Expertentipps - Matheverlag

Expertentipps: Pflichtteilaufgaben
1. Pflichtteil-Aufgaben: .
Aufgabe 1: .
Anforderungen:
In der ersten Aufgabe des Pflichtteils muss immer die Ableitung einer Funktion bestimmt werden.
Dazu sollten folgende Ableitregeln auswendig (!) gelernt werden:
(Man beachte: Im Pflichtteil ist keine Formelsammlung erlaubt!)
Allgemeine Ableitregeln: (a ∈ IR)
f(x) f’(x) In Worten:
g(x) + h(x) g’(x) + h’(x) Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden
Summanden ableitet.
a ⋅ f(x) a ⋅ f’(x) Ein konstanter Faktor a kann beim Ableiten einfach
„mitgeschleppt“ werden.
f(g(x)) f(g(x)) ⋅ g’(x) Kettenregel: „äußere mal innere Ableitung“
u(x) ⋅ v(x) u’(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v’(x) Produktregel
u(x)
v(x)
Spezielle Ableitregeln: (a, n ∈ IR)
u'(x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v
2
v(x)
'(x)
Quotientenregel
f(x) f’(x) f(x) f’(x)
a ⋅ x a sin x cos x
x n n ⋅ x n − 1 cos x −sin x
e ax a ⋅ e ax sin (ax) a ⋅ cos (ax)
ln x
Tipps:
1
x
Vor dem Ableiten sollten folgende Terme umgeschrieben werden:
1 = x − n und x = x 0,5
n
x
Die Ableitungen der Sinus- bzw. Kosinusfunktionen kann man sich
leicht mithilfe der nebenstehenden Liste merken.
cos (ax) −a ⋅ sin (ax)
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f '
sin x
cos x
− sin x
− cos x
sin x
Insbesondere bei folgenden Termen muss die Kettenregel angewendet werden:
(ax + b) n bzw. g(x) n ; sin (ax + b) bzw. sin (g(x)) ; cos (ax + b) bzw. cos (g(x)) ;
e (ax + b) bzw. e g(x) ; ln (ax + b) bzw. ln (g(x)) ;
Man beachte: Wenn man mit der Produkt- bzw. Quotientenregel ableiten soll, benötigt man
oft auch die Kettenregel.
Wenn die Quotientenregel benötigt wird, sollte man die Terme u(x) und v(x) zunächst in einer
Nebenrechnung ableiten und erst dann in die obige Formel einsetzen. Sonst verliert man leicht
den Überblick.

Expertentipps: Pflichtteilaufgaben
Aufgabe 5: .
Anforderungen:
In Aufgabe 5 des Pflichtteils muss man häufig anhand des Schaubilds einer Ableitungsfunktion f’ (bzw.
einer Stammfunktion F) Aussagen über die Funktion f (bzw. F) bewerten. Ein weiterer Aufgabentyp
ist es, vorgegebene Schaubilder ihren zugehörigen Funktionstermen zuzuordnen.
5.1. Aussagen über f bzw. F bewerten:
Wenn man anhand des Schaubilds einer Ableitungsfunktion f’ Aussagen über das Schaubild von f
bewerten soll, sollte man folgende Regeln beachten:
!
Wichtige Regeln:
Der Funktionswert f’(a) an der Stelle x = a gibt immer die Steigung der Tangente im Punkt
P(a|f(a)) des Schaubilds von f an.
Dort, wo das Schaubild von f’ die x-Achse schneidet, hat das Schaubild von f einen Hochpunkt
(Vorzeichenwechsel von plus nach minus) und einen Tiefpunkt (VZW von minus nach plus).
Dort, wo das Schaubild von f’ einen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, hat das Schaubild von f einen
Wendepunkt.
Wenn das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem
Intervall monoton steigend.
Wenn das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem
Intervall monoton fallend.
Anhand des Schaubilds von f’ kann man keine Aussage darüber treffen, wie weit das Schaubild
von f in y-Achsenrichtung verschoben ist.
