Expertentipps - Matheverlag

Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur Analysis
2.5. Monotonie nachweisen:
In vielen Wahlteilaufgaben soll man nachweisen, dass eine Funktion für einen bestimmten x-Wertebereich
monoton abnimmt bzw. zunimmt. Bei solchen Fragestellungen müssen Sie folgendermaßen mit
der Ableitungsfunktion f’ argumentieren:
• In dem x-Wertebereich, wo das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft (positive y-Werte),
ist das Schaubild von f monoton wachsend.
• In dem x-Wertebereich, wo das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft (negative y-Werte),
ist das Schaubild von f monoton fallend.
Tipp:
• Der GTR kann direkt aus dem Schaubild einer Funktion f das Schaubild der Ableitungsfunktion f’
erstellen, ohne dass Sie f’(x) extra berechnen und eintippen müssen. Sie können dann die Monotonie
mithilfe des Schaubilds von f’ nachweisen. Dazu müssen Sie allerdings das Schaubild von f’ skizzieren
mit dem Vermerk, dass Sie es mit dem GTR erstellt haben.
• Auf herkömmliche Weise können Sie die Monotonie auch mit dem Ableitungsterm f’(x) nachweisen.
Dies ist aber meistens etwas umständlicher und kniffliger als die Argumentation mit dem Schaubild
von f’. Außerdem müssen Sie den Ableitungsterm zuerst bestimmen.
2.6. Steilste bzw. flachste Stellen in einem Schaubild bestimmen:
Wenn nach den steilsten bzw. flachsten Stellen des Schaubilds einer Funktion f gefragt wird, sind die
betragsmäßig größten bzw. kleinsten Steigungen von f in dem entsprechenden Intervall gesucht. Diese
Stellen finden Sie ganz schnell mit dem Schaubild von f’ heraus, das Sie mit dem GTR erstellen
können:
Tipp:
• Dort, wo das Schaubild von f’ den betragsmäßig (!) größten Wert hat,
ist die steilste Stelle im Schaubild von f.
• Dort, wo das Schaubild von f’ den betragsmäßig (!) kleinsten Wert hat,
ist die flachste Stelle im Schaubild von f.
• Wenn in einem Aufgabentext nach einem bestimmten „Gefälle“ einer Kurve gefragt ist, benötigen
Sie ebenfalls die Ableitungsfunktion f’ (mit „Gefälle“ ist immer die Steigung gemeint).
• In prozentualen Gefälleangaben steckt immer eine Kurvensteigung m. Wenn beispielsweise eine
Kurve an der Stelle x = a ein Gefälle von 40 % hat, gilt dort: m = f’(a) = 0,40.
2.7. Flächenberechnungen mit Integralen:
Folgende Arten von Flächen sollten Sie im Wahlteil mithilfe von Integralen bzw. mithilfe des GTR
berechnen können (oft genügt die Berechnung mithilfe des GTR):
Typ 1: Die Fläche wird vom Schaubild von f und der x-Achse eingeschlossen.
In diesem Fall müssen zunächst die Nullstellen a und b der
Funktion f berechnet werden.
b
Für die Fläche A1 gilt dann: A1 = ∫
a
f(x) dx = [F(x)] b
= F(a) − F(b)
a
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y
a
K f
A 1
Schaubild von f
b
x