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Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur Analysis 2.5. Monotonie nachweisen: In vielen Wahlteilaufgaben soll man nachweisen, dass eine Funktion für einen bestimmten x-Wertebereich monoton abnimmt bzw. zunimmt. Bei solchen Fragestellungen müssen Sie folgendermaßen mit der Ableitungsfunktion f’ argumentieren: • In dem x-Wertebereich, wo das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft (positive y-Werte), ist das Schaubild von f monoton wachsend. • In dem x-Wertebereich, wo das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft (negative y-Werte), ist das Schaubild von f monoton fallend. Tipp: • Der GTR kann direkt aus dem Schaubild einer Funktion f das Schaubild der Ableitungsfunktion f’ erstellen, ohne dass Sie f’(x) extra berechnen und eintippen müssen. Sie können dann die Monotonie mithilfe des Schaubilds von f’ nachweisen. Dazu müssen Sie allerdings das Schaubild von f’ skizzieren mit dem Vermerk, dass Sie es mit dem GTR erstellt haben. • Auf herkömmliche Weise können Sie die Monotonie auch mit dem Ableitungsterm f’(x) nachweisen. Dies ist aber meistens etwas umständlicher und kniffliger als die Argumentation mit dem Schaubild von f’. Außerdem müssen Sie den Ableitungsterm zuerst bestimmen. 2.6. Steilste bzw. flachste Stellen in einem Schaubild bestimmen: Wenn nach den steilsten bzw. flachsten Stellen des Schaubilds einer Funktion f gefragt wird, sind die betragsmäßig größten bzw. kleinsten Steigungen von f in dem entsprechenden Intervall gesucht. Diese Stellen finden Sie ganz schnell mit dem Schaubild von f’ heraus, das Sie mit dem GTR erstellen können: Tipp: • Dort, wo das Schaubild von f’ den betragsmäßig (!) größten Wert hat, ist die steilste Stelle im Schaubild von f. • Dort, wo das Schaubild von f’ den betragsmäßig (!) kleinsten Wert hat, ist die flachste Stelle im Schaubild von f. • Wenn in einem Aufgabentext nach einem bestimmten „Gefälle“ einer Kurve gefragt ist, benötigen Sie ebenfalls die Ableitungsfunktion f’ (mit „Gefälle“ ist immer die Steigung gemeint). • In prozentualen Gefälleangaben steckt immer eine Kurvensteigung m. Wenn beispielsweise eine Kurve an der Stelle x = a ein Gefälle von 40 % hat, gilt dort: m = f’(a) = 0,40. 2.7. Flächenberechnungen mit Integralen: Folgende Arten von Flächen sollten Sie im Wahlteil mithilfe von Integralen bzw. mithilfe des GTR berechnen können (oft genügt die Berechnung mithilfe des GTR): Typ 1: Die Fläche wird vom Schaubild von f und der x-Achse eingeschlossen. In diesem Fall müssen zunächst die Nullstellen a und b der Funktion f berechnet werden. b Für die Fläche A1 gilt dann: A1 = ∫ a f(x) dx = [F(x)] b = F(a) − F(b) a © Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht ! y a K f A 1 Schaubild von f b x
Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur Analysis 2.13. Beschränktes Wachstum: Wenn in einer Abituraufgabe von einem Wachstum die Rede ist, handelt es sich so gut wie immer um beschränktes Wachstum. (Exponentielles Wachstum wurde bereits in Klasse 9 behandelt und kam bisher noch nie in einer Abiturprüfung vor.) Folgende Formeln sollte man sich zum beschränkten Wachstum unbedingt merken. (Zumindest sollte man wissen, wo sie in der Formelsammlung stehen.) −kt • Funktionsgleichung des beschränkten Wachstums: B(t) = S − C ⋅ e S ist die Schranke des Wachstums; also der Wert, dem sich die Funktionswerte für t → ∞ annähern. C und k sind Konstanten. Es gilt: B(0) = S − C. Wenn der Startwert B(0) = 0 ist, dann gilt C = S. Beachte: Bei negativem C handelt es sich um einen beschränkten Zerfall. Das heißt, die Funktionswerte nähern sich der Schranke S von oben. • Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums: B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] In Worten: Die momentane Änderungsrate B’(t) der Funktionswerte ist proportional zu dem Abstand des aktuellen Funktionswerts B(t) zur Schranke S. Der Proportionalitätsfaktor ist die Konstante k. • Kurvenverlauf des beschränkten Wachstums bzw. Zerfalls: S y ! Beschränktes