Ist das Schaubild von f’ punktsymmetrisch zum Ursprung, dann ist das Schaubild von f symmet-
risch zur y-Achse.
Hinweis: Nach denselben Regeln kann man vom Schaubild einer Funktion f Rückschlüssen auf das Schaubild von F
ziehen. Denn es gilt: f = F’.
5.2. Funktionsterme ihren Schaubildern zuordnen:
Bei diesen Aufgabenstellungen sind ein oder mehrere Funktionsterme und Schaubilder vorgegeben,
wobei man den Schaubildern jeweils den richtigen Funktionsterm zuordnen soll. Solche Aufgaben kann
man mit folgenden Tipps sehr leicht lösen:
Tipps:
Zunächst sollte man die waagrechten und senkrechten Asymptoten der angegebenen
Funktionsterme bestimmen und mit den Schaubildern vergleichen.
Außerdem sollte man die Nullstellen der angegebenen Funktionen bestimmen und mit den
Schaubildern vergleichen.
Einen weiteren Hinweis liefert eine Punktprobe mit Punkten, die man aus einem Schaubild
ablesen kann (= markante Gitterpunkte).
Wenn nicht nur das Schaubild einer Funktion f sondern auch die Schaubilder der Ableitungs-
funktion f’ und der Stammfunktion F vorkommen, sollte man die obigen Regeln (5.1.) beachten.
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Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur Analysis
2.5. Monotonie nachweisen:
In vielen Wahlteilaufgaben soll man nachweisen, dass eine Funktion für einen bestimmten x-Wertebereich
monoton abnimmt bzw. zunimmt. Bei solchen Fragestellungen müssen Sie folgendermaßen mit
der Ableitungsfunktion f’ argumentieren:
• In dem x-Wertebereich, wo das Schaubild von f’ oberhalb der x-Achse verläuft (positive y-Werte),
ist das Schaubild von f monoton wachsend.
• In dem x-Wertebereich, wo das Schaubild von f’ unterhalb der x-Achse verläuft (negative y-Werte),
ist das Schaubild von f monoton fallend.
Tipp:
• Der GTR kann direkt aus dem Schaubild einer Funktion f das Schaubild der Ableitungsfunktion f’
erstellen, ohne dass Sie f’(x) extra berechnen und eintippen müssen. Sie können dann die Monotonie
mithilfe des Schaubilds von f’ nachweisen. Dazu müssen Sie allerdings das Schaubild von f’ skizzieren
mit dem Vermerk, dass Sie es mit dem GTR erstellt haben.
• Auf herkömmliche Weise können Sie die Monotonie auch mit dem Ableitungsterm f’(x) nachweisen.
Dies ist aber meistens etwas umständlicher und kniffliger als die Argumentation mit dem Schaubild
von f’. Außerdem müssen Sie den Ableitungsterm zuerst bestimmen.
2.6. Steilste bzw. flachste Stellen in einem Schaubild bestimmen:
Wenn nach den steilsten bzw. flachsten Stellen des Schaubilds einer Funktion f gefragt wird, sind die
betragsmäßig größten bzw. kleinsten Steigungen von f in dem entsprechenden Intervall gesucht. Diese
Stellen finden Sie ganz schnell mit dem Schaubild von f’ heraus, das Sie mit dem GTR erstellen
können:
Tipp:
• Dort, wo das Schaubild von f’ den betragsmäßig (!) größten Wert hat,
ist die steilste Stelle im Schaubild von f.
• Dort, wo das Schaubild von f’ den betragsmäßig (!) kleinsten Wert hat,
ist die flachste Stelle im Schaubild von f.
• Wenn in einem Aufgabentext nach einem bestimmten „Gefälle“ einer Kurve gefragt ist, benötigen
Sie ebenfalls die Ableitungsfunktion f’ (mit „Gefälle“ ist immer die Steigung gemeint).
• In prozentualen Gefälleangaben steckt immer eine Kurvensteigung m. Wenn beispielsweise eine
Kurve an der Stelle x = a ein Gefälle von 40 % hat, gilt dort: m = f’(a) = 0,40.
