Expertentipps - Matheverlag

Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie
Beispiel 11:
Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
(Bekannt seien die Koordinaten der Punkte A, B und C.)
Lösungsplan 11:
1. Aufstellen der Vektoren AB , AC , BC und ihrer Gegenvektoren.
2. Berechnen der entsprechenden Winkel mit der Formel cos α =
v ⋅ w
| v | ⋅|
w |
.
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A
C
γ
α β
Hinweis: Wenn man zwei Innenwinkel berechnet hat, kann man den dritten Innenwinkel mit der Summe aller
drei Innenwinkel (= 180°) berechnen. In Vierecken beträgt die Summe der Innenwinkel 360°.
!
Vorsicht Falle:
Zur Berechnung von Innenwinkel in Dreiecken bzw. Vierecken benötigen Sie die Formel
cos α =
v ⋅ w
; und zwar ohne große Betragsstriche !
| v|
⋅|
w|
In einigen Formelsammlungen steht diese Formel mit großen Betragsstrichen: cos α =
Mit dieser Formel wird aber immer nur der spitze Winkel α berechnet.
Das heißt, bei stumpfen Innenwinkeln erhalten Sie den falschen Wert !
Benutzen Sie daher zur Berechnung von Innenwinkel immer nur die Formel cos α =
Auch ganz wichtig:
v ⋅ w
| v | ⋅|
w |
.
Beachten Sie dabei unbedingt, dass die Vektoren v und w vom
jeweiligen Eckpunkt wegzeigen (siehe Skizze). Wenn ein Vektor vom
Eckpunkt wegzeigt und der andere auf den Eckpunkt hinzeigt, erhalten
Sie den Außenwinkel !
3.2. Besondere Aufgabenstellungen: Beweise mit Vektoren
| v
v
v
|
⋅ w .
⋅|
w|
Im Wahlteil zur analytischen Geometrie kommt immer eine Aufgabe vor, in der Sie mithilfe der
Vektorrechnung einen Beweis durchführen müssen. Zwei Aufgabentypen sind dabei möglich:
• Entweder müssen Sie berechnen, in welchem Verhältnis ein Punkt eine Strecke teilt,
• oder Sie müssen beweisen, dass zwei Strecken orthogonal bzw. parallel zueinander sind.
Wie Sie diese Beweise mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren durchführen, erfahren Sie in den
Lösungen zu den entsprechenden Aufgaben.
Aufgaben zum Nachweis von Teilverhältnissen finden Sie in den Prüfungen:
2004 (Geometrie 2); 2006 (Geometrie 1); 2008 (Geometrie 2); 2010 (Geometrie 2)
Aufgaben zum Nachweis von Orthogonalität (bzw. Parallelität) von Strecken finden Sie in den
Prüfungen: 2005 (Geometrie 2); 2007 (Geometrie 1) und 2009 (Geometrie 2).
Recht einfach werden diese Beweise mit folgendem Tipp:
Tipp:
Teilverhältnisse und Orthogonalität von Strecken können einfach bewiesen werden, wenn man die
darin vorkommenden Punkte mit Koordinaten beschreiben kann. Das ist insbesondere dann möglich,
wenn in der dargestellten Figur rechte Winkel vorkommen. Die folgenden zwei Beispiele
veranschaulichen dies.
A
α
w
B