Wachstum Wichtig: Schranke S x © Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht ! S y Beschränkter Zerfall Schranke S Die Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums kann auch so beschrieben werden: B’(t) = a − b ⋅ B(t), mit den Konstanten a und b. Diese Gleichung steht in dieser Form nicht in der Formelsammlung, wird aber bei den meisten Abituraufgaben zum beschränkten Wachstum benötigt ! Wie diese Formel aus der Gleichung B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] hervorgeht, erkennt man leicht durch Ausmultiplizieren: B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] ⇔ B’(t) = k ⋅ S − k ⋅ B(t). Es gilt also: k ⋅ S = a und k = b. Kennt man die Werte für a und b, kann man somit leicht die Schranke S berechnen: S = b −kt Aus dem Startwert B(0) = S − C erhält man dann sofort die Konstante C in B(t) = S − C ⋅ e . Hinweis: Anschaulich besagt die Differenzialgleichung B’(t) = a − b ⋅ B(t), dass sich die momentane Änderungsrate B’(t) einer Funktion aus einer konstanten Zunahme (= a) und einer Abnahme (= b ⋅ B(t)) zusammensetzt, die proportional zum jeweiligen Wert B(t) ist. Das spielt beispielsweise bei einem Behälter mit Zu- und Abfluss eine Rolle (vgl. Wahlteil 2008 – Analysis 3). a x
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<strong>Expertentipps</strong>: Wahlteilaufgaben zur Analysis<br />
2.13. Beschränktes Wachstum:<br />
Wenn in einer Abituraufgabe von einem Wachstum die Rede ist, handelt es sich so gut wie immer um<br />
beschränktes Wachstum. (Exponentielles Wachstum wurde bereits in Klasse 9 behandelt und kam<br />
bisher noch nie in einer Abiturprüfung vor.) Folgende Formeln sollte man sich zum beschränkten<br />
Wachstum unbedingt merken. (Zumindest sollte man wissen, wo sie in der Formelsammlung stehen.)<br />
−kt<br />
• Funktionsgleichung des beschränkten Wachstums: B(t) = S − C ⋅ e<br />
S ist die Schranke des Wachstums; also der Wert, dem sich die Funktionswerte für t → ∞ annähern.<br />
C und k sind Konstanten. Es gilt: B(0) = S − C. Wenn der Startwert B(0) = 0 ist, dann gilt C = S.<br />
Beachte: Bei negativem C handelt es sich um einen beschränkten Zerfall. Das heißt, die<br />
Funktionswerte nähern sich der Schranke S von oben.<br />
• Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums: B’(t) = k ⋅ [S − B(t)]<br />
In Worten: Die momentane Änderungsrate B’(t) der Funktionswerte ist proportional zu dem Abstand<br />
des aktuellen Funktionswerts B(t) zur Schranke S. Der Proportionalitätsfaktor ist die Konstante k.<br />
• Kurvenverlauf des beschränkten Wachstums bzw. Zerfalls:<br />
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Beschränktes Wachstum<br />
Wichtig:<br />
Schranke S<br />
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Beschränkter Zerfall<br />
Schranke S<br />
Die Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums kann auch so beschrieben werden:<br />
B’(t) = a − b ⋅ B(t), mit den Konstanten a und b.<br />
Diese Gleichung steht in dieser Form nicht in der Formelsammlung, wird aber bei den meisten<br />
Abituraufgaben zum beschränkten Wachstum benötigt !<br />
Wie diese Formel aus der Gleichung B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] hervorgeht, erkennt man leicht durch<br />
Ausmultiplizieren:<br />
B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] ⇔ B’(t) = k ⋅ S − k ⋅ B(t). Es gilt also: k ⋅ S = a und k = b.<br />
Kennt man die Werte für a und b, kann man somit leicht die Schranke S berechnen: S = b<br />
−kt<br />
Aus dem Startwert B(0) = S − C erhält man dann sofort die Konstante C in B(t) = S − C ⋅ e .<br />
Hinweis: Anschaulich besagt die Differenzialgleichung B’(t) = a − b ⋅ B(t), dass sich die momentane Änderungsrate<br />
B’(t) einer Funktion aus einer konstanten Zunahme (= a) und einer Abnahme (= b ⋅ B(t)) zusammensetzt, die<br />
proportional zum jeweiligen Wert B(t) ist. Das spielt beispielsweise bei einem Behälter mit Zu- und Abfluss eine<br />
Rolle (vgl. Wahlteil 2008 – Analysis 3).<br />
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