2.7. Flächenberechnungen mit Integralen:
Folgende Arten von Flächen sollten Sie im Wahlteil mithilfe von Integralen bzw. mithilfe des GTR
berechnen können (oft genügt die Berechnung mithilfe des GTR):
Typ 1: Die Fläche wird vom Schaubild von f und der x-Achse eingeschlossen.
In diesem Fall müssen zunächst die Nullstellen a und b der
Funktion f berechnet werden.
b
Für die Fläche A1 gilt dann: A1 = ∫
a
f(x) dx = [F(x)] b
= F(a) − F(b)
a
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y
a
K f
A 1
Schaubild von f
b
x

Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur Analysis
2.13. Beschränktes Wachstum:
Wenn in einer Abituraufgabe von einem Wachstum die Rede ist, handelt es sich so gut wie immer um
beschränktes Wachstum. (Exponentielles Wachstum wurde bereits in Klasse 9 behandelt und kam
bisher noch nie in einer Abiturprüfung vor.) Folgende Formeln sollte man sich zum beschränkten
Wachstum unbedingt merken. (Zumindest sollte man wissen, wo sie in der Formelsammlung stehen.)
−kt
• Funktionsgleichung des beschränkten Wachstums: B(t) = S − C ⋅ e
S ist die Schranke des Wachstums; also der Wert, dem sich die Funktionswerte für t → ∞ annähern.
C und k sind Konstanten. Es gilt: B(0) = S − C. Wenn der Startwert B(0) = 0 ist, dann gilt C = S.
Beachte: Bei negativem C handelt es sich um einen beschränkten Zerfall. Das heißt, die
Funktionswerte nähern sich der Schranke S von oben.
• Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums: B’(t) = k ⋅ [S − B(t)]
In Worten: Die momentane Änderungsrate B’(t) der Funktionswerte ist proportional zu dem Abstand
des aktuellen Funktionswerts B(t) zur Schranke S. Der Proportionalitätsfaktor ist die Konstante k.
• Kurvenverlauf des beschränkten Wachstums bzw. Zerfalls:
S
y
!
Beschränktes Wachstum
Wichtig:
Schranke S
x
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S
y
Beschränkter Zerfall
Schranke S
Die Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums kann auch so beschrieben werden:
B’(t) = a − b ⋅ B(t), mit den Konstanten a und b.
Diese Gleichung steht in dieser Form nicht in der Formelsammlung, wird aber bei den meisten
Abituraufgaben zum beschränkten Wachstum benötigt !
Wie diese Formel aus der Gleichung B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] hervorgeht, erkennt man leicht durch
Ausmultiplizieren:
B’(t) = k ⋅ [S − B(t)] ⇔ B’(t) = k ⋅ S − k ⋅ B(t). Es gilt also: k ⋅ S = a und k = b.
Kennt man die Werte für a und b, kann man somit leicht die Schranke S berechnen: S = b
−kt
Aus dem Startwert B(0) = S − C erhält man dann sofort die Konstante C in B(t) = S − C ⋅ e .
Hinweis: Anschaulich besagt die Differenzialgleichung B’(t) = a − b ⋅ B(t), dass sich die momentane Änderungsrate
B’(t) einer Funktion aus einer konstanten Zunahme (= a) und einer Abnahme (= b ⋅ B(t)) zusammensetzt, die
proportional zum jeweiligen Wert B(t) ist. Das spielt beispielsweise bei einem Behälter mit Zu- und Abfluss eine
Rolle (vgl. Wahlteil 2008 – Analysis 3).
a
x

Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie
3. Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie: .
Anforderungen:
Zur Bearbeitung der Wahlteilaufgaben der analytischen Geometrie werden folgende Grundkenntnisse
benötigt:
• Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen:
Geradengleichung aufstellen,
Parameter- und Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen,
Normalenform einer Ebene aufstellen.
• Punktproben:
Einsetzen von Punktkoordinaten in Geradengleichungen bzw. Ebenengleichungen,
Lösen des entsprechenden Gleichungssystems.
