Übung: Berechnung von Ortskurven - MatheNexus
Übung: Berechnung von Ortskurven - MatheNexus
Übung: Berechnung von Ortskurven - MatheNexus
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Aufgaben:<br />
<strong>Übung</strong>: <strong>Berechnung</strong> <strong>von</strong> <strong>Ortskurven</strong><br />
(1) Eine <strong>von</strong> reellen Parameter c ≠ 0 abhängige Funktion mit der Gleichung<br />
1<br />
f1( c , x)<br />
12 x4<br />
1<br />
⋅<br />
6 x3 ⋅ ⋅ c c 2 x 2<br />
:= + − ⋅ besitzt zwei <strong>von</strong> c abhängige Wendepunkte.<br />
Bestimmen Sie die Ortskurve der beiden Wendepunkte.<br />
Skizzieren Sie den Graphen <strong>von</strong> f1 für c = 0.5, 1, 1.5<br />
Skizzieren Sie die <strong>Ortskurven</strong> in das gleiche Koordinatensystem.<br />
<strong>Ortskurven</strong>_Ueb_1.gxt<br />
MK 4.6.2003 <strong>Ortskurven</strong>_Ueb.mcd<br />
(2) Bestimmen Sie die Ortskurve der vom reellen Parameter d abhängigen Extrempunkte der Funktion<br />
1<br />
f2( d , x)<br />
2 x4 ⋅ x 3 1<br />
− ⋅ d<br />
3 x3 − ⋅<br />
3<br />
2 x2<br />
5<br />
⋅ ⋅ d<br />
2 x2<br />
:=<br />
+ − ⋅ + 6 ⋅ x ⋅ d − 2 ⋅ x<br />
<strong>Ortskurven</strong>_Ueb_2.gxt
Lösungen:<br />
(1)<br />
Eine <strong>von</strong> reellen Parameter c ≠ 0 abhängige Funktion mit der Gleichung<br />
1<br />
f1( c , x)<br />
12 x4<br />
1<br />
⋅<br />
6 x3 ⋅ ⋅ c c 2 x 2<br />
:= + − ⋅ besitzt zwei <strong>von</strong> c abhängige Wendepunkte.<br />
Bestimmen Sie die Ortskurve der beiden Wendepunkte.<br />
Skizzieren Sie den Graphen <strong>von</strong> f1 für c = 0.5, 1, 1.5<br />
Skizzieren Sie die <strong>Ortskurven</strong> in das gleiche Koordinatensystem.<br />
f1a( c , x)<br />
f1aa( c , x)<br />
f1a c x<br />
x ,<br />
d<br />
( ) vereinfachen x<br />
d<br />
2<br />
c ⋅ x 2 c 2<br />
:=<br />
→ + − ⋅ faktor → ( x + 2 ⋅ c)<br />
⋅ ( −c + x)<br />
f1aaa( c , x)<br />
faaa( c , −2c) = −4c + c ≠ 0<br />
f1( c , −2c) −4 c 4<br />
→ ⋅<br />
y11( x)<br />
:= −4<br />
⋅<br />
f1( c , x)<br />
y11( x)<br />
y12( x)<br />
− 4 c 4<br />
⋅<br />
− 3<br />
4 c4 ⋅<br />
f1 c x<br />
x ,<br />
d<br />
:= ( ) →<br />
d<br />
f1aa c x<br />
x ,<br />
d<br />
:= ( ) →<br />
d<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
−2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
4<br />
1<br />
3 x3 ⋅<br />
für<br />
f1( c , c)<br />
y12( x)<br />
1<br />
2 c ⋅ ⋅ x2 2 c 2<br />
+ − ⋅ ⋅ x<br />
c + 2 ⋅ x<br />
:=<br />
→<br />
c ≠ 0<br />
−3<br />
−3<br />
4<br />
4<br />
c 4<br />
⋅<br />
x 4<br />
⋅<br />
