= 0
⇒ x1234 = 0
1 / 16
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠

Grundlagen Algebra
3. Möglichkeit: Gleichung besitzt eine ganzzahlige Lösung
⇒ Polynomdivision ohne Rest
z. B. bei einer Gleichung 3. Grades: a0 + a1⋅x a2 x 2
+ ⋅ a3 x 3
+ ⋅ = 0
⎛
x1 ist Lösung ⇒ a3 x 3
⋅ a2 x 2
+ ⋅ + a1⋅x + a
⎝
0⎠
ist durch x x − 1
Es gilt: a3 x 3
⋅ a2 x 2
⎛ + ⋅ + a1⋅x + a ⎞
⎝
0⎠
: x x ( − 1)
a3 x 2
= ⋅ + b1⋅x + b0 4. Möglichkeit: Biquadratische Gleichungen
1. Fall: a0 a2 x 2
+ ⋅ a4 x 4
+ ⋅ = 0
Substitution x 2
= t ⇒ a0 + a2⋅t a4 t 2
+ ⋅ = 0
⎞
( ) teilbar.
Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstituition liefert die
reinquadratischen Gleichungen: x 2
= t1 und x 2
= t2 Auflösen durch Wurzelziehen, sofernt1 > 0 bzw. t2 > 0 .
Lösungen: x1 = t1 ; x2 = − t1 ; x3 = t2 ; x4 = − t2 ;
1. Fall: a0 a2 x 3
+ ⋅ a4 x 6
+ ⋅ = 0
Substitution x 3
= t ⇒ a0 + a2⋅t a4 t 2
+ ⋅ = 0
Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstituition liefert die
reinen kubischen Gleichungen: x 3
= t1 und x 3
= t2 Auflösen durch Wurzelziehen.
Lösungen: t1 > 0 ⇒ x1 t2 > 0 ⇒ x2 3
= t1 bzw. t1 < 0 ⇒ x1 3
= t2 bzw. t2 < 0 ⇒ x2 3
= − t1
3
= − t2
5. Möglichkeit: Gleichung besitzt keine ganzzahlige Lösung und ist nicht biquadratisch
⇒ numerische Verfahren, z.B.
Tangentenverfahren (Newton'sche Näherung), Sekantenverfahren (Regula Falsi),
Intervallhalbierung, usw.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
2 / 16

Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
l( x)
x 4
:=
r( x)
:= 4
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Grundlagen Algebra
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
16 4x 4
− = 0 auflösen, x
16 4x 4
− = 0
Lösungsweg: Auflösen nach x 4 und 4. Wurzel ziehen.
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
2
d( x)
l( x)
− r( x)
−4 x 4
:=
→ +
1
1
2
−2
1
2
i⋅2 1
2
−i⋅2 ⇔
⎞ ⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x 4
= 4
1.414
−1.414
1.414i
−1.414i
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3 / 16
d( x)
= 0
Lösung
Lösung
keine Lösung in IR
keine Lösung in IR
⇒
ID = IR
IL = { 4 4 ; 4 − 4 }
xL →
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
2
1
2
−2
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛
⎜
⎝
1.414
−1.414
⎞ ⎟⎠

Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
Gleichheit der Funktionswerte
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
6
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Projektion auf die x-Achse
Lösung
4 / 16
y-Achse
Differenzfunktion
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
6
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0

y-Achse
d( x)
l( x)
− r( x)
x 4
:=
→ + 4
Gleichheit der Funktionswerte
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
6
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Teilaufgabe b)
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
16 4x 4
+ = 0
Lösung: Gleichung besitzt keine Lösung in IR.
l( x)
x 4
:=
r( x)
:= −4
⇔
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
x 4
= −4
5 / 16
besitzt keine Nullstellen
y-Achse
ID = IR
IL = { }
Differenzfunktion
12
10
8
6
4
2
2 1 0 1 2
x-Achse
Graph von d(x)

