Expertentipps - Matheverlag
Expertentipps - Matheverlag Expertentipps - Matheverlag
Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie 3. Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie: . Anforderungen: Zur Bearbeitung der Wahlteilaufgaben der analytischen Geometrie werden folgende Grundkenntnisse benötigt: • Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen: Geradengleichung aufstellen, Parameter- und Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen, Normalenform einer Ebene aufstellen. • Punktproben: Einsetzen von Punktkoordinaten in Geradengleichungen bzw. Ebenengleichungen, Lösen des entsprechenden Gleichungssystems. • Abstandsberechnungen: Abstand zweier Punkte bzw. Länge eines Vektors, Abstand eines Punktes zu einer Geraden, Abstand eines Punktes zu einer Ebene. • Lage zwischen Geraden und Ebenen: Lage zwischen zwei Geraden, Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene, Lage zwischen zwei Ebenen. • Winkelberechnungen: Winkel zwischen zwei Vektoren, Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden, Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, Winkel zwischen zwei Ebenen. • Spiegelungen: Spiegelung eines Punktes an einer Geraden oder Ebene, Spiegelung einer Geraden an einer Ebene. © Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht !
Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie Beispiel 11: Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC. (Bekannt seien die Koordinaten der Punkte A, B und C.) Lösungsplan 11: 1. Aufstellen der Vektoren AB , AC , BC und ihrer Gegenvektoren. 2. Berechnen der entsprechenden Winkel mit der Formel cos α = v ⋅ w | v | ⋅| w | . © Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht ! A C γ α β Hinweis: Wenn man zwei Innenwinkel berechnet hat, kann man den dritten Innenwinkel mit der Summe aller drei Innenwinkel (= 180°) berechnen. In Vierecken beträgt die Summe der Innenwinkel 360°. ! Vorsicht Falle: Zur Berechnung von Innenwinkel in Dreiecken bzw. Vierecken benötigen Sie die Formel cos α = v ⋅ w ; und zwar ohne große Betragsstriche ! | v| ⋅| w| In einigen Formelsammlungen steht diese Formel mit großen Betragsstrichen: cos α = Mit dieser Formel wird aber immer nur der spitze Winkel α berechnet. Das heißt, bei stumpfen Innenwinkeln erhalten Sie den falschen Wert ! Benutzen Sie daher zur Berechnung von Innenwinkel immer nur die Formel cos α = Auch ganz wichtig: v ⋅ w | v | ⋅| w | . Beachten Sie dabei unbedingt, dass die Vektoren v und w vom jeweiligen Eckpunkt wegzeigen (siehe Skizze). Wenn ein Vektor vom Eckpunkt wegzeigt und der andere auf den Eckpunkt hinzeigt, erhalten Sie den Außenwinkel ! 3.2. Besondere Aufgabenstellungen: Beweise mit Vektoren | v v v | ⋅ w . ⋅| w| Im Wahlteil zur analytischen Geometrie kommt immer eine Aufgabe vor, in der Sie mithilfe der Vektorrechnung einen Beweis durchführen müssen. Zwei Aufgabentypen sind dabei möglich: • Entweder müssen Sie berechnen, in welchem Verhältnis ein Punkt eine Strecke teilt, • oder Sie müssen beweisen, dass zwei Strecken orthogonal bzw. parallel zueinander sind. Wie Sie diese Beweise mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren durchführen, erfahren Sie in den Lösungen zu den entsprechenden Aufgaben. Aufgaben zum Nachweis von Teilverhältnissen finden Sie in den Prüfungen: 2004 (Geometrie 2); 2006 (Geometrie 1); 2008 (Geometrie 2); 2010 (Geometrie 2) Aufgaben zum Nachweis von Orthogonalität (bzw. Parallelität) von Strecken finden Sie in den Prüfungen: 2005 (Geometrie 2); 2007 (Geometrie 1) und 2009 (Geometrie 2). Recht einfach werden diese Beweise mit folgendem Tipp: Tipp: Teilverhältnisse und Orthogonalität von Strecken können einfach bewiesen werden, wenn man die darin vorkommenden Punkte mit Koordinaten beschreiben kann. Das ist insbesondere dann möglich, wenn in der dargestellten Figur rechte Winkel vorkommen. Die folgenden zwei Beispiele veranschaulichen dies. A α w B