faaa( c , c)<br />
= 2c + c ≠ 0<br />
6 4 2 0 2 4<br />
10<br />
10<br />
20<br />
30<br />
40<br />
x , x , x , − 2c<br />
, c<br />
c := 0.5 , 1 .. 1.5<br />
x 1<br />
für<br />
= −2c c ≠ 0<br />
x := −6 , −5.95<br />
.. 5<br />
x2 = c<br />
x := x
(2)<br />
Bestimmen Sie die Ortskurve der vom reellen Parameter d abhängigen Extrempunkte der Funktion<br />
f2( d , x)<br />
1<br />
2 x4 ⋅ x 3 1<br />
− ⋅ d<br />
3 x3 − ⋅<br />
3<br />
2 x2<br />
5<br />
⋅ ⋅ d<br />
2 x2<br />
:=<br />
+ − ⋅ + 6 ⋅ x ⋅ d − 2 ⋅ x<br />
d<br />
f2a( d , x)<br />
:= f2( d , x)<br />
dx<br />
f2a( d , x)<br />
= 0 auflösen, x<br />
d<br />
f2aa( d , x)<br />
:= f2a( d , x)<br />
dx<br />
⎛<br />
f2aa d 3<br />
2 d ⋅<br />
1<br />
⎜ , − ⎟<br />
⎝ 2⎠<br />
vereinfachen<br />
⎛<br />
⎝<br />
f2aa d 3<br />
2 d ⋅<br />
1<br />
⎜ , −<br />
2<br />
Ortskurve:<br />
3<br />
x<br />
2 d ⋅<br />
1<br />
= − auflösen, d<br />
2<br />
y( x)<br />
f2 d 3<br />
2 d ⋅<br />
1<br />
= ⎜ , − ⎟ vereinfachen → y( x)<br />
=<br />
2<br />
−27<br />
32 d4 ⋅<br />
y2( x)<br />
:=<br />
⎛<br />
⎝<br />
+<br />
−1<br />
6<br />
f2( d , x)<br />
y2( x)<br />
9<br />
4 d3 ⋅<br />
( )<br />
f2 d , x3 ( d)<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= 0 auflösen, d<br />
⎞<br />
⎠<br />
→<br />
2<br />
3 x ⋅<br />
45<br />
16 d2<br />
5<br />
+ ⋅<br />
2 d ⋅ − +<br />
x 4 1<br />
⋅<br />
3 x3 + ⋅ 2 x 2<br />
+ ⋅<br />
vereinfachen 2 x 3<br />
⋅ 3 ⋅ d x 2<br />
− ⋅ x 2<br />
→<br />
− + 3 ⋅ x ⋅ d − 5 ⋅ x + 6 ⋅ d − 2<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1<br />
2<br />
3<br />
2 d ⋅<br />
6 x 2<br />
→ ⋅ − 6 ⋅ x ⋅ d − 2 ⋅ x + 3 ⋅ d − 5<br />
→<br />
1<br />
−<br />
2<br />
+<br />
9<br />
2 d2 ⋅ − 6 ⋅ d<br />
→<br />
1<br />
3<br />
43<br />
96<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
3<br />
5<br />
3<br />
ersetzen , d =<br />
d := −0.5 , 0 .. 2<br />
20<br />
10<br />
3 2 1 0 1 2 3 4<br />
10<br />
x 1<br />
x3( d)<br />
⎞ ⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
= −1<br />
:=<br />
5<br />
−<br />
2<br />
3<br />
2 d ⋅<br />
Die zweite Ableitung ist nicht Null für d nicht 1 −<br />
−27<br />
32 d4 ⋅<br />
vereinfachen<br />
x , x , x3 ( d)<br />
1<br />
−<br />
2<br />
+<br />
x2 = 2<br />
9<br />
4 d3 ⋅<br />
2<br />
3 x ⋅<br />
1<br />
+<br />
3 −1<br />
→<br />
6<br />
sind fest<br />
ist variabel<br />
45<br />
16 d2<br />
5<br />
⋅<br />
2 d ⋅ −<br />
+<br />
+<br />
x 4 1<br />
⋅<br />
3 x3 + ⋅ 2 x 2<br />
+ ⋅<br />
x := −3 , −2.95<br />
.. 4.5<br />
43<br />
96<br />
3<br />
, 5<br />
3