12 3 x 3
− ⋅ = 0 auflösen, x
Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Differenzfunktion:
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
y-Achse
l( x)
x 3
:=
Gleichheit der Funktionswerte
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
6
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
12 3 x 3
− ⋅ = 0
Lösungsweg: Auflösen nach x 3 und 3. Wurzel ziehen.
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⇔
3
2
Rechte Funktion:
d( x)
l( x)
− r( x)
−4 x 3
:=
→ +
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
2
x 3
= 4
−1
2 2
2
3
⋅
1
2 i
1 2
+
2 3
⋅ ⋅3 ⋅2
−1
2 2
2
3
⋅
1
2 i
1 2
2 3
− ⋅ ⋅3 ⋅2
⎞ ⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
r( x)
:= 4
d( x)
= 0 −4 x 3
→ + = 0
6 / 16
=
y-Achse
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1.587
ID = IR
−0.794 + 1.375i
−0.794 − 1.375i
IL = { 3 4 }
⇒
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
Differenzfunktion
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
6
Lösung
keine Lösung in IR
keine Lösung in IR
xL = 1.587
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0

Teilaufgabe b)
Darstellung der Gleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Differenzfunktion:
y-Achse
l( x)
x 3
:=
d( x)
l( x)
− r( x)
x 3
:=
→ + 4
Gleichheit der Funktionswerte
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
6
x-Achse
Graph von l(x)
Graph von r(x)
Grundlagen Algebra
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung: 12 3 x 3
+ ⋅ = 0 ⇔ x 3
= −4
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen nach x 3 und 3. Wurzel ziehen.
Bemerkung:
Lösung:
3
−4 = −1.587
12 3 x 3
+ ⋅ = 0 auflösen, x
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Rechte Funktion:
Fkt.wert: l(x) = r(x)
Projektion auf die x-Achse
Lösung
3 3
− 4 = −1.587
IL = { − 4 }
2
3
−2
1
2 2
2
3 1
⋅
2 i
1 2
2 3
− ⋅ ⋅3 ⋅2
1
2 2
2
3
⋅
1
2 i
1 2
+
2 3
⋅ ⋅3 ⋅2
7 / 16
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
r( x)
:= −4
d( x)
0
= x 3
→
y-Achse
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1.587
+ 4 = 0
Differenzfunktion
10
8
6
4
2
2 1 0 1 2
2
4
keine Lösung in IR
⇒
Lösung
= 0.794 − 1.375i keine Lösung in IR
0.794 + 1.375i
⎞ ⎟⎟
⎟
⎠
x L
x-Achse
Graph von d(x)
Lösung: d(x) = 0
= −1.587

Lösung der quadratischen Gleichung:
Mathcad - Lösung:
xL 3 x 3
⋅ 3 x 2
:= − ⋅ − 66⋅x + 120 = 0 auflösen, x
Teilaufgabe b)
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
Grundlagen Algebra
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Definition der Polynomfunktion:
f( 1)
= 54
f( 2)
= 0
Polynomdivision:
54 ≠ 0
3 x 3
⋅ 3 x 2
− ⋅ − 66⋅x + 120 = 0
Lösungsweg: Polynomdivision ohne Rest.
1. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 120:
⇒
⇒
3 x 3
⋅ 3 x 2
− ⋅ − 66⋅x + 120
x − 2
Lösung
250
200
150
100
50
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Graph von f(x)
Lösung
f( x)
3 x 3
⋅ 3 x 2
:= − ⋅ − 66⋅x + 120
keine Lösung
x1 := 2
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
3 x 2
⋅ + 3⋅x − 60 = 0 auflösen, x
→
8 / 16
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
50
−5
2
4
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
x-Achse
ID = IR
→
⎛
⎜
⎝
−5
4
⎞
⎟
⎠
IL = { − 5 ; 2 ; 4 }
3 x 2
⋅ + 3⋅x − 60