• Abstandsberechnungen:
Abstand zweier Punkte bzw. Länge eines Vektors,
Abstand eines Punktes zu einer Geraden,
Abstand eines Punktes zu einer Ebene.
• Lage zwischen Geraden und Ebenen:
Lage zwischen zwei Geraden,
Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene,
Lage zwischen zwei Ebenen.
• Winkelberechnungen:
Winkel zwischen zwei Vektoren,
Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden,
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene,
Winkel zwischen zwei Ebenen.
• Spiegelungen:
Spiegelung eines Punktes an einer Geraden oder Ebene,
Spiegelung einer Geraden an einer Ebene.
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Expertentipps: Wahlteilaufgaben zur analytischen Geometrie
Beispiel 11:
Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
(Bekannt seien die Koordinaten der Punkte A, B und C.)
Lösungsplan 11:
1. Aufstellen der Vektoren AB , AC , BC und ihrer Gegenvektoren.
2. Berechnen der entsprechenden Winkel mit der Formel cos α =
v ⋅ w
| v | ⋅|
w |
.
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A
C
γ
α β
Hinweis: Wenn man zwei Innenwinkel berechnet hat, kann man den dritten Innenwinkel mit der Summe aller
drei Innenwinkel (= 180°) berechnen. In Vierecken beträgt die Summe der Innenwinkel 360°.
!
Vorsicht Falle:
Zur Berechnung von Innenwinkel in Dreiecken bzw. Vierecken benötigen Sie die Formel
cos α =
v ⋅ w
; und zwar ohne große Betragsstriche !
| v|
⋅|
w|
In einigen Formelsammlungen steht diese Formel mit großen Betragsstrichen: cos α =
Mit dieser Formel wird aber immer nur der spitze Winkel α berechnet.
Das heißt, bei stumpfen Innenwinkeln erhalten Sie den falschen Wert !
Benutzen Sie daher zur Berechnung von Innenwinkel immer nur die Formel cos α =
Auch ganz wichtig:
v ⋅ w
| v | ⋅|
w |
.
Beachten Sie dabei unbedingt, dass die Vektoren v und w vom
jeweiligen Eckpunkt wegzeigen (siehe Skizze). Wenn ein Vektor vom
Eckpunkt wegzeigt und der andere auf den Eckpunkt hinzeigt, erhalten
Sie den Außenwinkel !
3.2. Besondere Aufgabenstellungen: Beweise mit Vektoren
| v
v
v
|
⋅ w .
⋅|
w|
Im Wahlteil zur analytischen Geometrie kommt immer eine Aufgabe vor, in der Sie mithilfe der
Vektorrechnung einen Beweis durchführen müssen. Zwei Aufgabentypen sind dabei möglich:
• Entweder müssen Sie berechnen, in welchem Verhältnis ein Punkt eine Strecke teilt,
• oder Sie müssen beweisen, dass zwei Strecken orthogonal bzw. parallel zueinander sind.
Wie Sie diese Beweise mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren durchführen, erfahren Sie in den
Lösungen zu den entsprechenden Aufgaben.
Aufgaben zum Nachweis von Teilverhältnissen finden Sie in den Prüfungen:
2004 (Geometrie 2); 2006 (Geometrie 1); 2008 (Geometrie 2); 2010 (Geometrie 2)
Aufgaben zum Nachweis von Orthogonalität (bzw. Parallelität) von Strecken finden Sie in den
Prüfungen: 2005 (Geometrie 2); 2007 (Geometrie 1) und 2009 (Geometrie 2).
Recht einfach werden diese Beweise mit folgendem Tipp:
Tipp:
Teilverhältnisse und Orthogonalität von Strecken können einfach bewiesen werden, wenn man die
darin vorkommenden Punkte mit Koordinaten beschreiben kann. Das ist insbesondere dann möglich,
wenn in der dargestellten Figur rechte Winkel vorkommen. Die folgenden zwei Beispiele
veranschaulichen dies.
A
α
w
B

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Die Originaldatei hat 23 Seiten.
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