Expertentipps - Matheverlag
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Expertentipps: Pflichtteilaufgaben 1. Pflichtteil-Aufgaben: . Aufgabe 1: . Anforderungen: In der ersten Aufgabe des Pflichtteils muss immer die Ableitung einer Funktion bestimmt werden. Dazu sollten folgende Ableitregeln auswendig (!) gelernt werden: (Man beachte: Im Pflichtteil ist keine Formelsammlung erlaubt!) Allgemeine Ableitregeln: (a ∈ IR) f(x) f’(x) In Worten: g(x) + h(x) g’(x) + h’(x) Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden ableitet. a ⋅ f(x) a ⋅ f’(x) Ein konstanter Faktor a kann beim Ableiten einfach „mitgeschleppt“ werden. f(g(x)) f(g(x)) ⋅ g’(x) Kettenregel: „äußere mal innere Ableitung“ u(x) ⋅ v(x) u’(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v’(x) Produktregel u(x) v(x) Spezielle Ableitregeln: (a, n ∈ IR) u'(x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v 2 v(x) '(x) Quotientenregel f(x) f’(x) f(x) f’(x) a ⋅ x a sin x cos x x n n ⋅ x n − 1 cos x −sin x e ax a ⋅ e ax sin (ax) a ⋅ cos (ax) ln x Tipps: 1 x Vor dem Ableiten sollten folgende Terme umgeschrieben werden: 1 = x − n und x = x 0,5 n x Die Ableitungen der Sinus- bzw. Kosinusfunktionen kann man sich leicht mithilfe der nebenstehenden Liste merken. cos (ax) −a ⋅ sin (ax) © Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht ! f ' sin x cos x − sin x − cos x sin x Insbesondere bei folgenden Termen muss die Kettenregel angewendet werden: (ax + b) n bzw. g(x) n ; sin (ax + b) bzw. sin (g(x)) ; cos (ax + b) bzw. cos (g(x)) ; e (ax + b) bzw. e g(x) ; ln (ax + b) bzw. ln (g(x)) ; Man beachte: Wenn man mit der Produkt- bzw. Quotientenregel ableiten soll, benötigt man oft auch die Kettenregel. Wenn die Quotientenregel benötigt wird, sollte man die Terme u(x) und v(x) zunächst in einer Nebenrechnung ableiten und erst dann in die obige Formel einsetzen. Sonst verliert man leicht den Überblick.
Expertentipps: Pflichtteilaufgaben Aufgabe 5: . Anforderungen: In Aufgabe 5 des Pflichtteils muss man häufig anhand des Schaubilds einer Ableitungsfunktion f’ (bzw. einer Stammfunktion F) Aussagen über die Funktion f (bzw. F) bewerten. Ein weiterer Aufgabentyp ist es, vorgegebene Schaubilder ihren zugehörigen Funktionstermen zuzuordnen. 5.1. Aussagen über f bzw. F bewerten: Wenn man anhand des Schaubilds einer Ableitungsfunktion f’ Aussagen über das Schaubild von f bewerten soll, sollte man folgende Regeln beachten: ! Wichtige Regeln: Der Funktionswert f’(a) an der Stelle x = a gibt immer die Steigung der Tangente im Punkt P(a|f(a)) des Schaubilds von f an. Dort, wo das Schaubild von f’ die x-Achse schneidet, hat das Schaubild von f einen Hochpunkt (Vorzeichenwechsel von plus nach minus) und einen Tiefpunkt (VZW von minus nach plus). Dort, wo das Schaubild von f’ einen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, hat das Schaubild von f einen Wendepunkt. Wenn das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem Intervall monoton steigend. Wenn das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem Intervall monoton fallend. Anhand des Schaubilds von f’ kann man keine Aussage darüber treffen, wie weit das Schaubild von f in y-Achsenrichtung verschoben ist. Ist das Schaubild von f’ punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist das Schaubild von f symmet- risch zur y-Achse. Hinweis: Nach denselben Regeln kann man vom Schaubild einer Funktion f Rückschlüssen auf das Schaubild von F ziehen. Denn es gilt: f = F’. 5.2. Funktionsterme ihren Schaubildern zuordnen: Bei diesen Aufgabenstellungen sind ein oder mehrere Funktionsterme und Schaubilder vorgegeben, wobei man den Schaubildern jeweils den richtigen Funktionsterm zuordnen soll. Solche Aufgaben kann man mit folgenden Tipps sehr leicht lösen: Tipps: Zunächst sollte man die waagrechten und senkrechten Asymptoten der angegebenen Funktionsterme bestimmen und mit den Schaubildern vergleichen. Außerdem sollte man die Nullstellen der angegebenen Funktionen bestimmen und mit den Schaubildern vergleichen. Einen weiteren Hinweis liefert eine Punktprobe mit Punkten, die man aus einem Schaubild ablesen kann (= markante Gitterpunkte). Wenn nicht nur das Schaubild einer Funktion f sondern auch die Schaubilder der Ableitungs- funktion f’ und der Stammfunktion F vorkommen, sollte man die obigen Regeln (5.1.) beachten. © Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht !
- Seite 4 und 5: Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur
- Seite 6 und 7: Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur
- Seite 8: Ende der Musterseiten. Die Original
<strong>Expertentipps</strong>: Pflichtteilaufgaben<br />
Aufgabe 5: .<br />
Anforderungen:<br />
In Aufgabe 5 des Pflichtteils muss man häufig anhand des Schaubilds einer Ableitungsfunktion f’ (bzw.<br />
einer Stammfunktion F) Aussagen über die Funktion f (bzw. F) bewerten. Ein weiterer Aufgabentyp<br />
ist es, vorgegebene Schaubilder ihren zugehörigen Funktionstermen zuzuordnen.<br />
5.1. Aussagen über f bzw. F bewerten:<br />
Wenn man anhand des Schaubilds einer Ableitungsfunktion f’ Aussagen über das Schaubild von f<br />
bewerten soll, sollte man folgende Regeln beachten:<br />
!<br />
Wichtige Regeln:<br />
Der Funktionswert f’(a) an der Stelle x = a gibt immer die Steigung der Tangente im Punkt<br />
P(a|f(a)) des Schaubilds von f an.<br />
Dort, wo das Schaubild von f’ die x-Achse schneidet, hat das Schaubild von f einen Hochpunkt<br />
(Vorzeichenwechsel von plus nach minus) und einen Tiefpunkt (VZW von minus nach plus).<br />
Dort, wo das Schaubild von f’ einen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, hat das Schaubild von f einen<br />
Wendepunkt.<br />
Wenn das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem<br />
Intervall monoton steigend.<br />
Wenn das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem<br />
Intervall monoton fallend.<br />
Anhand des Schaubilds von f’ kann man keine Aussage darüber treffen, wie weit das Schaubild<br />
von f in y-Achsenrichtung verschoben ist.<br />
Ist das Schaubild von f’ punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist das Schaubild von f symmet-<br />
risch zur y-Achse.<br />
Hinweis: Nach denselben Regeln kann man vom Schaubild einer Funktion f Rückschlüssen auf das Schaubild von F<br />
ziehen. Denn es gilt: f = F’.<br />
5.2. Funktionsterme ihren Schaubildern zuordnen:<br />
Bei diesen Aufgabenstellungen sind ein oder mehrere Funktionsterme und Schaubilder vorgegeben,<br />
wobei man den Schaubildern jeweils den richtigen Funktionsterm zuordnen soll. Solche Aufgaben kann<br />
man mit folgenden Tipps sehr leicht lösen:<br />
Tipps:<br />
Zunächst sollte man die waagrechten und senkrechten Asymptoten der angegebenen<br />
Funktionsterme bestimmen und mit den Schaubildern vergleichen.<br />
Außerdem sollte man die Nullstellen der angegebenen Funktionen bestimmen und mit den<br />
Schaubildern vergleichen.<br />
Einen weiteren Hinweis liefert eine Punktprobe mit Punkten, die man aus einem Schaubild<br />
ablesen kann (= markante Gitterpunkte).<br />
Wenn nicht nur das Schaubild einer Funktion f sondern auch die Schaubilder der Ableitungs-<br />
funktion f’ und der Stammfunktion F vorkommen, sollte man die obigen Regeln (5.1.) beachten.<br />
© Mathematik-Verlag; www.matheverlag.com Musterseiten. Nur zur Ansicht !
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