Grundlagen Algebra
Aufgabe 6:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung: x 4
Lösung der kubischen Gleichung: x 3
5 x 2
+ ⋅ − 2⋅x − 10 = 0
Definition der Polynomfunktion: p( x)
x 3
5 x 2
:= + ⋅ − 2⋅x − 10
2. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 10.
f( 5)
= 230 230 ≠ 0 ⇒ keine Lösung
f( −5)
= 0
⇒ Lösung x2 := −5
Polynomdivision:
x 3
5 x 2
+ ⋅ − 2⋅x − 10
x + 5
Lösung der rein quadratischen Gleichung: x 2
Mathcad - Lösung:
22 x 2
− ⋅ x 3
+ − 2⋅x + 40 = 0
ID = IR
Lösungsweg: Polynomdivision ohne Rest.
Lösung:
Definition der Polynomfunktion: f( x)
x 4
22 x 2
− ⋅ x 3
:=
+ − 2⋅x + 40
1. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 40.
f( 1)
= 18 18 ≠ 0 ⇒ keine Lösung
f( 2)
= −28
−28 ≠ 0 ⇒ keine Lösung
f( 4)
= 0
⇒ Lösung x1 := 4
Polynomdivision: x4
22 x 2
− ⋅ x 3
+ − 2⋅x + 40
x − 4
in Partialbrüche zerlegt, ergibt x 3
5 x 2
+ ⋅ − 2⋅x − 10
in Partialbrüche zerlegt, ergibt x 2
− 2
− 2 = 0 auflösen, x
xL x 4
22 x 2
− ⋅ x 3
1
:= + − 2⋅x + 40 = 0 auflösen, x → ⎜ 2
IL = { − 5 ; − 2 ; 2 ; 4 }
2
9 / 16
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−5
4
1
2
−2
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
2
1
2
−2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

Teilaufgabe b)
Grundlagen Algebra
Graphische Lösung der Gleichung: f( x)
x 4
22 x 2
− ⋅ x 3
→
+ − 2⋅x + 40
y-Achse
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Graph von f(x)
Lösung
150
100
50
50
100
150
10 / 16
x-Achse

Mathcad - Lösung:
xL x 4
13 x 2
:= − ⋅ + 36 = 0 auflösen, x
Teilaufgabe b)
Definition der Polynomfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
Grundlagen Algebra
Aufgabe 7:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Substitution:
Resubstitution:
x 4
x 4
13 x 2
− ⋅ + 36 = 0
Lösungsweg: Substitution x 2
Lösung der quadratischen Gleichung:
x 2
= 4 auflösen, x
50
40
30
20
10
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Graph von f(x)
Lösung
= t
13 x 2
− ⋅ + 36 = 0
t 2
− 13⋅t + 36 = 0 auflösen, t
→
ersetzen x 2
, = t
ersetzen x 4
t 2 t
, =
2
→ − 13⋅t + 36 = 0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
→
2
3
−3
−2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
−2
⎞
⎟
⎠
f( x)
x 4
13 x 2
:= − ⋅ + 36
10
11 / 16
x-Achse
x 2
ID = IR
→
⎛
⎜
⎝
4
9
⎞ ⎟⎠
= 9 auflösen, x
→
⎛
⎜
⎝
3
−3
⎞
⎟
⎠
IL = { − 3 ; − 2 ; 2 ; 3 }

xL x 4
5 x 2
:= − ⋅ − 36 = 0 auflösen, x
Teilaufgabe b)
Definition der Polynomfunktion:
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
Grundlagen Algebra
Aufgabe 8:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Substitution:
Resubstitution:
Mathcad - Lösung:
x 4
x 4
5 x 2
− ⋅ − 36 = 0
Lösungsweg: Substitution x 2
Lösung der quadratischen Gleichung:
x 2
= t
5 x 2
− ⋅ − 36 = 0
= 9 auflösen, x
100
75
50
25
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Graph von f(x)
Lösung
t 2
→
ersetzen x 2
, = t
ersetzen x 4
t 2 t
, =
2
→ − 5⋅t − 36 = 0
− 5⋅t − 36 = 0 auflösen, t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
→
3
−3
2⋅i −2⋅i ⎛
⎜
⎝
f( x)
x 4
5 x 2
:= − ⋅ − 36
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠
3
−3
⎞
⎟
⎠
12 / 16
Lösung
Lösung
keine Lösung
keine Lösung
25
50
x 2
x-Achse
ID = IR
→
⎛
⎜
⎝
−4
9
⎞
⎟
⎠
= −4
auflösen, x
→
⎛
⎜
⎝
2⋅i −2⋅i IL = { − 3 ; 3 }
⎞ ⎟⎠
keine
Lösung