- Seite 2 und 3: Expertentipps: Pflichtteilaufgaben
- Seite 4 und 5: Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur
- Seite 8: Ende der Musterseiten. Die Original
<strong>Expertentipps</strong>: Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie<br />
Beispiel 11:<br />
Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC.<br />
(Bekannt seien die Koordinaten der Punkte A, B und C.)<br />
Lösungsplan 11:<br />
1. Aufstellen der Vektoren AB , AC , BC und ihrer Gegenvektoren.<br />
2. Berechnen der entsprechenden Winkel mit der Formel cos α =<br />
v ⋅ w<br />
| v | ⋅|<br />
w |<br />
.<br />
© Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht !<br />
A<br />
C<br />
γ<br />
α β<br />
Hinweis: Wenn man zwei Innenwinkel berechnet hat, kann man den dritten Innenwinkel mit der Summe aller<br />
drei Innenwinkel (= 180°) berechnen. In Vierecken beträgt die Summe der Innenwinkel 360°.<br />
!<br />
Vorsicht Falle:<br />
Zur Berechnung von Innenwinkel in Dreiecken bzw. Vierecken benötigen Sie die Formel<br />
cos α =<br />
v ⋅ w<br />
; und zwar ohne große Betragsstriche !<br />
| v|<br />
⋅|<br />
w|<br />
In einigen Formelsammlungen steht diese Formel mit großen Betragsstrichen: cos α =<br />
Mit dieser Formel wird aber immer nur der spitze Winkel α berechnet.<br />
Das heißt, bei stumpfen Innenwinkeln erhalten Sie den falschen Wert !<br />
Benutzen Sie daher zur Berechnung von Innenwinkel immer nur die Formel cos α =<br />
Auch ganz wichtig:<br />
v ⋅ w<br />
| v | ⋅|<br />
w |<br />
.<br />
Beachten Sie dabei unbedingt, dass die Vektoren v und w vom<br />
jeweiligen Eckpunkt wegzeigen (siehe Skizze). Wenn ein Vektor vom<br />
Eckpunkt wegzeigt und der andere auf den Eckpunkt hinzeigt, erhalten<br />
Sie den Außenwinkel !<br />
3.2. Besondere Aufgabenstellungen: Beweise mit Vektoren<br />
| v<br />
v<br />
v<br />
|<br />
⋅ w .<br />
⋅|<br />
w|<br />
Im Wahlteil zur analytischen Geometrie kommt immer eine Aufgabe vor, in der Sie mithilfe der<br />
Vektorrechnung einen Beweis durchführen müssen. Zwei Aufgabentypen sind dabei möglich:<br />
• Entweder müssen Sie berechnen, in welchem Verhältnis ein Punkt eine Strecke teilt,<br />
• oder Sie müssen beweisen, dass zwei Strecken orthogonal bzw. parallel zueinander sind.<br />
Wie Sie diese Beweise mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren durchführen, erfahren Sie in den<br />
Lösungen zu den entsprechenden Aufgaben.<br />
Aufgaben zum Nachweis von Teilverhältnissen finden Sie in den Prüfungen:<br />
2004 (Geometrie 2); 2006 (Geometrie 1); 2008 (Geometrie 2); 2010 (Geometrie 2)<br />
Aufgaben zum Nachweis von Orthogonalität (bzw. Parallelität) von Strecken finden Sie in den<br />
Prüfungen: 2005 (Geometrie 2); 2007 (Geometrie 1) und 2009 (Geometrie 2).<br />
Recht einfach werden diese Beweise mit folgendem Tipp:<br />
Tipp:<br />
Teilverhältnisse und Orthogonalität von Strecken können einfach bewiesen werden, wenn man die<br />
darin vorkommenden Punkte mit Koordinaten beschreiben kann. Das ist insbesondere dann möglich,<br />
wenn in der dargestellten Figur rechte Winkel vorkommen. Die folgenden zwei Beispiele<br />
veranschaulichen dies.<br />
A<br />
α<br />
w<br />
B