Resubstitution 2:
Mathcad - Lösung:
x 3
x 3
= −1
auflösen, x
= 8 auflösen, x
xL x 6
7 x 3
:= − ⋅ − 8 = 0 auflösen, x
→
Grundlagen Algebra
Aufgabe 9:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung:
Lösung:
Substitution:
Resubstitution 1:
x 6
x 6
7 x 3
− ⋅ − 8 = 0
Lösungsweg: Substitution x 3
7 x 3
− ⋅ − 8 = 0
Lösung der quadratischen Gleichung:
= t
ersetzen x 3
, = t
ersetzen x 6
t 2 t
, =
2
→ − 7⋅t − 8 = 0
t 2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
− 7⋅t − 8 = 0 auflösen, t
→
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 1
2 2 i
1
2
− ⋅ ⋅3
1 1
2 2 i
1
2
+ ⋅ ⋅3
1
2
−1 + i⋅3 1
2
−1 − i⋅3 2
−1
1 1
2 2 i
1
2
− ⋅ ⋅3
1 1
2 2 i
1
2
+ ⋅ ⋅3
2
−1 + i⋅3 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1
1
2
−1 − i⋅3 13 / 16
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
→
Lösung
Lösung
ID = IR
⎛
⎜
⎝
−1
8
⎞
⎟
⎠
Lösung
Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
keine Lösung
IL = { − 1 ; 2 }

Teilaufgabe b)
Grundlagen Algebra
Definition der Polynomfunktion: f( x)
x 6
7 x 3
:= − ⋅ − 8
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Graph von f(x)
Lösung
14 / 16
30
20
10
10
20
30
x-Achse

x0 := −2
( )
( )
( )
( )
Grundlagen Algebra
Aufgabe 10:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Gleichung: 2 x 3
⋅ 16 x 2
+ ⋅ + 42⋅x + 35 = 0
ID = IR
Lösungsweg: Newton'sches Verfahren (Formelsammlung Seite 20):
Lösung:
f x0 1. Näherung: x1 := x0 −
x
f´ x
1 = −1.500
0
f x1 2. Näherung: x2 := x1 −
x
f´ x
2 = −1.667
1
( )
( )
f x2 3. Näherung: x3 := x2 −
x
f´ x
3 = −1.701
2
( )
( )
f x3 4. Näherung: x4 := x3 −
x
f´ x
4 = −1.70284
3
Mathcad - Lösung:
Ist x1 ein Näherungswert für die Nullstelle von f( x),
so ist
( )
f x1 xT = x1 −
f´ ( x1) ein neuer, im allgemeinen besserer Näherungswert.
Polynomfunktion: f( x)
2 x 3
⋅ 16 x 2
:= + ⋅ + 42⋅x + 35
1. Ableitung:
d
f´ ( x)
:=
dx
f( x)
6 x 2
→ ⋅ + 32⋅x + 42
Funktionswerte: f( −2)
= −1
f( −1)
= 7
Startwert:
⇒ Lösung im Intervall ] − 2 ; − 1 [
Lösung
xL 2 x 3
⋅ 16 x 2
−1.70285
auflösen, x ⎜
⎟
:= + ⋅ + 42⋅x + 35 = 0
→ ⎜ − 3.14858 + .602815⋅i ⎟ keine Lösung
gleit , 6
⎜
− 3.14858 − .602815⋅i keine Lösung
15 / 16
⎛
⎝
⎞
⎟
⎠

Teilaufgabe b)
Grundlagen Algebra
Definition der Polynomfunktion: f( x)
2 x 3
⋅ 16 x 2
:= + ⋅ + 42⋅x + 35
Graphische Lösung der Gleichung:
y-Achse
6 5 4 3 2 1 0 1 2
x-Achse
Graph von f(x)
Lösung
16 / 16
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5